大學生數學建模講座

大學生數學建模培訓人口·資源與環(huán)境學院張曉青

數學建模（MathematicalModeling）

應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程。

2005年數模競賽A題：長江水質的評價和趨勢分析模型2005

數模競賽

C題：雨量預報方法的評價2007年數模競賽

A題：中國人口增長預測2010年數模競賽

B題：上海世博會影響力的定量評估2011年數模競賽

A題：城市表層土壤重金屬污染分析

2012年年數模競賽

A題：葡萄酒的評價

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。

2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。

3.在所作假設的基礎上，利用適當的數學工具去刻劃各變量之間的關系，建立相應的數學結構——即建立數學模型。

4.模型求解。

5.模型的分析與檢驗。

借助計算機求出數值解。

實體信息(數據)假設建模求解驗證應用數學建模的一般步驟建模的方法基礎數據的使用：統(tǒng)計檢驗，如方差檢驗、t檢驗等評價：指標權重的確定、評價模型的選擇結構化分析：找尋主要原因或影響因素，模擬模型（回歸分析）的選擇預測：預測模型的選擇、檢驗等應用：自己建模（最難之處）講授數學建模常用的一些方法主成分分析模糊綜合評價戰(zhàn)略決策模型AHP分形幾何與R/S分析GM（1，1）模型BP神經網絡模型人資環(huán)學院需要掌握空間分析技術：空間插值、空間統(tǒng)計分析，使用ARCGIS軟件確定指標評價權重的方法主觀賦權評估法：采取定性的方法，由專家根據經驗進行主觀判斷而得到權數，然后再對指標進行綜合評估。如層次分析法（戰(zhàn)略決策模型

AHP）、專家調查法（Delphi法）、模糊分析法、二項系數法等，其中層次分析法(AHP法)是實際應用中使用得最多的方法，它將復雜問題層次化，將定性問題定量化。客觀賦權評估法則根據歷史數據研究指標之間的相關關系或指標與評估結果的關系來進行綜合評估。主要有最大熵技術法、主成分分析法、變異系數法、最大離差最法等。其中最大熵權技術法用得較多，這種賦權法所使用的數據是決策矩陣，所確定的屬性權重反映了屬性值的離散程度。常用客觀賦權法的原始數據來源于評價矩陣的實際數據，使系數具有絕對的客觀性，視評價指標對所有的評價方案差異大小來決定其權系數的大小。這類方法的突出優(yōu)點是權系數客觀性強，但沒有考慮到決策者的主觀意愿且計算方法大都比較繁瑣，在實際情況中，依據上述原理確定的權系數，最重要的指標不一定具有最大的權系數，最不重要的指標可能具有最大的權系數，得出的結果會與各屬性的實際重要程度相悖，難以給出明確的解釋。為此，針對主觀賦權法和客觀賦權法的優(yōu)缺點，學者又提出了主客觀綜合集成賦權法。目前，這類方法主要是將主觀賦權法和客觀賦權法結合在一起使用，從而充分利用各自的優(yōu)點。最大熵技術法最大熵計數法就是是利用信息論中信息熵來確定多指標決策問題各評價指標權重。其基本原理是：對多指標決策問題，從m個可行方案中選最優(yōu)方案，取決于這m個可行方案的各個指標向決策者提供的決策信息。誰提供決策的確定信息量大，誰對決策做的貢獻就大，從而該指標的權重值也就越大。拋硬幣，p（head）=0.5，p（tail）=0.5

H（p）=-0.5log2（0.5）+（-0.5log2（0.5））=1

說明：熵值最大，正反面的概率相等，事件最不確定。

舉例：基于可變權系數的我國地區(qū)信息化測度模型及應用主成分分析法主成分分析法是通過因子矩陣的旋轉得到因子變量和原變量的關系，然后根據m個主成分的方差貢獻率作為權重，給出一個綜合評價值。其思想就是從簡化方差和協(xié)方差的結構來考慮降維，即在一定的約束條件下，把代表各原始變量的各坐標通過旋轉而得到一組具有某種良好的方差性質的新變量，再從中選取前幾個變量來代替原變量。降維處理：高維變量化為低維變量且信息損失最少；統(tǒng)計簡化：簡化變量系統(tǒng)的統(tǒng)計數字特征；數據解釋：利用主成分與原始變量的相關系數建立變量與樣品的關系，根據變量代表的主成分結構解釋樣本特征。-分析原因層次悼分析幣法榨AH之P層次靈分析伯法是墾將解疫決的墨問題瓦分解兇為若勁干個束互不贊相同齊的組蒸成因驅素，順并根是據組蟲成因灑素的蓮隸屬牲關系捎和關竄聯關釣系的崗不同咬，把膀各組碎成因襖素歸雪并為洽不同咽的層敲次，甲從而凈形成多層勵次的硬分析咱結構票模型。在每戚一層聞次中炸，將瘦該層買次中似的各艘元素馳相對掘于上昌一層選中的獸某一找元素灰進行兩兩灑重要們性比囑較，并胃將比較梨的結私果構睛造為彼一個園判斷滿矩陣。然今后計惡算各判圣斷矩溪陣的勻最大濱特征傷根及差其對姐應的不歸一侄化的塔特征爺向量，該脈歸一失化的劑特征肌向量捧各元記素即盜為該棵層次吩各元歐素相恐對于懂上一卷層次絨某一渴元素意的權雪重。在此咸基礎回上進一犧步綜膠合，求攏出各靜層次昆組成央因素稅相對疲于總策目標離的組韻合權釀重，寧進而介得出賤各目仙標的男權重復值或帶多指括標決盈策的洗各可接行方企案的灑權重速值。層次塔分析歸法的悅具體漂操作競程序膛如下匠：a.尤明確延問題大，建蠅立層貝次分鵝析結貼構模藏型；b.流建立秀判斷蒙矩陣坐；c.挎檢驗煙判斷廉矩陣組；滿援意一駕致性貢；d.犁層次希單排衛(wèi)序；e.鑼層次饞總排料序。評價杏方法模糊輕綜合萌評判，在脫國外邀又稱魔為多虧目標耕決策暖模型油。是一遠種運要用模糊聯變換志原理分析雹和評價清模糊愿系統(tǒng)的方暫法。是以野模糊姿推理驢為主厚的定品性與群定量拖相結秀合、館精確秤與非鏈精確復相統(tǒng)均一的牌分析曬評判寫方法譜。在處急理各擦種難公以用正精確辟數據鴉方法謀描述佛的復脈雜系尤統(tǒng)問柱題方直面，松具有狐