高考復(fù)習(xí)7-1空間幾何中的平行（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

7.1空間幾何中的平行（精講）（基礎(chǔ)版）

思儺身囹

J蝮十三03匕微十號(hào)M聲內(nèi)戊方隊(duì)

城三《?板?）??44frBit期

n手#

行坡的乎行約林*?行的傳布H笠劃向受

??+什”&4>■壬叁魚?檢4

文宇通?：手藥外一船女線臺(tái)北平的內(nèi)的一*直線手行，

射&6-511t乎西步H（微蝮，行>級(jí)*if行）

符號(hào)9玄：V1#■.aCa.14<*,.*.I#a

明好通*&/

文字論*:與一個(gè)，面，行.Md這勘RitgM-十面

與無，面的大幔與該A饅十?、擞?-?面，心■>「慢卡什”）

洋才語才：VIZ/a.ICp.anp=b.；.l〃b

*<?*<：一個(gè),面內(nèi)M,東M攵f線與Jj一個(gè)手而子行.

JKit兩個(gè)*面，什（R記為“線向*什，訴**什”）

杼號(hào)論*:*：?//P.b〃D.?nb=P.?Ca.bCa..*.a>70

文字瑞才：如皋舟個(gè)號(hào)朽十面同時(shí)3第三個(gè)十面觸文.用其文健學(xué)特

性及史，

,、」■?“力度度，_______k穴*事T1--

我&平華-二*中行1-=二；一=*早行

RXXS

乎行■的美手

考點(diǎn)一三角形中位線

【例1】（2022?浙江）己知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，〃為PC的中點(diǎn)，求證：PA〃平面皿必

【答案】證明見解析

【解析】連接AC交8。于。，連接MO.ABCD是菱形，是AC中點(diǎn)，又”M是PC中點(diǎn)

PA<zilllBDM.MOu面BDM：.PAH^\BDM

B

【一隅三反】

1.（2022?廣東珠海）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，求證：4CJ/平面CE>q

【答案】證明見解析；

【解析】連接BG交C4于E,連接即，由為三棱柱，則8CC4為平行四邊形，所以E是8G

中點(diǎn)，乂。是AB的中點(diǎn)，故在△54c中。E//AC-OEu面。。與，A￡（x面所以A￡〃平面CO%

2.（2022?山東）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)M為qG的中點(diǎn)，證明：4G〃平面43M

【答案】證明見解析

【解析】連接AB|與AB交于點(diǎn)O,則。為A4的中點(diǎn)，連接OM,因?yàn)辄c(diǎn)M為8c的中點(diǎn)，所以。M〃AC，

因?yàn)椤u平面A8M,AG（Z平面A8W,所以AG〃平面ABM；

3.（2022?山東濱州）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面4BCD是平行四邊形，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，求證:

PO〃平面EAC

【答案】證明見解析

［解析】證明：連結(jié)80交4c于點(diǎn)。,連接EO.顯然,。為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以￡O〃PD

乂因?yàn)樯厦鍱AC,EOu面EAC,所以PQ〃平面EAC-,

考點(diǎn)二構(gòu)造平行四邊形

【例2】（2022?重慶巴蜀中學(xué)）如圖，在多面體ABCDE五中，四邊形ABCD是一個(gè)矩形,

EF//AC,AC^2EF,AB=AE=2,AD^4,求證：AE〃平面8田

【答案】證明見解析

【解析】（1）設(shè)ACnBD=O,連接OF,由于EF〃AO,EF=AO,所以四邊形E尸。4是平行四邊形，所以

AE//OF,由于AEC平面BKD.OFu平面3FD,所以AE〃平面

E

【一隅三反】

1.（2022?河南?商丘市第一高級(jí)中學(xué)）在直三棱柱ABC-ABCi中，E,尸分別是AC,A用的中點(diǎn)，求證:

EF〃平面B8cle

B

【答案】證明見解析

【解析】證明；在直三棱柱A8C-ABC中，E,F分別是AC,4耳的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)G,連接EG,

BC，如圖，則EG〃A3且EG=gA8,又與尸〃AB且,所以EG〃用尸且EG=B7,所以四

邊形EG耳尸是平行四邊形，所以EF〃耳G.因?yàn)槎鶪u平面B3CC，EF0平面BB℃，所以EF〃平面

BB￡C；

2.（2022?河北保定）如圖，已知多面體ABCDE,他_1_平面48。,￡）。_1_平面43（7,且.AE=DC=2,證明:

AC//平面3ED

【答案】證明見解析

【解析】證明：因?yàn)锳E_L平面A3C,OCd.平面ABC,所以4E〃OC.因?yàn)锳E=DC,所以四邊形ACDE為

平行四邊形，則4C〃9.又ACZ平面Ba,EE>u平面BE。，所以AC〃平面BED

3.（2022?遼寧營口）如圖，三棱柱ABC—4BG中，E為&G中點(diǎn)，尸為4玲中點(diǎn)，求證：EFP平面ABC

【答案】證明見解析

【解析】證明：取8c中點(diǎn)為。連接EDA。，因?yàn)楹鬄閊弓中點(diǎn)方攵七^“口^^二^以^—乂口^〃々!，,F

為A4中點(diǎn)，故即〃叢即=必，所以四邊形E/）4F為平行四邊形，故律〃A。，因?yàn)椤晔?平面A8C,

ADu平面ABC,故EF//平面ABC；

考點(diǎn)三等比例

【例3】（2022?云南?彌勒市一中）如圖，在四棱錐尸-"。。中，底面488為直角梯形,其中">//8。，AD=3,

AB^BC=2,且弘=3.點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N為8c中點(diǎn)，證明：若DM=2MP,則直線MN〃平面B出

【解析】在AD上取一點(diǎn)。，使得AQ=：4),連接MQ,M2,

=：.MQ//AP,乂"QU平面RW,A4u平面B4B，

.■.MQ//nPAB-.

AQ=-AD=\,BN=-BC=l,AD/IBC,

32

AQ//BN,AQ=BN,四邊形48NQ為平行四邊形，.?.AB//0N,

又QN<z平面EIB,AB\平面RW，〃平面%B；

QA/QIQN=Q,MQ,QNu平面MN。，.?.平面MNQ〃平面RW,

.MNu平面MNQ,;.MN〃平面PAB.

【一隅三反】

1.（2022?廣東）如圖所示，P是,43C所在平面外的一點(diǎn)，E、F、。分別是P3C、VPC4、△PA8的

重心，求證：平面DEF〃平面ABC

【答案】證明見解析

【解析】連接MN、MG、NG,D、E、F分別是△PA8、PBC、△P4C的重心,

PDPFPF2

.?.M、N、G分別為A3、BC、AC的中點(diǎn)，且照=會(huì)=蕓=；，

rMrlNrQj3

二DE//MN.DF//MG,

DEU平面ABC,NMu平面ABC,所以O(shè)E〃平面ABC,

DFa平面ABC,GMu平面ABC,所以。F〃平面ABC,

R.￡）￡nDF=D,平面。斯〃平面ABC.

p

2（2022?江蘇宿遷）如圖，三棱柱4BC-A4G中，AB=AC=AAt=2,ZA,AB=ZA,AC=60°,點(diǎn)、M,

N分別在4G和BC上，且滿足AM=gAG，BN=；BC,證明：MN〃平面488出

【解析】過點(diǎn)M作"P//CG，交AC于點(diǎn)P,連接NP,

.AMAPBN￡

由題意得下"=77

~BC3

故"P〃CG〃A41,NP〃AB,而伏u平面ABBA,例P<Z平面A陽4,

.?■MPH平面ABB,A,同理得NPH平面ABB,4,

而MPNP=P,平面MNP〃平面A88人,

〃平面A8B|A

3.（2022.湖南.長沙一中）如圖，在長方體A8CD-A/B/。。/中，AB=4fBC=BBi=3,G為AB的中點(diǎn)，E,

4￡QP1

分別在線段A/。，AC上，月.工，求證：EG〃平面55/

【答案】證明見解析

【解析】取版的中點(diǎn)M,連接EM,GM,

故GM為尸的中位線，得GM//BF,

而BFu平面BB,F,GM<Z平面BB,F,

從而GM平面B&F,①

AEAM1

又能=H=§,結(jié)合長方體的對(duì)稱性知A吆⑷，

即四邊形AMEA為平行四邊形，故EM〃AA，

又44,BB],所以EM〃BB],

而BB、u平面BB、F,EMU平面BB、F,

從而EMP平面網(wǎng)尸，②

GMEM=M,

結(jié)合①②知，平面EMGb平面網(wǎng)尸，從而EG，平面3F.

考點(diǎn)四線面平行的性質(zhì)

【例4】（2022?北京海淀）如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC〃平面以。，AD^BC,E,F,H,G分別是

棱刑，PB,PC,PO的中點(diǎn)，求證：BC//AD

【答案】證明見解析；

［解析】因?yàn)锽C〃平面PAD,BCu平面ABCD，平面平面ABCD=AD,所以BC〃AD.

【一隅三反】

1.（2022.全國?高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，E是邊的中點(diǎn)，過A,8,￡作截面交8c于

點(diǎn)、D.求證：DE//AB；

【答案】證明見解析

【解析】證明：如圖，在直三棱錐ABC-ABC中,

因?yàn)锳B〃A4,A8U平面,A田u平面AqG,所以AB〃平面A8cl,

又平面ABOE,平面A4GC平面所以DE〃/3.

2.（2022.遼寧葫蘆島）如圖，在四面體A8CO中，CB=CD,M_L3￡>,點(diǎn)M是AO的中點(diǎn)，NwBD,

且直線MN〃面ABC,直線MN〃直線A8

A

M

【答案】證明見解析

【解析】直線MN〃平面ABC,MNuABD,平面A8￡>c平面A3C=A8,.?.MN//AB.

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐P-ABC。的底面ABC。是直角梯形，BC//AD,ABLAD,

A8=BC=，AZ）,PA，底面ABCD,過BC的平面交尸￡）于〃，交R4于N（M與。不重合）.求證：MNBC■

2

【答案】證明見解析

【解析】證明：在梯形ABC。中，BC//AD,8。0平面P4。，ADu平面尸4）,

BC〃平面PAD

又BCu平面BCNM,平面BCNMc平面fi4￡>=MN,

所以MN〃BC.

考點(diǎn)五面面平行的性質(zhì)

【例5】（2022?甘肅酒泉）如圖，在四棱錐尸-回加7中，△PMW是邊長為2的正三角形，AN//BM,AN=3,

BM=1，AB=2無，C,。分別是線段48,NP的中點(diǎn)，求證：8〃平面P8M

【答案】證明見解析

【解析】如圖，取MN中點(diǎn)2,連C。，OQ,丁。。為中位線，。?！印福制矫鍮MP,MPu

平面BMP，二DQ〃平面BMP，同理，在梯形ABMN中，CQ〃/8,又C。a平面BMP，朋Bu平面BMP，

.?.C?！ㄆ矫?Mp，且。Qu平面CDQ,CQu平面C?Q,nOcCQ：。，.?.平面C￡>Q〃平面創(chuàng)始，又C0U

平面CQQ,所以CD〃平面BMP.

A

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，四邊形AC0E為菱形，DFIIBC,求證：EF〃平面ABC

【答案】證明見解析

【解析】證明：因?yàn)樗倪呅蜛C￡>E為菱形，則。E〃AC,

.平面ABC,ACu平面ABC,r.DE〃平面ABC,

DF//BC,DF<z平面ABC,BCu平面ABC,..￡>尸〃平面ABC,

DEDF=D,所以，平面OEP〃平面ABC,

因?yàn)镋Fu平面DEF,E/;7/平面ABC.

2.（2022.江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)）如圖，三棱柱A8C-A百G中例，N,P,。分別為CG，BC,4片，的

中點(diǎn)，求證：PN〃面ACGA

【答案】證明見解析

【解析】VP,。分別為4用，8￡的中點(diǎn)，

/.PD//A.C,,且A?平面ACJA，90平面4^。鴻，

二尸￡）〃平面4CGA,

,:D,N分別為B￡,BC的中點(diǎn),

DN〃CG,且CGU平面ACGA,DNU平面ACGA，

；.DN//平面ACCA,乂PDcDN=D,

...平面POV〃平面ACCM,

又,.,/Wu平面PCW,二EV〃平面ACGA.

3.（2022?浙江嘉興?模擬預(yù)測）如圖，四棱錐C-ABE。中，F(xiàn),M,N分別為A23C,E尸的中點(diǎn)，求證：MN

〃平面ACD

【答案】證明見解析

【解析】取AB的中點(diǎn)G,連接MG,NG,則由例，G分別為的中點(diǎn)易得MG〃AC

MG<Z平面ACD,ACu平面ACD：.MG〃平面AC。同理：NG〃平面ACD

又MGcNG=G，所以平面仞VG〃平面ACO,所以MN〃平面AC。

考點(diǎn)六線面垂直的性質(zhì)

【例6】（2022.新疆?三模（文））多面體ABDEC中，△BCO與A4BC均為邊長為2的等邊三角形，XCDE

為腰長為石的等腰三角形，平面C0EJ_平面BCD,平面ABCJ_平面BCD,尸為BC的中點(diǎn)，求證：AF//

平面ECD

D

【答案】證明見解析

【解析】證明：取CD的中點(diǎn)G,連接EG

ACDE為腰長為V5的等腰三角形，；.EG±CD

又?平面CDE_L平面BCD,EGu平面ECO,平面CDEc平面BCD=CD,

，EG_L平面8CO,同理可得，A凡L平面8C7K.EG〃4尸

又丁EGu平面ECC,AF<z平面CDE,，AF〃平面CQE

【一隅三反】

1.（2022.江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）在四棱錐P-A8CD中，玄_1平面A8CD,四邊形ABC。是矩形，AE1.P力于

點(diǎn)、E,平面PCD求證：1//AE.

【答案】證明見解析

【解析】證明：因?yàn)樘?，平?CD,CQu平面ABCD,所以以_LCD

又四邊形ABC。是矩形，mWCDLAD.

因?yàn)镻Ai}AD=A,%u平面PAD,4￡>u平面PAD,所以。。，平面PAD.

乂AEu平面租/）,所以AEJ_OC.因?yàn)锳E_LP。，PDCCD=D,POu平面PCD,COu平面PC。，

所以A￡L平面PCD因?yàn)長L平面PCD,所以/〃AE.

2.（2022?山西臨汾）如圖（1）,在梯形A8CO中，且,線段A￡>上有一點(diǎn)E,滿足Q=Z）E=1,

A￡=8C=2,現(xiàn)將AWE,△CDE分別沿8E,CE折起，使A￡>=石，8。=