高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)18圓錐曲線經(jīng)典難題之一類交點(diǎn)軌跡問題的通性通法研究

微專題18圓錐曲線經(jīng)典難題之一類交點(diǎn)軌跡問題的通性通法研究

秒殺總結(jié)

交點(diǎn)軌跡問題的常用技巧：

1.兩直線方程相乘消元

2.兩直線方程相除，相當(dāng)于兩斜率比問題，平方轉(zhuǎn)韋達(dá)結(jié)構(gòu)可消元

3.定比點(diǎn)差法

4洞構(gòu)

5.硬解坐標(biāo)

典型例題

22

例1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線「:,-2=1（。＞0力＞0）過點(diǎn)（4,13）,離心率為瓦，直線

/:x=9交x軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作直線交雙曲線「于M,N兩點(diǎn).

（1）求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若M是線段4N的中點(diǎn)，求直線MN的方程；

（3）設(shè)只。是直線/上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線PM與QN的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說明你的理由.

例2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0,c）（c＞0）到直線/：x-y-2=0的

距離為逑.

2

（1）求拋物線（：的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)尸（看,%）為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線尸A,PB,其中A,B為切點(diǎn)，求直線A8

的方程，并證明直線過定點(diǎn)。；

⑶過（2）中的點(diǎn)。的直線機(jī)交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,8分別作拋物線C的切線4,12,求心4

交點(diǎn)M滿足的軌跡方程.

1

22

例3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:￡+3=l（a>b>0）的離心率為梟橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最

小距離為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，且OA，03（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），0/7,43于"點(diǎn).試求點(diǎn)H的軌跡方程.

?1（4>人>0）的離心率為］

例4.（2022?全國(guó)?高三開學(xué)考試（理））橢圓E：,且過點(diǎn)（2&,2）.

（1）求橢圓E的方程;

（2）",瑞分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)48在橢圓上（不含長(zhǎng)軸端點(diǎn)），且關(guān)于y軸對(duì)稱，尸為橢圓上

異于48的動(dòng)點(diǎn)，直線處與尸8分別交y軸于M,N兩點(diǎn)求證：直線與鶴的交點(diǎn)在定圓上.

過關(guān)測(cè)試

22

1.（2022?上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，A.8是橢圓C:三+二=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M,N是橢

43

圓上與/、8均不重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)直線/初、BN、⑷V的斜率分別是勺、&2、k、.

⑴若直線MM過點(diǎn)（1,0）,求證：勺“為定值；

（2）設(shè)直線MN與x軸的交點(diǎn)為&0）（/為常數(shù)且f*0）,試探究直線NA/與直線8N的交點(diǎn)。是否落在某條定

直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由.

2

22

2.(2022?江蘇南京?高三開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C：「+與=1(°＞6＞0)的上頂點(diǎn)

CTb~

為A(0,2),離心率e=也，過原點(diǎn)O的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓C交于P,。兩點(diǎn)，直線以，分別

2

與x軸交于A/,N兩點(diǎn)，過點(diǎn)〃，N分別作直線以，Q(的垂線，設(shè)交點(diǎn)為R

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明：點(diǎn)尺在定直線上運(yùn)動(dòng).

3.(2022?山西?一模(理))在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：三+/=1(。＞6＞0)的離心率e=^，且

過點(diǎn)，手)，A,2分別是C的左、右頂點(diǎn).

⑴求C的方程；

(2)已知過點(diǎn)G(l,0)的直線交C于M,N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)/,B),試證直線與直線N8的交點(diǎn)在定直線上.

4.(2022?河南?模擬預(yù)測(cè)(理))在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:二+丁=1與直線/:犬=沖+1交于四，N兩

4

點(diǎn)，P為的中點(diǎn).

(1)若相＜0,且N在x軸下方，求tanNOPN的最大值；

(2)設(shè)48為橢圓的左、右頂點(diǎn)，證明：直線ZM的交點(diǎn)。恒在一條定直線上.

22

5.(2022?河南?模擬預(yù)測(cè)(文))已知橢圓C:=+4=1(a＞。＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A(-2,0),8(2,0),離

ab

心率為且直線/:x=my+l和C交于N兩點(diǎn)

2

(1)當(dāng)機(jī)=。時(shí)，求|MN|的值；

(2)設(shè)直線的交點(diǎn)為。，證明：點(diǎn)。恒在一條定直線上.

6.(2022?河南?溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)(理))己知橢圓C：1+與=1的離心率為業(yè)，其長(zhǎng)軸的

crh23

兩個(gè)端點(diǎn)分別為4(-3,0),5(3,0).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)P為橢圓上除48外的任意一點(diǎn)，直線力P交直線x=4于點(diǎn)E,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。且與直線

8E垂直的直線記為I,直線8尸交y軸于點(diǎn)交直線/于點(diǎn)N,求N點(diǎn)的軌跡方程，并探究△8M0與△NA/O

的面積之比是否為定值.

3

7.(2022?廣東珠海?高三期末)已知橢圓C:%，=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,左頂點(diǎn)力到上頂點(diǎn)8的距

離為㈠，廠為右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)設(shè)直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)“，N(不同于48兩點(diǎn))，且直線8ML8N時(shí)，求尸在/上的射影

，的軌跡方程.

8.(2022?河北石家莊?一模)已知拋物線C：y?=2px(P>0),過點(diǎn)的直線/與拋物線C交于A,

B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，M為線段的中點(diǎn).當(dāng)直線/斜率為-1時(shí)，中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

(1)求拋物線(7的方程；

(2)若線段AM上存在點(diǎn)N,使得阿呢石加年M小求點(diǎn)N的軌跡方程.

9.(2022?貴州貴陽(yáng)?一模(文))已知橢圓C：江+亡=1與直線/(不平行于坐標(biāo)軸)相切于點(diǎn)

164

過點(diǎn)〃且與/垂直的直線分別交X軸J軸于A(m,0),,8(0,〃)兩點(diǎn).

(1)證明：直線等+乎=1與橢圓C相切；

164

(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸(機(jī)，n)隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)尸的軌跡方程.

10.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)〃是橢圓C：￡+?=1上的一點(diǎn)，尸、。、T分別為“關(guān)于y軸、原點(diǎn)、

x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于"的另一點(diǎn)，且MN_LMQ,0N與P7的交點(diǎn)為E,當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，

求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程.

11.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線y2=4px(p>0),。為頂點(diǎn)，A,8為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿

足。如果于/點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

22

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))為橢圓工+與=1上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且。QLOQz，過原點(diǎn)。作直線QQ

2h~h~

的垂線。。，求。的軌跡方程.

4

13.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)尸(1,0)的距離和它到定直線/:x=4的距離之比為3,記

P的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵過點(diǎn)M(4,0)的直線與曲線C交于A8兩點(diǎn)，R,Q分別為曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線AR,8Q交于點(diǎn)

N,求證:點(diǎn)N在定直線上.

5

微專題18圓錐曲線經(jīng)典難題之一類交點(diǎn)軌跡問題的通性通法研究

秒殺總結(jié)

交點(diǎn)軌跡問題的常用技巧：

1.兩直線方程相乘消元

2.兩直線方程相除，相當(dāng)于兩斜率比問題，平方轉(zhuǎn)韋達(dá)結(jié)構(gòu)可消元

3.定比點(diǎn)差法

4洞構(gòu)

5.硬解坐標(biāo)

典型例題

22

例1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知雙曲線「:,-2=1(。＞0力＞0)過點(diǎn)(4,13),離心率為瓦，直線

/:x=9交x軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作直線交雙曲線「于M,N兩點(diǎn).

(1)求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M是線段4N的中點(diǎn)，求直線MN的方程；

(3)設(shè)只。是直線/上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線PM與QN的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說明你的理由.

【答案】⑴三-二=1

339

⑵x+y_9=0或x_y_9=()

(3)直線PM與0N的交點(diǎn)在定直線，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，列出方程組，結(jié)合02=儲(chǔ)+從，求得。力的值，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

(2)設(shè)"(%,%),則聯(lián)立方程組，求得",N的坐標(biāo)，即可求得直線的方程；

(3)設(shè)P(9,f),0(9,T),得到腦V:x=/ny+9,聯(lián)立方程組，求得)1+必，必必，再由直線PM和QV的方程,

求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解.

(1)

由題意得：二一獸=1,-=714,片+萬(wàn)、/

aba

解得片=3,b2=39,所以雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程為t-f=l.

339

⑵

方法1：設(shè)則可空4)

1

22

二一空=1

339-

依題意有/-22解得無(wú)。二一4,y=±13

(%+9)為=]0

3x439x4-

所以直線MN的方程為x+y_9=0或x_y_9=（）.

2,

方法2：設(shè)直線MN的方程為》=左（工-9）,與雙曲線的方程三-21=1聯(lián)立得:

339

(13-*2)X2+18)12X-(8U2+39)=0.

當(dāng)A=324A4+4(13-陰(81公+39)>0時(shí)

81標(biāo)+39

設(shè)N(x2,y2),得為+々=—=----------------―,

13—K1-13-公

T7中心電+9由29公+39x；+9x,81fc2+39,,

又因?yàn)椋?一］一，所以&=一13—m'=-下丁，解得“2=1?

此時(shí)△>（）,所以直線MN的方程為x+y-9=0或x-y-9=0.

（3）

方法1：設(shè)尸（91）,Q（9,-r）,

直線PM的方程為y-f=?/（x-9）,直線ON的方程y+r=,

聯(lián)立兩方程，可得2f=（=-入=］（x-9）①

x,-9j

轉(zhuǎn)八（2）方法2可得々-9）+1_%（占一9）一「=乂斗+三一18）

一口口（2）方法2,可得&_9X|_9X2-9X,-9X,X2-9（X,+X2）+81

代人①得2=憂二Li.（X—日

A|-7IA|十X>I+O1

.81公+39）J18公）

故x=2中2-9（3+當(dāng)）=（J］3J—（一］3―rJ」

x.+-1818k~.Q3

------v-1o

13-k2

所以直線PM與0N的交點(diǎn)在定直線x=g上.

方法2設(shè)直線的方程為x=，改+9,與雙曲線的方程二-￡=1聯(lián)立得:

339

（13/7t2-l）y2+234n?y+1014=0.

設(shè)川（石方）,NH，%），P（9J）,Q（9l）,由根與系數(shù)的關(guān)系，得

234/7?1014

x+必"際了.二為二1

2

1PM：匕,=儲(chǔ)(》-9),加：y+r=污(x-9),聯(lián)立兩方程，可得:

2「=衛(wèi)一回(、一9)/"一回(>9)=絲當(dāng)(3)

19一9X.-9)(四2)沖段

234m

=W-.!..f(x_9)=_2z(x_9),

m\3m2-\

解得X=；

所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線X=；上.

例2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)尸(0,c)(c>0)到直線/：x-y-2=0的

距離為逑.

2

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)？(%,%)為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,8為切點(diǎn)，求直線

的方程，并證明直線過定點(diǎn)Q;

(3)過(2)中的點(diǎn)。的直線〃?交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,B分別作拋物線C的切線心12,求心/2

交點(diǎn)M滿足的軌跡方程.

【答案】⑴W=4y

(2)直線AB的方程為與x-2y-2%=0,證明見解析

(3)x-y-2=0

【解析】

【分析】

(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求得c值；

丫2丫2y

(2)設(shè)尸(天,與-2),設(shè)切點(diǎn)為區(qū)二)，曲線C:y=—,/=-,從而

442

￡_2川+4%_8=0,由此能求出直線x°x-2y-2%=0,并能證明直線A8過定點(diǎn)。(2,2)；

⑶設(shè)A(±,乎)，85與)，從而求出交點(diǎn)竽)，設(shè)過Q點(diǎn)的直線為y-)+2,聯(lián)立

ly=A-(.r-2)+2^得/_4履+弘一8=0,由此能求出點(diǎn)M滿足的軌跡方程為x—y-2=0.

［廠=4>

(1)

設(shè)拋物線的方程為d=2py,

3

???拋物線C的焦點(diǎn)尸（0,c）（c>0）到直線/：x-y-2=0的距離為手,

...|0一72|=半,解得c=［或c=_5（舍去），

V22

=1,p=2,

拋物線C的方程為f=4y.

⑵

丫21-2y

設(shè)P（%,%-2）,設(shè)切點(diǎn)為（x,?。?，曲線C:y==,y'=~>

442

x2

則切線的斜率為WT%-2）_x,化簡(jiǎn)得/-2x0x+4x0-8=0,

x-%2

設(shè)g,爭(zhēng)，85,苧），則巧是以上方程的兩根，

則x,+x2=2XQ,x}x2=4x0-8,

X\2X2

44_X|+“2_/,

4B

-x,-x24-2

直線AB的方程為：)，_(=W(X7J，整理得y=Ex-A±+二，

42224

?.?切線以的方程為y得=5(f),整理得>=尹-4且點(diǎn)P(%,%)在切線E4上,

???%=9%-(，即直線AB的方程為：y=,x-%，化簡(jiǎn)得5-2〉-2%=0，

242

XVy0=^-2,xo(x-2)-2^+4=O,

故直線AB過定點(diǎn)Q(2,2).

⑶

設(shè)A8,、)，BQ,5-),

過A的切線y=](x-M+f,過B的切線y=￡(xf)+苧,

則交點(diǎn)M(工1工，等)

設(shè)過Q點(diǎn)的直線為y=?x—2)+2,

，-fy=Z(x-2)+2

聯(lián)立〈2：，得Y-4丘+肽-8=0,

x=4y

xl+x2=4kf%%=8Z—2,

4

??.M（2k,2k-2）,

y=x-2.

???點(diǎn)M滿足的軌跡方程為x-y-2=0.

例3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓。:.+￡=1（。>6>0）的離心率為橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最

小距離為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，且04,08（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），于H點(diǎn).試求點(diǎn)”的軌跡方程.

【答案】⑴三+匯=1;

43

e2212

（2）X2+/=y.

【解析】

【分析】

1r1

（1）根據(jù)題意橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離得4-C=l,再根據(jù)離心率為:，得上=即可解得橢圓C的

2a2

方程.

（2）直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)A（玉，x）,B（X2,y2）,根據(jù)題意求出軸時(shí)，點(diǎn)”（土欄,0）,

/_Ly軸，”（0,士欄）.當(dāng)直線/的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)/:丁=履+〃?，聯(lián)立直線與橢圓方程，韋達(dá)定理寫

出％+々、玉々關(guān)于人與加的式子，再把,力的式子也用人與，"表示出來，再利用OAA.OB,知王9+,必=0,

代入得7M=12"+1）,再利用Oa_LAB得直線OH的方程為丫=-：彳，聯(lián)立直線Q"與直線/,把左與制用x

與y表示出來，代入7療=12（公+1）中，化簡(jiǎn)即可得到關(guān)于x與尸的方程，再結(jié)合①②即可得到答案.

（1）

C1

由題意知：e=—=—,a-c=\,a1=b2+c2，解得。=2,b2=3.

a2

r22

故橢圓的方程為工+匕v=1.

43

⑵

設(shè)4再，y）,3（毛，y2）,

（i）若/_Lx軸，可設(shè)〃（%,。），因Q4LOB,則4%,%）.由丘+丘=1,得需=2，即H（土欄,0）；

437V7

若/_Ly軸，可設(shè)4（0,%）,同理可得“（0，土源）；

（ii）當(dāng)直線/的斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)/：丫=丘+加，

5

y=kx+m

■y9（3+4公）/+8切ir+4>-12=0,

由三+x=i'消去y得:

43

1TbI8h"W-12

則%+*2=一晨而,為々=

3+4公

3m2-12k2

yy=（fcv,+m）（kx+tn）=k2xx+km（x、+x）+m2-

22t223+4公

3m2-l2k2

由OA_LO8,知g+y%=。.故小4-------—=0,

3+4攵2

即7加=12伏2+1)(記為①).

由QH_LA8,可知直線?！ǖ姆匠虨閥=-，x,

K

y=kx+mk=~-

y

聯(lián)立方程組1，得<,（記為②）,

V=——X廠

Ikm=Fy

10

將②代入①，化簡(jiǎn)得V+丁若.

19

綜合(1)、(2),可知點(diǎn)”的軌跡方程為/+y2=￡.

例4.(2022?全國(guó)?高三開學(xué)考試(理))橢圓E：5■+，=1(〃>〃>0)的離心率為孝，且過點(diǎn)僅在2).

⑴求橢圓E的方程；

(2)6，鳥分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A,8在橢圓上(不含長(zhǎng)軸端點(diǎn))，且關(guān)于y軸對(duì)稱，P為橢圓上

異于48的動(dòng)點(diǎn)，直線均與尸8分別交y軸于M,N兩點(diǎn)求證：直線M耳與叫的交點(diǎn)在定圓上.

【答案】⑴2+1=1

168

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)依題意可得4=0。且8=。，再根據(jù)橢圓過點(diǎn)(2應(yīng),2),即可求出c,從而得解；

(2)設(shè)A(X，M),尸仁,%),即可得到心、3P的方程，表示出用、N的坐標(biāo)，從而得到加￡、

NF1,兩式相乘整理即可得到交點(diǎn)方程；

(1)

解：由￡=變得°=缶，由—從，所以6=c,

a2

6

把點(diǎn)（2夜,2）代入方程得《+捺=1,所以,2=8，

22

所以橢圓E的方程為土r+匕=1.

168

⑵

解：設(shè)A（x”yJ,尸（如為），

1

由A尸方程：曠一y二必一,（*_&）,得“jo,汕二包，

%2-苦VX2~X\y

由BP方程：y-y=止彌+不），得N（o,&2i±四，

%+%I超+玉）

二岬的方程為"蒸舞卜+2月,①

可的方程為尸一翁［二/-2&），②

由①②相乘得/=聾言印，一8）,③

由A,P在橢圓上可得才=8吟，貨=8吟，

代入③式可得：y2=-（x2-8）,

即直線M耳與Ng的交點(diǎn)在定圓￡+尸=8上.

過關(guān)測(cè)試

22

1.（2022?上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，4、8是橢圓C:工+匯=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢

43

圓上與48均不重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)直線//、BN、ZN的斜率分別是占、自、

⑴若直線初V過點(diǎn)（1,0）,求證：4義為定值；

（2）設(shè)直線A/N與x軸的交點(diǎn)為?,0）（/為常數(shù)且20）,試探究直線ZM與直線8N的交點(diǎn)。是否落在某條定

直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由.

7

【答案】（1）證明見解析;

4

（2）是，x=—.

t

【解析】

【分析】

⑴設(shè)直線"N為：x=my+\,%（%，%），聯(lián)立MV方程和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理和斜率計(jì)算

公式計(jì)算匕4即可;

（2）設(shè)仞V：x=my+t,M（XQJ,N（x?,%）.聯(lián)立A/N方程和橢圓方程，求得根與系數(shù)關(guān)系.聯(lián)立與BN

方程，消去外求解x,將根與系數(shù)關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可求解.

（1）

設(shè)直線MN為：x=my+1,”（內(nèi),y），N（x2,y2）,

x=my-\-\

X2y2得，（3機(jī)2+4）/+6沖一9=0,

----F—=1

43

16m—9

??y+必=—$—

13m2+4

.?i=上上=」一———”一「

%+2x2+2myx+3my2+3m'y%+3加(y+>2)+9

—9

=____________3瓶2+4_____________=__________2?_________=z2=_l

,(91"-9/M2-18/M2+27W2+36364

I3m-+4JI3m'+4J

火「B為定值;

4

⑵

設(shè)A/N：x=my+t,N?,%).

=1

43n(4+3m2)y2+6m/>+3產(chǎn)-12=0,

x=my+1

一6mt3產(chǎn)-12-6mt

.?k

則AM:y=):(x+2),BN:y=(x-2),

了2—2

//和8N方程聯(lián)立得，”、(x+2)=一三(x-2),

x+2%,+2%(機(jī)y+f+2)%相)'跖+"+2)必

RJ--------=---------------=-------------------------=----------------------------

x-2X2-2x(m%+-2)K吵%+。一2)X

8

3廣-12/_\（—Gmt

4+3加2'）（4+3m2

3產(chǎn)-12

+（，_2）,弘

4+3小

m（3t2-12）+（，+2）[-6皿一（4+3m2）y]

^（3/2-12）+（/-2）（4+3//12）^

222

3mt-\2m-6mt-12mt-（Z+2）（44-3/n）yi

m（3/_12）+（，_2乂4+3加卜1

22

-3mt-12mt-12〃z-?+2）（4+3m）y]

加（3尸一12）+（￡-2乂4+3勿2）%

-3m（t+2）2-（r+2）（4+3m2）y

3機(jī)（，+2乂/一2）+?-2乂4+3〉）%

r+2-3機(jī)（/+2）-（4+3也%

t-23m（f+2）+（4+3〃/）y

_t+2

~2^7

x+2t+24

即------=------nx=—

x—22—t--------t

4

即直線ZM與直線8N的交點(diǎn)Q是否落在某條定直線x=包上.

22

2.（2022?江蘇南京?高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C：0+與=1（a＞方＞0）的上頂點(diǎn)

為AQ2）,離心率e=YZ,過原點(diǎn)O的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P,。兩點(diǎn)，直線RI,0/分別

2

與x軸交于"，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)A/,N分別作直線雙，。/的垂線，設(shè)交點(diǎn)為幾

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：點(diǎn)7?在定直線上運(yùn)動(dòng).

22

【答案】⑴一+一=1

84

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）由題意得到b=2,再由6=也，求得4=8,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

QO7,2

（2）設(shè)直線PQ的方程為丫=匕，聯(lián)立方程組求得不馬二-「米，得至分別求得”和AQ

I+1+2k

9

的方程，求得M（二^\，。），N（二^,0）,結(jié)合MR_LAP,NG，AQ,求得MR和M?的方程，代入即可求解.

%-2y2-2

（1）

v-2v2

解：由題意，橢圓C：3+4=l（a>b>0）的上頂點(diǎn)為40,2）,可得b=2,

a-b~

由離心率6=立^,可得==1-4=:，解得/=8，

2cra12

22

所以橢圓的方程為二+幺=1.

84

⑵

解：由題意知，直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為丫=辰，

\y=kx一c

聯(lián)立方程組3+22=8,整理得（1+2公）/-8=0,

8

設(shè)P（A,X）,,必），可得h+工2=0,玉x?=-,

1?乙K

、8人2

則%+%=+々）=0,=-1+〃方，

又由4（0,2）,所以直線AP的方程為y-2=比心（x-0）,即y=2i二X+2,

王占

令〉=0,可得工=二^,即M（3y,0）,

y-2y,-2

同理可得：直線AQ的方程為y=?二X+2,點(diǎn)N（二^3,0）,

因?yàn)镸R，AP,M?_LAQ,所以七匠=二、，心匠=二^

y-2y2-2

所以直線MR的方程為'=二、（*+/）,

可得x=

X-2y,-2一百y1-2

直線NR的方程為卜=言（，+色），可得-啟,

1V.-22xy2-22x,整理得（上二7-2))_2菁2/

所以〒—yK

為,X-2y2-l

所以"用+2々、=-2x2yt+4X2+2Ky2-4玉

Xi%(y,-2)(y2-2)

4X+

所以何4-2玉-kXyX-,+2X2_-2kx2x}+22kx}x2-4x]

又因?yàn)楸?乜，乂=埔，,?”(-2)

2x>-2x-4x+4X2

所以二一1?y=l

玉WMM+4

10

2中22XJX22X1X2

所以)丁|必+48旬~~~4-

--------J-4-----T

1+2/1+2公

h、j8，匚I、I—161+2Z~

因?yàn)?~~~~—y,所以y=--------------4,

-\+2k2,1+2/4

所以點(diǎn)R在定直線丫=-4上運(yùn)動(dòng).

22/T-

3.(2022?山西?一模(理))在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：★■+*>匕>。)的離心率《=苧，且

，A,8分別是C的左、右頂點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)已知過點(diǎn)G(l,0)的直線交C于"，N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)/,B),試證直線與直線N3的交點(diǎn)在定直線上.

丫2v2

【答案】⑴土+匕=1；

42

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得出關(guān)于〃、6的方程，結(jié)合離心率列出方程組，解方程組即可；

(2)設(shè)過點(diǎn)G的直線方程為x=my+l、)、%(馬，必)，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出M+必、)1%，

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求出直線與8N的方程，兩式相除，化簡(jiǎn)計(jì)算可得直線與8N的交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為4,即可證明.

(1)

由題意知,

ca

—=--

a2

a-yplc

16?

/十方=、化簡(jiǎn)得13

〔正+赤=1

a2=b2+c2

解得&2=4,〃=2,故橢圓的方程為￡+亡=1;

42

⑵

設(shè)過點(diǎn)G的直線方程為工=松+1,

x—my+1

<x2y2,消去X,得（加2+2）/+2沖-3=0,

—+—=1

42

2

A=4m+14-2）>0,設(shè)/V（x2,y2）,

11

—2m.—33

則X+乂必=1工，所以")'通=彳(%+%)

m+2m+22

又A(—2,0)，B(2,0),得砥.=卷，須N=-^,

X]+2/—2

所以直線4M的方程為y=—%(才+2),

直線BN的方程為y=±(x-2),兩式相除，

X-,-2.

徨]=乂

&_2x+2(x,+2)y2_x+2

付1

x.+2y2x-2'(x,-2)y,x-2'

39

+

（七+2）），2=（四；+3）%緲跖+3%_5'|+萬(wàn)%+3>22^i2

33=3,

二13-

。2-2）凹（m），2-1）凹my%一,-+-

22/X+/%

即一-=3,解得x=4,

x-2

即直線AM與8N的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,

所以直線與8N的交點(diǎn)在定直線x=4上.

4.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)（理））在直角坐標(biāo)系屹y中，橢圓C:±+/=l與直線/：》=叫用交于朋，N兩

4

點(diǎn)，P為的中點(diǎn).

（1）若加＜0,且N在x軸下方，求tan/OPN的最大值；

（2）設(shè)48為橢圓的左、右頂點(diǎn)，證明：直線ZN,8/的交點(diǎn)。恒在一條定直線上.

【答案】⑴一］4

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）利用三角形外角的性質(zhì)，找到tanNOPN與直線"N,0P傾角的關(guān)系，從而找到斜率關(guān)系，聯(lián)立直線

MN與橢圓得到韋達(dá)定理，然后利用兩角和差公式以及均值不等式求解即可.

12

(2)利用坐標(biāo)分別表示出直線/N,8M的方程，聯(lián)立方程組可發(fā)現(xiàn)其兩直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值.

(1)

設(shè)NH，%).

(1)記/的傾斜角為a,OP的傾斜角為夕，則NOPN=a—〃.

2m

x=my+1,%+%=--

由2得（m2+4）/+2機(jī)、一3=0,貝I卜/n+4

—3

乂必二^^，

+4

、八8十口r/4根m

所以=加（乂+%）+2=1-于是尸一^-一一j~7?故ZOP=一二?

--'m2+4I"+4/n2+4J4

，+%/、

所以tanZ.OPN=tan（a—尸）=_k—跳——=~~~|,

'產(chǎn)）1+3?&「I3{m4）3

4

]/??

當(dāng)且僅當(dāng)--=-丁，即加=-2時(shí)，取到“=”.

m4

4

所以tanNOPN的最大值為.

⑵

易知A(-2,0),B(2,0).由題意知心N=上不，原M=f,

X)+，X|-Z

所以直線/N的方程為y=*—(x+2),

直線8"的方程為〉=一卷一(》-2).

Xj-Z

令（x-2）="+2）,

X.—ZX。十N

2%（%-2）+2）（9+2）4〃叫％-2俳+6）1

解之得X=

%（々+2）-%（占-2）

3yl+y2

4毆%-2（%+?）+8乂

2%+（%+必）

所以點(diǎn)。恒在定直線工=4上.

22

5.(2022?河南?模擬預(yù)測(cè)(文))己知桶圓C:「+:=1(a＞。＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A(-2,0),8(2,0),離

ab

心率為迫直線/:x=my+l和C交于M,N兩點(diǎn)、

2

⑴當(dāng)小=0時(shí)，求網(wǎng)的值;

13

（2）設(shè)直線的交點(diǎn)為。，證明：點(diǎn)。恒在一條定直線上.

【答案】（1）|MN|=6

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）由題意可求出a，c,再由層=〃一,2,可求出從，從而可求出橢圓方程，將x=l代入橢圓方程中可求

出N兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出|MN|的值，

（2）設(shè)加（補(bǔ)%）,2區(qū),丫2）,將直線方程代入橢圓方程中消去x,利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線AN的方

程和直線的方程，聯(lián)立求出其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)化簡(jiǎn)可得答案

（1）

設(shè)橢圓的半焦距為c（c>0）.根據(jù)題意，4=2,

因?yàn)椤?正，所以c=6，

a2

所以y-2=4-3=】，

所以C的方程為￡+丁=1,

4

當(dāng)加=0時(shí)，Z：X=1,代入C的方程可得y=土孝,

所以|MN|=g.

⑵

x=my+l

x22，得（加+4）/+2緲一3=0,

二=1

12m

X+%=_24

設(shè)”（百,％）,%（工2，>2）,則｛m+

m~+4

因?yàn)楹驛N=1o=.?o，

X2+2f-2

所以直線4V的方程為y=+2）,

直線BM的方程為y=~^、（x-2）.

七一2

令93-2）=上方（》+2）,

%-2x2+2

14

2y2(%-2)+2y(%+2)=4〃5%—2*+

解之得X=

%(七+2)-%(陽(yáng)-2)