二次函數在閉區(qū)間上的最值課件

二次函數在閉區(qū)間上的最值1求下列函數的最大值和最小值。1.2.3.4.預習檢測學習目標：能利用數形結合、分類討論思想求閉區(qū)間上二次函數最值重點：二次函數在閉區(qū)間上最值（1）軸定區(qū)間變（2）軸定區(qū)間定（3）軸變區(qū)間定難點：

數形結合、分類討論思想例1.求函數y=-x2-2x+3在區(qū)間[-2,3]上的最值oxyX=-1-313-24-12解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4∴函數的對稱軸為直線x=-1∴

-2≤-1≤3∴當x=-1時，y的最大值為f(-1)=4當x=3時，y的最小值為f(3)=-12一、定函數定區(qū)間問題引導下的再學習例2、已知函數y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求實數a的值yx10-1a＞0解：當a=0時，f(x)=1（不合題意）當a≠0時，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)當a＞0時，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=

0.5

二、定區(qū)間定軸動函數例2、已知函數y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求實數a的值yx10-1a＜0(2)當a<0時，f(x)max=f(0)=1-a=2，

∴a=-1例2、已知函數y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求實數a的值解：當a=0時，f(x)=1（不合題意）當a≠0時，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)當a＞0時，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=0.5

(2)當a<0時，f(x)max=f(0)=1-a=2，

∴a=-1綜上所述：a=0.5或a=-1yx10-1a＞0yx10-1a＜0解：∵函數的對稱軸為直線x=a⑴當a≤0時y的最大值為f(0)=1-a例3求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值.

yOx10X=a三、定區(qū)間動軸動函數(2)當0＜a＜1時y的最大值為f(a)=a2-a+1

例3求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值.

Oxy10X=a(3)當a≥1時y的最大值為f(1)=4+a

例3求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值.

xy10X=a例3求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值.

解：∵函數的對稱軸為直線x=a⑴當a≤0時

y的最大值為f(0)=1-a(2)當0＜a＜1時

y的最大值為f(a)=a2-a+1(3)當a≥1時

y的最大值為f(1)=4+a

yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考1：函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，求a的值.解：∵函數的對稱軸為直線x=a⑴當a≤

0時當x=0時y的最大值為2∴a=-1(2)當0＜

a＜1時當x=a時y的最大值為2∴a=-1（舍去）(3)當a≥1時當x=1時y的最大值為2∴a=2綜上所述：a=-1或a=2yOx10X=aOxy10X=axy10X=a課堂檢測思考2：求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考2：求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最小值.1）當＜時，y的最小值為f(1)=4+a2）當≥時，y的最小值為f(0)=1-a

2121Oxy10X=a解：∵函數的對稱軸為直線x=a解：∵函數的對稱軸為直線x=a⑴當a≤0時y的最小值為f(1)=4+ay的最大值為f(0)=1-a變題1求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最值.

yOx10X=a完全達標教學(2)當0＜

a＜1時y的最大值為f(a)=a2-a+11）當0＜

a＜時，y的最小值為f(1)=4+a2）當1＞

a≥時，y的最小值為f(0)=1-a

2121變題1求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最值.

Oxy10X=a(3)當a≥1時y的最大值為f(1)=4+ay的最小值為f(0)=1-a

變題1求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最值.

xy10X=a變題1求函數y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最值.

解：∵函數的對稱軸為直線x=a⑴當a≤

0時y的最大值為f(0)=1-ay的最小值為f(1)=4+a(2)當0＜

a＜1時y的最大值為f(a)=a2-a+11）當0＜

a＜時，y的最小值為f(1)=4+a2）當1

＞

a≥時，y的最小值為f(0)=1-a(3)當a≥1時y的最大值為f(1)=4+ay的最小值為f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a求二次函數f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值的方法：一看開口方向；二看對稱軸與區(qū)間的關系.

（2）當x0∈[m，n]時，f(m)、f(n)、f(x0）中的較大者是最大值,較小者是最小值；

（1）檢查x0=

是否屬于[m，n]；（3）當x0[m，n]時，f(m)、f(n)中的較大者是最大值，較小者是最小值.課堂小結二次函數在閉區(qū)間上的最值2O-2xy2-11.分別在下列各范圍上求函數y=x2+2x－3的最值.(2)(3)(1)R(4)31ymin=-4，無最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0預習檢測O-2xy2-1(2)(3)(1)R(3)(4)①當-2≤a<-1時aymax=-3,ymin=a2+2a-31.分別在下列各范圍上求函數y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-1(2)(3)(1)R(4)②當-1≤a≤0時a①當-2≤a<-1時ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-31.分別在下列各范圍上求函數y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-1(2)(1)R(4)③當a>0時a②當-1≤a≤0時①當-2≤a<-1時(3)ymax=a2+2a-3，ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-41.分別在下列各范圍上求函數y=x2+2x－3的最值.學習目標：能利用數形結合、分類討論思想求閉區(qū)間上二次函數最值重點：二次函數在閉區(qū)間上最值（4）定函數動區(qū)間（5）動軸動區(qū)間難點：

數形結合、分類討論思想例1、已知函數f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數f(x)的最值；10xy–23問題引導下的再學習例1、已知函數f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函數f(x)的最值；10xy234–1（2）若x∈[2，4]，求函數f(x)的最值；問題引導下的再學習例1、已知函數f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函數f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數f(x)的最值；y10x234–1

（3）若x∈[],求函數f(x)的最值；例1、已知函數f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函數f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數f(x)的最值；

10xy234–1

（4）若x∈[]，求函數f(x)的最值；

10xy234–1（5）若x∈[t，t+2]時，求函數f(x)的最值.tt+2例1、已知函數f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數f(x)的最值；

10xy234–1tt+2例1、已知函數f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]時，求函數f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函數f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]時，求函數f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函數f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]時，求函數f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函數f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]時，求函數f(x)的最值.

評注：例1屬于“軸定區(qū)間變”的問題，看作動區(qū)間沿x軸移動的過程中，函數最值的變化，即動區(qū)間在定軸的左、右兩側及包含定軸的變化，要注意開口方向及端點情況。10xy234–1tt+2例2、求函數f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–1問題引導下的再學習例2、求函數f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函數f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函數f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–110xy2–110xy2–1例2、求函數f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–110xy2–1例2、求函數f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.評注：例2屬于“動軸定區(qū)間”的問題，看作對稱軸沿x軸移動的過程中,函數最值的變化,即對稱軸在定區(qū)間的左、右兩側及對稱軸在定區(qū)間上變化情況,要注意開口方向及端點情況。10xy2–110xy2–1例3、已知函數f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函數f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函數f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函數f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函數f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1函數f(x)=x2-2x-3在閉區(qū)間[t,t+1](t∈R)上的最小值記為g(t),試寫出g(t)的函數表達式，并求出g(t)的最小值。解：f(x)=(x-1)2-41)當t＞

1時，g(t)=f(t)=t2-2t-32)當t≤

1≤

t+1時，g(t)=f(1)=-43)當1＞

t+1時，g(t)=f(t+1)=t2-4∴g(t)=t2-2t-3t＞

1-40≤

t

≤

1

t2-4

t＜

0∴g(t)min=-4四、定函數動區(qū)間1.求函數y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數圖象的對稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對稱軸在x=-的右邊.∴(1)當-1<≤a時,即a≥0時,由二次函數圖象可知:ymax=f()=

xyo-1a(2)當a<時,即-1<a<0時,

五、動軸動區(qū)間綜上所述:當-1<a<0時,ymax=0當a≥0時,ymax=

求函數y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數圖象的對稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對稱軸在x=-的右邊.∴(1)當-1<≤a時,即a≥0時,由二次函數圖象可知:ymax=f()=

(2)當a<時,即-1<a<0時,

axyo-1由二次函數的圖象可知:ymax=f(a)=0課堂檢測∵f(x)

在區(qū)間[0,2]上的最小值為

3,∴可分情況討論如下:2.已知函數

f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2

在區(qū)間[0,2]上有最小值

3,

求實數

a

的值.解:由已知

f(x)=4(x

-)2-

2a+2.a2a2(1)當≤0,即

a≤0

時,函數

f(x)

在[0,2]上是增函數.∴

f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)當

0<<2,即

0<a<4

時,a2f(x)min=f()=-2a+2.由

-2a+2=3

得:a=-

12

(0,4),舍去.a2(3)當≥2,即

a≥4

時,函數

f(x)

在[0,2]上是減函數.∴

f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由

a2-2a+2=