“關(guān)聯(lián)速度”模型

“關(guān)聯(lián)速度”模型

建構(gòu)物理模型，巧手解決問(wèn)題“關(guān)聯(lián)速度”模型作者：太原市第十二中學(xué)姚維明模型建構(gòu)：本模型以繩子或桿牽連物體，研究關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題。在力學(xué)問(wèn)題中，經(jīng)常出現(xiàn)牽連運(yùn)動(dòng)，即兩個(gè)物體用輕繩或輕桿相維系著向不同方向運(yùn)動(dòng)，但在沿繩或桿方向上的速度分量卻相同。這種特殊的運(yùn)動(dòng)形式與一般意義的動(dòng)力學(xué)連結(jié)體運(yùn)動(dòng)有很大的差別，通常不宜采用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解。大多可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)效果分解或功能關(guān)系分析（標(biāo)量運(yùn)算），也可以用微元法（借助三角函數(shù)）來(lái)處理。準(zhǔn)確地考察兩物體之間的速度牽連關(guān)系（矢量運(yùn)算）往往是求解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。在本模型中，我們將重點(diǎn)探究繩子（或桿）牽連物體，求解關(guān)聯(lián)速度的問(wèn)題。由于兩個(gè)物體相互關(guān)聯(lián)，一般地我們都要按照運(yùn)動(dòng)效果分解成沿著繩子（或桿）的速度分量（改變繩子或桿速度的大?。┖痛怪庇诶K子（或桿）方向的速度分量（改變繩子或桿速度的方向）。模型典案：典案1：如圖1所示，汽車(chē)以速度v勻速行駛，當(dāng)汽車(chē)到達(dá)圖示位置時(shí)，繩子與水平方向的夾角是θ，此時(shí)物體M的上升速度大小為多少？（結(jié)果用v和θ表示）解析一：運(yùn)動(dòng)效果分解法物體M與右段繩子上升的速率相同，而右段繩子上升的速率與M左段繩子在沿繩長(zhǎng)方向運(yùn)動(dòng)的速率v1是相等的。與車(chē)相連的端點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度就是合速度，且與汽車(chē)速度v相同。分析左段繩子的運(yùn)動(dòng)可知，它其實(shí)同時(shí)參與了兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，即沿繩長(zhǎng)方向運(yùn)動(dòng)和繞滑輪邊緣順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。將車(chē)速v分解為沿繩方向的速度v1和垂直繩子方向的速度v2，如圖2所示。根據(jù)平行四邊形定則可得v1=vcosθ。因此，物體M上升速度的大小為v'=vcosθ。解析二：位移微元法如圖3所示，假設(shè)端點(diǎn)A水平向左勻速移動(dòng)微小位移Δs至B，此過(guò)程中左段繩子長(zhǎng)度增大了Δs1（過(guò)A向OB作垂線(xiàn)AP，因頂角很小，故OP≈OA），即物體上升了Δs1。顯然，Δs1=Δs·cosθ?！军c(diǎn)評(píng)】這是我們處理這類(lèi)問(wèn)題常用的方法。物理意義很明顯。這種方法說(shuō)明了：①物體的運(yùn)動(dòng)一定是合運(yùn)動(dòng)；②物體的運(yùn)動(dòng)才能分解成沿繩子（或桿）——改變繩子速度大小的分量與垂直于繩子（或桿）——改變繩子（或桿）運(yùn)動(dòng)方向的分量；③改變物體運(yùn)動(dòng)方向的分量是圓周運(yùn)動(dòng)向心力的本質(zhì)。由于△s和△t都很小，根據(jù)速度的定義v=△s/△t，可以得到物體M上升的速度大小為v/=vcosθ。這種方法揭示了“運(yùn)動(dòng)效果分解法”的本質(zhì)，常常利用三角函數(shù)求解。另一種解法是通過(guò)功能關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。在不考慮滑輪、繩子質(zhì)量和摩擦的情況下，汽車(chē)對(duì)繩子的拉力F所做的功W（對(duì)應(yīng)功率設(shè)為P）等于繩子對(duì)物體拉力F'所做的功W'（對(duì)應(yīng)功率設(shè)為P'）。通過(guò)聯(lián)立功率公式和功能關(guān)系，可以得到物體上升的速度大小為v/=vcosθ。對(duì)于交叉放置的兩細(xì)棒a、b，交叉點(diǎn)A相對(duì)于b棒做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于棒a做向O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并隨著棒a做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。因此，可以把A沿b棒的運(yùn)動(dòng)分解為沿a棒徑向的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和切向的圓周運(yùn)動(dòng)，得到實(shí)際速度是徑向速度vx和切向速度vy的合速度。這種方法可以通過(guò)平行四邊形法則畫(huà)出A運(yùn)動(dòng)的矢量圖，從而求解A的速度。綜上所述，建構(gòu)物理模型是解決物理問(wèn)題的關(guān)鍵。通過(guò)巧妙地利用數(shù)學(xué)、功能關(guān)系和矢量圖等工具，可以更加深入地理解物理問(wèn)題的本質(zhì)，并得到準(zhǔn)確的解答。題中給出a棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，我們可以利用這個(gè)條件來(lái)求解a棒轉(zhuǎn)動(dòng)的線(xiàn)速度。根據(jù)公式v=ωr，我們可以求出切線(xiàn)方向的速度。然而，A點(diǎn)的速度是由徑向和切向速度合成得到的，因此還需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。具體地，我們可以利用三角函數(shù)關(guān)系，將線(xiàn)速度v表示為v=ωOA*sinθ/sin(2θ)，其中OA為a棒的長(zhǎng)度，θ為a棒與切線(xiàn)方向的夾角。題目中給出了一個(gè)系統(tǒng)，包括兩個(gè)物體A和B，通過(guò)一根輕繩相連。我們可以將這個(gè)系統(tǒng)看成一個(gè)整體，對(duì)其進(jìn)行受力分析。在B下降的過(guò)程中，重力對(duì)B做正功mgh，而地面摩擦力對(duì)A則做負(fù)功Wf。由于A與水平面間的正壓力是變化的，且動(dòng)摩擦因數(shù)未知，因此我們無(wú)法用功的定義來(lái)求解Wf。但我們可以利用動(dòng)能定理，將Wf表示為Wf=mgh-1/2Mv^2-1/2mv1^2，其中v1為物體B的瞬時(shí)速度，即v1=vcosθ。通過(guò)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，我們可以求出v1，從而得到Wf的值。本題中，一個(gè)人與一輛汽車(chē)相距L=200m，人想以最小的速度趕上汽車(chē)。我們可以將汽車(chē)看作參考系，分析人相對(duì)于汽車(chē)的合運(yùn)動(dòng)方向。具體地，我們可以將人相對(duì)于汽車(chē)的速度合成為v合，然后利用三角函數(shù)關(guān)系，求出人應(yīng)該沿與v成多大角度的方向以多大的速度跑動(dòng)，才能以最小的速度趕上汽車(chē)。為了使速度最小，需要讓v垂直于OP連線(xiàn)方向。設(shè)汽車(chē)運(yùn)動(dòng)方向與OP連線(xiàn)夾角為θ，則tanθ=0.25，解得θ=arctan(0.25)。因此，v=min=vsinθ=10×sin(arctan0.25)m/s=2.4m/s。可以利用物理模型解決問(wèn)題。另一種方法是利用數(shù)學(xué)方法。假設(shè)人在時(shí)間t內(nèi)正好在B點(diǎn)趕上汽車(chē)，設(shè)人車(chē)方向OP與公路夾角為α，OB與公路的夾角為θ。根據(jù)正弦定理，OB=Lsinθ/sinαπ。當(dāng)θ=arcsin(sinαπ/2)時(shí)，OB最小，所需速度最小。因此，v=min=vsinθ=10×sin(arcsin(sinαπ/2))m/s=2.4m/s。通過(guò)選擇參考系，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題。對(duì)于一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的桿OA，O端用鉸鏈固定，另一端固定著一個(gè)小球A，靠在一個(gè)質(zhì)量為M，高為h的物塊上。如果物塊以速度v向右運(yùn)動(dòng)，小球A的線(xiàn)速度需要求出。選取物與桿接觸點(diǎn)B為連結(jié)點(diǎn)，因?yàn)锽點(diǎn)在物塊上，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不變且與物塊運(yùn)動(dòng)方向一致，故B點(diǎn)的合速度（實(shí)際速度）也就是物塊速度v。B點(diǎn)又在桿上，參與沿桿向A點(diǎn)滑動(dòng)的速度和繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線(xiàn)速度。因此，將這個(gè)合速度沿桿及垂直于桿的兩個(gè)方向分解，由速度矢量分解圖得：v2=vsinθ。設(shè)此時(shí)OB長(zhǎng)度為a，則a=h/sinθ。令桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，則：ω=v2/a=vsin2θ/h。因此，A的線(xiàn)速度vA=ωL=vLsin2θ/h。如圖15所示，S為一點(diǎn)光源，M為一平面鏡，光屏與M平面鏡平行放置。SO是垂直照射在M上的光線(xiàn)，已知SO=L，若M以角速度ω繞O點(diǎn)逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則轉(zhuǎn)過(guò)30°角時(shí)，光點(diǎn)S′在屏上移動(dòng)的瞬時(shí)速度v為多大？根據(jù)幾何光學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)平面鏡繞O逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30°時(shí)，有∠SOS′=60°，且OS′=L/cos60°。因此，選取光點(diǎn)S′為連結(jié)點(diǎn)，由于光點(diǎn)S′在屏上，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不變，故該點(diǎn)實(shí)際速度（合速度）就是在光屏上移動(dòng)速度v；光點(diǎn)S′又在反射光線(xiàn)OS′上，它參與沿光線(xiàn)OS′的運(yùn)動(dòng)，速度為v1和繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，線(xiàn)速度為v2。因此，將這個(gè)合速度沿光線(xiàn)M30°OS′及垂直于光線(xiàn)OS′的兩個(gè)方向分解，由速度矢量分解圖16可得：v1=vsin60°，v2=vcos60°又由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可得，當(dāng)線(xiàn)OS′繞O轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為2ω時(shí)，有v2=2ωL/cos60°。因此，有vcos60°=2ωL/cos60°，解得v=8ωL。注：本題中需要注意選取連結(jié)點(diǎn)和判斷參與運(yùn)動(dòng)的方向，以及注意計(jì)算過(guò)程中的單位。另外，由于題目中給出的是瞬時(shí)速度，因此需要使用微積分的知識(shí)進(jìn)行求解。Cos30°=vB/sin30°③，解得vA=2gr/(3-√3)r，球落地后反彈速度vA'=vA√5/5，豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最大高度Hm=(3-1)r/2。【體驗(yàn)1】如圖19所示，在不計(jì)滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，當(dāng)小車(chē)勻速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A的受力情況是：繩的拉力小于A的重力。小車(chē)的速度可以分解為沿著繩子方向的速度分量v∥和垂直繩子方向的速度分量v⊥，沿著繩子方向的速度分量v∥就是物體A的速度。隨著繩子與水平方向的夾角α減少，物體A的速度減小，加速度a<0。再根據(jù)牛頓第二定律：F-mg=ma得到F<mg，正確答案為繩的拉力小于A的重力。【體驗(yàn)2】如圖21所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過(guò)繩帶動(dòng)小車(chē)m沿斜面升高。則當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時(shí)，小車(chē)的速度v'為vcosα。物體M的速度可以分解成沿著繩子的速度v/（即小車(chē)的速度）和改變繩子方向的速度v//?！倔w驗(yàn)3】如圖23所示，A、B以相同的速率v下降，C以速率vx上升，繩與豎直方向夾角α已知，則vy=vcosα。本題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是，按圖25分解，認(rèn)為vy=2vcosα。正確方法是：按圖24分解，物體C的運(yùn)動(dòng)能分解成沿著繩子的分量v和垂直繩子的速度分量v/。由幾何關(guān)系得：vy=vcosα。【點(diǎn)評(píng)】學(xué)生對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)不明確，容易出現(xiàn)速度分解錯(cuò)誤。同時(shí)有的同學(xué)認(rèn)為物體C的速度是2vy，這也是錯(cuò)誤的。需要仔細(xì)斟酌類(lèi)似的題目。【體驗(yàn)4】重物A、B由剛性繩相連，跨過(guò)定滑輪處于圖中實(shí)線(xiàn)位置，繩恰好拉緊，重物靜止在水平面上?，F(xiàn)用外力水平向左推A，當(dāng)A的水平速度為vA時(shí)，求此時(shí)B的速度vB。解析：對(duì)A、B進(jìn)行速度的分解，得到vAcos30=vBcos60，解得：vB=3vA。繩子的速度是聯(lián)系兩者速度的橋梁，按照運(yùn)動(dòng)的效果分解后，列出速度方程，問(wèn)題應(yīng)能解決?！倔w驗(yàn)5】物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺(tái)上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過(guò)B、D。BC段水平，當(dāng)以速度v拉繩子自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求：當(dāng)跨過(guò)B的兩段繩子夾角為α?xí)rA的運(yùn)動(dòng)速度v。解析：當(dāng)跨過(guò)B的兩段繩子夾角為α?xí)r，根據(jù)幾何關(guān)系可得到v=v1+cosα。建立幾何模型，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系解得速度v?！倔w驗(yàn)6】均勻直桿上連著兩個(gè)小球A、B，不計(jì)一切摩擦。當(dāng)桿滑到如圖位置時(shí)，B球水平速度為vB，加速度為aB，桿與豎直夾角為α，求此時(shí)A球速度和加速度大小。解析：小球的運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度和加速度的分解，可得到vA=vBtanα，aA=aBtanα。建立幾何模型，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系解得速度v和加速度a。【體驗(yàn)7】一輛車(chē)通過(guò)一根跨過(guò)定滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體。設(shè)繩的總長(zhǎng)不變，繩子質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計(jì)。開(kāi)始時(shí)，車(chē)在A點(diǎn)，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩繩長(zhǎng)為H。提升時(shí)，車(chē)加速向左運(yùn)動(dòng)，沿水平方向從A經(jīng)B駛向C。設(shè)A到B的距離也為H，車(chē)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB。求在車(chē)由A移到B的過(guò)程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功。解析：以物體為研究對(duì)象，開(kāi)始時(shí)其動(dòng)能為0。隨著車(chē)的加速運(yùn)動(dòng)，重物上升，同時(shí)速度也不斷增加。當(dāng)車(chē)子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，重物獲得一定的上升速度v，這個(gè)速度也就是收繩的速度，它等于車(chē)速沿繩子方向的一個(gè)分量。根據(jù)功的定義，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功為重物的重力與重物上升的高度之積。在重物上升的過(guò)程中，它受到繩的拉力T和重力mg的作用，上升的高度為H，重力做的功為WG=-mgh=-mgH。因此，根據(jù)動(dòng)能定理，重物的動(dòng)能增加為Ek2=1/2mvB2。其中，vB表示重物上升后的速度。兩車(chē)A和B通過(guò)細(xì)繩跨接在定滑輪兩側(cè)，并分別置于光滑水平面上。當(dāng)A車(chē)以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，若繩與水平面的夾角分別為α和β，求B車(chē)的速度。根據(jù)題意，B車(chē)的速度可以表示為vB=cosαv/cosβ。在一個(gè)半徑為R的半圓形軌道邊緣上，固定著一個(gè)定滑輪，一根輕繩兩端分別系著質(zhì)量為m1和m2的物體，且m1＞m2，繩子跨在定滑輪上，放手后，m1將從半圓形軌道邊緣處沿光滑軌道滑下。求當(dāng)m1經(jīng)過(guò)半圓形軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度。根據(jù)動(dòng)能定理，可以得到m1的速度為v=2gR(m1/m2+m1)^(1/2)。在水平固定的光滑細(xì)直桿上穿著A、B兩個(gè)剛性小球，并用兩根長(zhǎng)度均為L(zhǎng)、不可伸長(zhǎng)的輕繩分別將A、B兩小球與另一小球C連接。已知三個(gè)小球質(zhì)量均相同且都可看作質(zhì)點(diǎn)，現(xiàn)將兩根輕繩拉直呈水平狀，并同時(shí)自由釋放三個(gè)小球。在A、B兩小球相碰前的某一時(shí)刻，A、B兩小球的速度大小v與C小球下落高度h之間的關(guān)系式為v^2/2=gL(1-cosθ)-h，其中θ為輕繩與豎直方向的夾角。題目：求小球B上升過(guò)程中水平力F做功的大小。如圖37所示，豎直平面內(nèi)固定一直角桿，桿的水平部分粗糙，豎直部分光滑，兩桿上分別套有質(zhì)量為2kg和1kg的小球A和B，其中小球A與水平桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，A、B間用不可伸長(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)相連接，圖示位置處OA=1.5m、OB=2m?，F(xiàn)用水平力F沿桿向右拉動(dòng)小球A，并使小球B以1m/s的速度勻速上升。求在小球B經(jīng)過(guò)圖示位置上升0.5m的過(guò)程中，水平力F做了多少功？（tan37°=0.75、tan53°=1.33、g=10m/s2）解析：由題意可知，要使小球B沿豎直桿勻速上升，作用于小球A的水平力F不可能為恒力，故不能用W=Fs來(lái)計(jì)算F對(duì)小球A做功，又因?yàn)樾∏駻與水平桿之間有摩擦，系統(tǒng)也不滿(mǎn)足機(jī)械能守恒定律，應(yīng)對(duì)系統(tǒng)適用動(dòng)能定理或一般意義的功的關(guān)系式求解。顯然，當(dāng)小球B經(jīng)過(guò)圖示位置時(shí)，細(xì)線(xiàn)與豎直桿之間的夾角α應(yīng)滿(mǎn)足tanα=OA/OB=1.5/2=0.75（如圖38所示），此刻兩小球之間的速度vA'→B=OB/tanα=2/0.75=2.67m/s（即α=37°）。當(dāng)小球B經(jīng)過(guò)圖示位置上升0.5m時(shí)，細(xì)線(xiàn)與豎直桿之間的夾角β應(yīng)滿(mǎn)足tanβ=OA'/OB'=2/1.5=1.33（如右圖39所示），此刻兩小球之間的速度vA'→B=OB'/tanβ=1.5/1.33=1.13m/s（即β=53°）。于是，可以對(duì)小球A、B組成的系統(tǒng)在此過(guò)程中適用動(dòng)能定理：mAvA2/2+mBvB2/2=(mA+mB)gh-μmAgs，并注意到式中s=OA'-OA=2-1.5=0.5m。取各已知量代入可解得水平力F做功：W=F×s≈6.78J?；蛘咭部煽疾焖搅做功效果，建立一般意義的功的關(guān)系式：W=F×(sA'-sA)=mAvA'2/2-mAvA2/2。取各已知量代入可解得水平力F做功：W≈6.78J。從以上例子可以看出，在解決牽連運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，需要先確定兩個(gè)物體在牽連方向上的速度大小相等關(guān)系，然后將這種速度牽連關(guān)系應(yīng)用于相應(yīng)的