余弦定理教學(xué)課件

余弦定理余弦定理1、向量的數(shù)量積：2、勾股定理：AaBCbc證明：復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)AaBCbc余弦定理AcbAbc當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)AB邊的大小與BC、AC邊的大小和角C的大小有什么關(guān)系呢？怎樣用它們表示AB呢？復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)余弦定理思考題：若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB邊c.ABCabc解：復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)余弦定理定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)余弦定理ABCabcD當(dāng)角C為銳角時(shí)證明：過A作ADCB交CB于D在Rt中在中復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)余弦定理當(dāng)角C為鈍角時(shí)證明：過A作ADCB交BC的延長線于D在Rt中在中bAacCBD復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)余弦定理bAacCB證明：以CB所在的直線為X軸，過C點(diǎn)垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com9

利用余弦定理，可以解決：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊及夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.a2＋b2－c22abcosC＝復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com10例1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，

c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°,∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA

a()復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com11例2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，

C＝82°28′，解這個(gè)三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com12ABCOxy例3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、

(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com13ABCOxy例3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com14ABCOxy例3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com15解：在AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°

＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com16∴a＋b

＝√21.∴∠COA即a＋b與a的夾角約為49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O在OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°

＝21,2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com17例5已知四邊形ABCD的四邊長為AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,

求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思考：若A=θ,怎樣用θ表示四邊形ABCD的面積？2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com18練習(xí)ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，則c＝_____；√1314.6°（2）a=2,

b=3,

c=4,

則C=______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，則A＝______.復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級(jí)中學(xué)王新敞wxckt@126.com19研究題

總結(jié)解三角形的方法：已知三角形邊角中哪三個(gè)量，有唯一解或多解或無解？分別用什么方法？復(fù)習(xí)引入向量法幾何法坐標(biāo)法例題定理小結(jié)余弦定理課堂小結(jié)：1、定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的