函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲?1)

藝術(shù)高中數(shù)學(xué)組思考：觀察下列函數(shù)圖像，并說(shuō)出其中的規(guī)律.圖1是函數(shù)f(x)在某區(qū)域的圖像1在圖像中，從左至右圖象上升還是下降?______2在圖像中，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．3在圖像中，當(dāng)x1_____

x2時(shí)

f(x1)_____f(x2)1x2x)(1xf)(2xf)(xf圖1yx上升增大＜＜圖2是函數(shù)f(x)在某區(qū)域的圖像1在圖像中，從左至右圖象上升還是下降?______2在圖像中，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．3在圖像中，當(dāng)x1_____

x2時(shí)

f(x1)_____f(x2)1x2x)(1xf)(2xf)(xf圖2yx下降減?。迹竞瘮?shù)單調(diào)性定義

1．增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2

當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)<f(x2),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．2．減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2

當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．注意：1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2;

當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)

或當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)>f(x2)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：例一:圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)f(x)的圖象,根據(jù)圖象說(shuō)出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)?解：函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2，1)，[3，5]上是增函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒(méi)有增減變化，所以不存在單調(diào)性問(wèn)題；中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都可以；還要注意，對(duì)于在某些點(diǎn)上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點(diǎn).例二:證明函數(shù)f(x)=3x+2在R上是增函數(shù).證明：設(shè)任意x1、x2∈R，且x1<x2.

則f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).

由x1<x2得x1-x2<0.∴f(x1)-f(x2)<0,

即f(x1)<f(x2).∴f(x)=3x+2在R上是增函數(shù).判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)性的步驟：利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：1、取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2

；2、作差：作差f(x1)－f(x2)；3、變形，定號(hào)：變形，通常用因式分解法和配方法.

定號(hào)，即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)；4、下結(jié)論：指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性。例三:證明函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù).證明:設(shè)x1,x2是(0,+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),

且0<x1<x2,則由,x1,x2∈(0,+∞)，得x1x2>0,又由x1<x2,得x2－x1>0,于是,即∴在(0,+∞)上是減函數(shù).練習(xí)課本P32頁(yè)3