順序Gauss消去法解線性方程組

第二章五、計算題1.順序Gauss消去法解線性方程組。解：由線性方程組消去后兩個方程的x1得，再消去最后一個方程的x2得，回代得解:。2.用列主元素法求解線性方程組，計算過程保留三位小數。解，回代得。3.用直接三角分解法解方程組。解：由得。先求Ly=b得y：得，再求Ux=y得x：得。4.已知向量，求向量x的1、2和-范數。解：；；。第3章五、計算題1.用Jacobi迭代法求解線性方程組，迭代兩次。解：將方程組改寫成等價形式，Jacobi迭代法計算公式為。設初始向量取，第一次迭代；第二次迭代，，。2.用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組，迭代兩次。解：將方程組改寫成等價形式，得Gauss-Seidel迭代法計算公式。設初始向量取，第一次迭代，第二次迭代。3.設有方程組，其中。求Jacobi迭代法解該方程組時的收斂性。解由Jacobi迭代矩陣得到對應的特征方程，所以特征值為，由譜半徑的定義得迭代矩陣的。由迭代法收斂的充分必要條件知Jacobi迭代法發(fā)散。第五章四、計算題1.已知，，，求拉格朗日插值多項式及的近似值，取5位小數。解：2.已知數據如下表所示，分別用Lagrange插值法和Newton插值法求的三次插值多項式，并求的近似值。13452654解：（1）Lagrange三次插值多項式為（2）Newton插值法具體差商表如下：一階差商二階差商三階差商1236245–1–154–100.25因此（3）3.取節(jié)點，，，求函數在區(qū)間上的二次Lagrange插值多項式，并估計誤差。解：因為，，故截斷誤差4.以100，121，144為插值節(jié)點，用Newton插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。解：1）構造如下差分表：一階差商二階差商1001211441011120.04761900.0434783–0.0000941136所以令x=115，代入上式，得10.722762）因，所以結合得5.已知，，，，則2次Newton插值多項式中的系數為?3次Newton插值多項式為？答：差商計算表如下一階差商二階差商三階差商–12042110622261651因為所以二次Newton插值多項式中的系數為2。3次Newton插值多項式即是在2次Newton插值多項式基礎上增加一項：第6章函數逼近二、計算題1.已知數據表如下所示，求其一次最小二乘擬合多項式。解：列數據表正則方程組為：解得。所以。2.已知數據組如下表所示，求的二次最小二乘擬合多項式，并求的近似值。－2－101242135解：ixiyixi2xi3xi4xiyixi2yi1－244－816－8162－121－11－22301000004131113352548161020∑01510034341正則方程組為，解得。所以，，。第7章四、計算題1.求積公式為。(1)求A、B使求積公式的代數精度盡量高,并求其代數精度；(2)利用此公式求(保留四位小數)。解：(1)時，求積公式精確成立，即得。求積公式為。當時，公式顯然精確成立；當時，左，右。所以代數精度為3。(2)。2.已知數值積分公式為，試確定積分公式中的參數λ，使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度。解：顯然精確成立；時，；時，；時，；時，。所以，其代數精確度為3。3.用梯形公式和Simpson公式計算積分。解：。梯形公式:。Simpson積分公式：。4.n=3，用復化梯形公式求的近似值（取四位小數），并求有效數字的位數。解：，因此。已知,由，，，得。所以，至少有兩位有效數字。五、綜合題1.數值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數精度是多少？解：1）是。因為在節(jié)點1、2處的插值多項式為已知，所以。2）時，求積公式精確成立，當時，左=9，右7.5，求積公式不成立。所以其代數精度為1。2.取5個等距節(jié)點，分別用復化梯形公式和復化Simpson公式計算積分的近似值（保留4位小數）。解：5個點對應的函數值列表如下所示xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111(1)復化梯形公式：將n=4，h=2/4=0.5及上表帶入得。(2)復化Simpson公式：將m=n/2=2，h=2/4=0.5及上表帶入得：。第8章三、問答題1.方程在區(qū)間內有唯一根，若用迭代公式，則其產生的序列是否收斂于？說明理由。答：迭代函數為因此所以對任意的初值，此迭代公式產生的向量序列收斂。2.寫出解方程的Newton迭代公式。答：Newton迭代公式為因為所以方程的Newton迭代公式為四、計算題1.用Newton法求在附近的根，計算準確到4位有效數字。

解：由Ne