高中新課標(biāo)《數(shù)學(xué)》（必修+選修）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中新學(xué)課習(xí)標(biāo)及《數(shù)考學(xué)試》（資必料修整+選理修）匯知編識(shí)點(diǎn)總結(jié)

——備考沖刺篇一

（考點(diǎn)或配套習(xí)題突擊訓(xùn)練專用）

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引言

1、課程內(nèi)容：

必修課程有2本書(shū)：

必修1：集合與常用邏輯用語(yǔ)、一元二次函數(shù)及方程和不等式、函數(shù)的概念與性質(zhì)、指數(shù)函

數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù).

必修2：平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步、統(tǒng)計(jì)、概率.

以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的.

上.述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分，其中包括集合、

函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、立體幾何初步、統(tǒng)計(jì)概率等.不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)，

進(jìn)?步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過(guò)高的要求.

選擇性必修課程有3本書(shū)：

選擇性必修一：空間向量與立體幾何、直線和圓的方程、圓錐曲線的方程.

選擇性必修二：數(shù)列、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.

選擇性必修三：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析.

2、重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)

高考相關(guān)考點(diǎn)：

(1)集合與簡(jiǎn)易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏輯、充要條件

(2)函數(shù)：函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

(3)數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

(4)三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證

明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

(5)平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

(6)不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、不等式的應(yīng)用

(7)直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、圓、直線與圓的位置關(guān)系

(8)圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、圓

錐曲線的應(yīng)用

(9)直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、

空間向量

(10)排列、組合和概率：排列組合的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

(11)概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

(12)導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(13)復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

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高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

K1.13集合

[1.1.11集合的含義與表示

1、集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.

2、常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，H表示實(shí)

數(shù)集.

3、集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aeM,或者。住M,兩者必居其一.

4,集合的表示法

(1)自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.

(2)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，元素之間用逗號(hào)隔開(kāi)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集

合.

(3)描述法：｛xx具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

(4)圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.

5、集合的分類

(1)含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.

(2)含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.

(3)不含有任何元素的集合叫做空集(0).

[1.1.2)集合間的基本關(guān)系

1、子集、真子集、集合相等

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(l)AcA

AqB

A中的任-元素都(2)0cJ

子集(或

屬于B(3)若4口8且則NQC

B2A)

(4)若力之8且8口力，則4=8或

AuBAqB,且B中至(1)0u/(A為非空子集)

真子集少有一元素不屬于

(或BnA)(2)若4u8且BuC,則ZuC

*A工工■

A中的任一元素都

集合(DAcB

A=B屬于B,B中的任一

相等(2)BcA

元素都屬于A

2、已知集合力有〃(〃21)個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2"-1個(gè)真子集，它有2"-1個(gè)非

空子集，它有2"-2非空真子集.

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[1.1.3)集合的基本運(yùn)算

1、交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

AHA=A

AQB*卜￡4且4n0=0

交集

xeB}JA5CJ0

A\JA=A

A\JB/,或A\J0=A

并集

xeB}JU52j

AUB^B0

4n

A\J(^,A)=U

{x|xet7,￡LxgJ}u

補(bǔ)集

照/DB)=(“4)U(03)Q

瘠(4U8)=(")n(4)

K1.23邏輯用語(yǔ)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語(yǔ)句.假命題：判斷為假的語(yǔ)句.

2、“若0,則g”形式的命題中的〃稱為命題的條件，夕稱為命題的結(jié)論.

3、若pnq,則〃是q的充分條件，夕是〃的必要條件.

若p<=>q，則p是q的充要條件(充分必要條件).

4、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作p/\q.

當(dāng)p、q都是真命題時(shí)，pA4是真命題：當(dāng)p、q兩個(gè)命題中至少有一個(gè)命題是假命

題時(shí)，pAg是假命題.

用聯(lián)結(jié)詞''或"把命題p和命題夕聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pvq.

當(dāng)p、q兩個(gè)命題中至少有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pvq是真命題：當(dāng)p、夕兩個(gè)命題

都是假命題時(shí)，pvq是假命題.

對(duì)一個(gè)命題p全盤(pán)否定，得到一個(gè)新命題，記作一9.若p是真命題，則-W必是假命

題；若p是假命題，則-W必是真命題.

5、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“V”表示.

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.

全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立)記作“VxcM,p(x)”.

短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“三”表示.含有存

在量詞的命題稱為特稱命題.

特稱命題“存在M中的一個(gè)X,使p(x)成立”，記作“3xeM,P(X)

6、全稱命題夕：VXGM.P(X),它的否定r?：3xeM,全稱命題的否定是特

稱命題.

特稱命題p：3X6M,p(x),它的否定F?：VxeM,「p(x).特稱命題的否定是全稱命

題.

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第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

K2.13一元二次函數(shù)

1、二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a*0)

②頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-h)'+k(a*0)

③兩根式：/(x)=a(x-)(x-x,)(a*0)

(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②己知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/(x)更方便.

2、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

(1)二次函數(shù)/(x)=ax2+6x+c(a*0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x=一段",

2a

yj一口/b4ac—b~、

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（----,--------）.

2a4a

(2)當(dāng)。>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(-8,一qT上遞減，在［-2,+8)上遞增,

2a2a

,,,4ac-t>2

當(dāng)戶一工時(shí)，心(x)=M

當(dāng)。<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(—8,-2］上遞增，在［-2,用)上遞減,

2a2a

2

山b廠/、4ac-h

(3)二次函數(shù)/(X)=QX2+6X+C(QW0),當(dāng)A=〃—4ac>0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交

點(diǎn)M&0),峪(馬叫MMH演一訃￡.

\a\

3、二次函數(shù)/(》)="2+法+。伍工0)在閉區(qū)間［小切上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值為A7,最小值為加，令x()=g(p+g).

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(1)當(dāng)。>0時(shí)(開(kāi)口向上)

①若----<p,則加=f(7?)②若pW----Wq,則1TI—/(-----)③若---->q，

2a2a2a2a

①若----<p?則A/=f(p)②若pW-----Wq，則M=/(----)③若----->q，

2a2a2a2a

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K2.23一元二次方程

1、一元二次方程or?+fex+c=0(aX0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但

不夠系統(tǒng)和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)

的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程。，+云+，=0(。40)的兩實(shí)根為王,與，且玉＜x2.

令f(x)=ax2+bx+c,

從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題：

(1)開(kāi)口方向：a：(2)對(duì)稱軸位置：x=-—(3)判別式：A；(4)端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).

2a

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?kl<xl^x2<ki=

⑤有且僅有一個(gè)根為（或應(yīng)）滿足AV*（或是）=f（kjf（k）<0,并同時(shí)考慮

AA,）=O或AA2）=0這兩種情況是否也符合

⑥k、<X\VkWp、VxSp：<=>此結(jié)論可直接由⑤推出.

K2.33一元二次不等式

1、一元二次不等式的解法

判別式

△>0A=0△<0

A=h2-4QC

4十卜

二次函數(shù)4

y=ax'+bx+c(a>0

的圖象

一元二次方程-b+\lb2-4ac

h

2

ax+bx+c=0(a>0)…二-五無(wú)實(shí)根

的根(其中占〈X2)

ax2+bx+c>0(〃>0)

{xIX<再或X>勺}R

2a

的解集

ax2+bx+cv0(a>0)

{x|x(<x<x2}00

的解集

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2,分式不等式的解法

4^>0o/(x)g(x)>0

先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則，、、八("〈或4"時(shí)同理)

/(x)g(x)>0

g(x)[g(x)*o

規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

K2.42不等關(guān)系與不等式

1、不等式的基本性質(zhì)

(1)(對(duì)稱性)a>bob<a

(2)(傳遞性)a>h,b>c=>a>c

⑶(可加性)a>b<^>a+c>b+c

(同向可加性)a>b,c>d=>a+c>b+d

(異向可減性)a>b,c<d^>a-c>b-d

(4)(可積性)a>b,c>0=>ac>be

a>c<0ac<be

(5)(同向正數(shù)可乘性)a>b>O,c>d>0=>ac>bd

(異向正數(shù)可除性)a>b>0,0<c<dnq>2

cd

(6)(平方法則)a>b>0=>，>6"(”wN,月.">1)

(7)(開(kāi)方法則)a>b>0=>4a>^/b(neN,S.n>I)

(8)(倒數(shù)法則)a>/>>0=>-<-；?</><0=>->-J-

abab

K2.53基本不等式

1、重要不等式

(1)a2+b2>2ab(a,beH),(當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取"="號(hào)).

2,f2

變形公式：ab<------.

2

2、基本不等式

—(a，beR],(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)).

變形公式：a+b>2y/ah,ab<\----.

I2)

用基本不等式求最值時(shí)(積定和最小，和定積最大)，要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、

三相等”.

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(1)若ab>0,則2+022(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))

ab

若ab<0,則一2(當(dāng)僅當(dāng)@巾時(shí)取等號(hào))

ab

,c、bb+m.a+na..,....

(2)—<-----<1<-----<—,其中伍>b>0,m>0,n>0)

aa+mb+nb

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

［3.1］函數(shù)的概念

1、函數(shù)的概念

(1)設(shè)/、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合力中任何一個(gè)數(shù)X,

在集合8中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合/,8以及/到

B的對(duì)應(yīng)法則/)叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)，記作/:f8.

(2)函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

(3)只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

2、區(qū)間的概念及表示法

設(shè)。力是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且。<方，滿足aWxWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做［a,6］；滿

足a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做①力)：滿足或a<xW/>的實(shí)數(shù)x

的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做［a,6),(。力］；滿足xZa,x>a,x46,x<6的實(shí)數(shù)x

的集合分別記做［a,+?),(a,+8),(-8,6］,(-8,6).

注意：對(duì)于集合“|。<工<6｝與區(qū)間(凡6),前者?？梢源笥诨虻扔凇?，而后者必須

a<b.

3、求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

(1)/(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

(2)/(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的?切實(shí)數(shù).

(3)/(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等

于1.

JI

(5)y=tanx中，x豐k兀+~^(kwZ).

(6)零(負(fù))指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

(7)若/(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各

基本初等函數(shù)的定義域的交集.

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狒1?發(fā)3a頊9/25

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(8)對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知/(x)的定義域?yàn)椋邸?勿，其復(fù)合

函數(shù)/［g(x)］的定義域應(yīng)由不等式“4g(x)4b解出.

(9)對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

(10)由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義.

4、求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值

域中存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值

域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

(1)觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值.

(2)配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值

范圍確定函數(shù)的值域或最值.

(3)判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程

a(y)x2+/>(y)x+c(j)=0>則在a(y)#0時(shí)，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有

A=A2(y)--c(y)>0.從而確定函數(shù)的值域或最值.

(4)不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

(5)換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最

值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題.

(6)反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

(7)數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

(8)函數(shù)的單調(diào)性法.

【3.2］函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來(lái)表

示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2、映射的概念

(1)設(shè)彳、8是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合力中任何一個(gè)元素，在

集合8中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合/,8以及4到8的對(duì)應(yīng)

法則f)叫做集合A到B的映射，記作/:4f8.

(2)給定一個(gè)集合彳到集合8的映射，且如果元素a和元素6對(duì)應(yīng)，那么

我們把元素人叫做元素。的象，元素。叫做元素6的原象.

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[3.3]函數(shù)的基本性質(zhì)

1、函數(shù)的單調(diào)性

(1)定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)"y=f(X)/(2)利用已知函數(shù)

JJ

自變量的值X1、X2,當(dāng)X1<的單調(diào)性

々時(shí)，都有！SRqq?),(3)利用函數(shù)圖象

(在某個(gè)區(qū)間圖

那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)

°?x,xx象上升為增)

間上是承陽(yáng)犯:

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)yy=f(x)(2)利用已知函數(shù)

的單調(diào)性

自變量的值XI、X.,,當(dāng)X1<Rx)

(3)利用函數(shù)圖象

餐時(shí)，都有

(在某個(gè)區(qū)間圖

那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)

0X.X：X象下降為減)

間上是遮利蒙.

(4)利用復(fù)合函數(shù)

(2)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去

一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

(3)對(duì)于夏合函數(shù)y=/[g(x)],令"=g(x),若y=/(”)為增，"=g(x)為增，則

y=/[g(x)]為增；若y=/(〃)為減，"=g(x)為減，則y=/[g(x)]為增：若y=/(〃)為

增，“=g(x)為減，則y=/[g(x)]為減；若y=f(u)為減，u=g(x)為增，則y=/[g(x)]

為減.

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2、打"函數(shù)f(x)=x+q(a>0)的圖象與性質(zhì)

X

/(X)分別在(一8,-&］、［J1+O0)上為增函數(shù)，分別在［-JZ,O)、(O,JZ］上為減函

(1)一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)“滿足：

①對(duì)于任意的XGI,都有/(x)<M；

②存在,使得〃Xo)=M.那么，我們稱M是函數(shù)/(x)的最大值，記作

/(x)a=M.

(2)一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)〃?滿足：①對(duì)于任意的xe/,

都有②存在使得/(Xo)=m.那么，我們稱〃，是函數(shù)/(x)的最小值,

記作/(x)min=〃?.

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4、函數(shù)的奇偶性

（1）定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)的0定義域（1）利用定義（要

內(nèi)任意一個(gè)X,都有(a,f(a))先判斷定義域是否

f（-x）=-f（x）,那么函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

f（x）叫做奇函數(shù).oax（2）利用圖象（圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

(-a,f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對(duì)于函數(shù)耳X）定義域（1）利用定義（要

內(nèi)任意一個(gè)X,都有先判斷定義域是否

(-a.f(-a))(a.f(a))

f（-x）=Rx）,那么函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

叫做偶函數(shù).上（2）利用圖象（圖

-ao3X象關(guān)于y軸對(duì)稱）

（2）若函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，口在x=0處有定義，則/（0）=0.

（3）奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性

相反.

（4）在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩

個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇

函數(shù).

[3.4]一函數(shù)

1、耳函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做事函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).

3、恭函數(shù)的性質(zhì)

（1）圖象分布：基函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)

時(shí)，圖象分布在第一、二象限（圖象關(guān)于），軸對(duì)稱）；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象

限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）：是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限.

（2）過(guò)定點(diǎn)：所有的基函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)（1,1）.

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(3)單調(diào)性：如果a>0,則幕函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在［0,+00)上為增函數(shù).如果a<0,

則事函數(shù)的圖象在(0,+8)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與y軸.

(4)奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，基函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，界函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)a=2

P

ft

(其中p,q互質(zhì)，p和qeZ),若p為奇數(shù)4為奇數(shù)時(shí)，則y=x0是奇函數(shù)，若p為奇

21

數(shù)(7為偶數(shù)時(shí)，則y=是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=x。是非奇非偶函數(shù).

(5)圖象特征：募函數(shù)y=x",xe(0,+oo),當(dāng)a>l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x

下方，若X>1,其圖象在直線y=x上方，當(dāng)a<l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x

上方，若x>l,其圖象在直線y=x下方.

［3,5］函數(shù)的圖象

1、作圖

(1)利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域：②化解函數(shù)解析式：

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)：④畫(huà)出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、轅函數(shù)、三角函

數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

(2)平移變換

=〃)〃>0,左移〃個(gè)單位=〃/}

)一“X)〃<0,右移川個(gè)單位,)一.仆+”)

=f(\A〉o,上移」個(gè)單位>_〃丫)+左

歹v一?/⑴x?<o,下移/個(gè)單位>卜v一八x)+&

(3)伸縮變換

y=/(x)T4y=/(?

y=/(x)―?；祚??y=

(4)對(duì)稱變換

y=f(x)“軸>y=-f(x)y=/(x)''軸>y=f(-x)

尸/(x)3Uy=-/(-x)

去掉V軸左邊圖象

y=fW保留,1，軸右邊圖象，并作其關(guān)Jy軸對(duì)稱圖象

V,/?()保留聞1/圖象_"()?

y-j⑴將x釉下方圖象翻折匕>歹t八X)?

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2、識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別對(duì)應(yīng)的范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等

方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

3、用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是

探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具,要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

[3.6]函數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于函數(shù)》=/(x)(xW。)，把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)、=/(x)(xeD)的零

點(diǎn).

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義

函數(shù)y=/(X)的零點(diǎn)就是方程/(X)=O實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(X)的圖象與X軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo).即：

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)：

(1)(代數(shù)法)求方程/5)=0的實(shí)數(shù)根；

(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax2++c(a#0).

(1)A>0,方程a?+bx+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)△=0,方程以2+/?x+c=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有

一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

(3)△<0,方程ax?+bx+c=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)

無(wú)零點(diǎn).

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

[4.1]指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

1、根式的概念

(1)如果x"=a,a,且“GN+，那么x叫做a的〃次方根.當(dāng)〃是奇

數(shù)時(shí)，。的〃次方根用符號(hào)標(biāo)表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的〃次方根用符號(hào)標(biāo)表

示，負(fù)的〃次方根用符號(hào)-，■表示；。的〃次方根是0；負(fù)數(shù)。沒(méi)有〃次方根.

(2)式子標(biāo)叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開(kāi)方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，。為任

意實(shí)數(shù)；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a>0.

(3)根式的性質(zhì)：(布)"=a；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，歸=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

=\a\=\a(a>0)

\~a(?<0)

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2、分?jǐn)?shù)指數(shù)慕的概念

（1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義是：。7="（。>0,，〃,〃€乂,且〃>1）.0的正分?jǐn)?shù)指

數(shù)耗等于0.

（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是：J=（_!_）；，（_1）”（q>o,孫〃€乂,且〃>1）.

aVa

0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒(méi)有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

3、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-a'=ar+s(a>Q,r,se/?)(2)(/)'=d(a>0,r,seH)

(3)(ab)r=abr(a>0,b>0,reR)

[4.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

4、指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)歹=。'（。>0且叫做指數(shù)函數(shù)

67>10<?<1

k1

a

…呼一一一內(nèi)

圖象

j|?r

定義域R

值域(0,+OD)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)（0,1）,即當(dāng)X=0時(shí)，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)ax<\(x>0)

函數(shù)值的

ax=1(x=0)優(yōu)=1(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>\U<0)

4變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高：在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

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[4.3]對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

1、對(duì)數(shù)的定義

(1)若，=N(a>0,且,則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中a

叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).

(3)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log“Noa、=N(a>0,aHl,N>0).

2、幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

h

log“1=0,log“a=\,log((a=b.

3、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN,即logg用;自然對(duì)數(shù)：InN,即log”(其中e=2.71828…).

4、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,a#l,M>0,N>0,那么

(1)加法：log“M+log“N=log“(A/N)

M

<2)減法：log。"-log。N=log”方

n

(3)數(shù)乘：wlogaM=logaM(nGR)

(4)*“N=N

n

n

(5)log/M=—loguM(b^0,neR)

(6)換底公式：|08“可=鹿性(6>0,且6/1)

log/

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[4.4]對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log“x（a>0且ax1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a>\0<a<l

圖象

o\(1,0)^^