《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)大綱

《實(shí)變函數(shù)》教學(xué)大綱課程英文名RealVariableFunction課程代碼J0701Y36學(xué)分3總學(xué)時(shí)48理論學(xué)時(shí)48實(shí)驗(yàn)/實(shí)踐學(xué)時(shí)0課程類別學(xué)科基礎(chǔ)課程性質(zhì)選修課先修課程數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)適用專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)開(kāi)課學(xué)院理學(xué)院一、課程的地位和課程目標(biāo)（一）課程地位實(shí)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)分析課程的后續(xù)課程，是微積分理論的進(jìn)一步深入和發(fā)展。其核心內(nèi)容是測(cè)度與積分的理論，它是近代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，現(xiàn)已成為各大專院校數(shù)學(xué)專業(yè)高年級(jí)學(xué)生的必修或選修課程。同時(shí)，實(shí)變函數(shù)又是函數(shù)論、泛函分析、概率論和微分方程等課程的先修課程，為這些課程提供必要的測(cè)度論和積分論的基礎(chǔ)。（二）課程目標(biāo)1.學(xué)生通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，可以掌握勒貝格測(cè)度論和積分論的基本理論和方法；2.提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思想方法；2.為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其它學(xué)科的后續(xù)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。二、課程目標(biāo)達(dá)成的途徑與方法本課程采取集中授課，利用板書(shū)和PPT相結(jié)合的方式把一些基本理論知識(shí)傳達(dá)給學(xué)生，為了能讓學(xué)生更清楚的理解，課堂上要學(xué)生消化一些例子、課外給學(xué)生布置適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)，按時(shí)給學(xué)生批改作業(yè)，對(duì)作業(yè)中存在的問(wèn)題及時(shí)在課堂上給出解答。從而讓學(xué)生能深刻理解可測(cè)函數(shù)的概念；熟練掌握黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系。使學(xué)生真正體會(huì)到黎曼積分的不足與缺陷，進(jìn)一步說(shuō)明勒貝格積分是黎曼積分的推廣。學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力有一個(gè)大幅度的提高。三、課程目標(biāo)與相關(guān)畢業(yè)要求的對(duì)應(yīng)關(guān)系課程目標(biāo)課程目標(biāo)對(duì)畢業(yè)要求的支撐程度（H、M、L）畢業(yè)要求1畢業(yè)要求2畢業(yè)要求3課程目標(biāo)1HＨL課程目標(biāo)2HＬＭ課程目標(biāo)3LＬＭ四、課程主要內(nèi)容與基本要求（一）課程主要內(nèi)容第一章集合集合概念2、集合的運(yùn)算3、對(duì)等與基數(shù)4、可數(shù)集合5、不可數(shù)集合。第二章點(diǎn)集度量空間、n維歐氏空間2、聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)3、開(kāi)集、閉集、完備集4、直線上的開(kāi)集、閉集及完備集的構(gòu)造5、康托爾三分集。第三章測(cè)度論1、外測(cè)度2、可測(cè)集3、可測(cè)集類。第四章可測(cè)函數(shù)可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)2、葉果洛夫定理3、可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造4、依測(cè)度收斂。第五章積分論黎曼積分的局限性,勒貝格積分簡(jiǎn)介2、非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分3、非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分4、一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分5、黎曼積分和勒貝格積分6、勒貝格積分的幾何意義、富比尼定理。第六章微分與不定積分維它利定理2、單調(diào)函數(shù)的可微性3、有界變差函數(shù)4、不定積分5、斯蒂爾切斯積分5、勒貝格一斯蒂爾切斯測(cè)度與積分。（二）基本要求1．了解集合的概念、運(yùn)算及性質(zhì)；深刻理解可數(shù)集合的概念；2．理解n維歐氏空間中點(diǎn)集的基本知識(shí)；掌握直線上開(kāi)集、閉集及完備集的構(gòu)造；3．掌握集合L（勒貝格）可測(cè)的定義；熟練掌握其性質(zhì)；4．掌握可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)、可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造；熟練掌握葉果洛夫定理和依測(cè)度收斂的勒貝格定理；5．理解黎曼積分（R積分）的意義及其缺陷；掌握勒貝格積分（L積分）的定義及其性質(zhì)、L積分的極限定理、富比尼定理；6．了解有界變差函數(shù)的性質(zhì)；掌握積分與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系、L積分的分部積分法；了解斯蒂爾切斯積分（S積分）、勒貝格一斯蒂爾切斯測(cè)度（L—S測(cè)度）與積分（L—S積分）；五、課程學(xué)時(shí)安排章節(jié)號(hào)教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)生任務(wù)對(duì)應(yīng)課程目標(biāo)第一章集合概念集合的運(yùn)算對(duì)等與基數(shù)可數(shù)集合5、不可數(shù)集合6學(xué)時(shí)1.完成課后作業(yè)2.課前自學(xué)第一節(jié)、第二節(jié)內(nèi)容一、（二）1、2第二章度量空間、n維歐氏空間聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)開(kāi)集、閉集、完備集直線上的開(kāi)集、閉集及完備集的構(gòu)造5、康托爾三分集8學(xué)時(shí)1.完成課后作業(yè)2.課前自學(xué)第一節(jié)、第五節(jié)內(nèi)容一、（二）1第三章1、外測(cè)度2、可測(cè)集3、可測(cè)集集類6學(xué)時(shí)1.完成課后作業(yè)2.課前預(yù)習(xí)第一節(jié)內(nèi)容一、（二）2第四章可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)葉果洛夫定理可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造4、依測(cè)度收斂10學(xué)時(shí)1.完成課后作業(yè)2.課前預(yù)習(xí)第2內(nèi)容一、（二）2第五章黎曼積分的局限性,勒貝格積分簡(jiǎn)介非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分黎曼積分和勒貝格積分14學(xué)時(shí)1.完成課后作業(yè)2.課前預(yù)習(xí)第1,2節(jié)內(nèi)容一、（二）2一、（二）3第六章維它利定理單調(diào)函數(shù)的可微性有界變差函數(shù)不定積分斯蒂爾切斯積分勒貝格一斯蒂爾切斯測(cè)度與積分4學(xué)時(shí)1.完成課后作業(yè)2.課前預(yù)習(xí)第2節(jié)內(nèi)容3.自修第1節(jié)內(nèi)容一、（二）3六、考核方式及成績(jī)?cè)u(píng)定考核內(nèi)容考核方式評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)（依據(jù)）占總成績(jī)比例過(guò)程考核含到課率、課堂討論發(fā)言、平時(shí)作業(yè)等平時(shí)成績(jī)表20%期末考核閉卷試卷成績(jī)80%考核