熱點難點突破

(對應(yīng)學(xué)生用書P206)

離散型隨機變量取值的確定離散型隨機變量的分布列及其期望值的計算是歷年高考命題的熱點，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意準確求出離散型隨機變量的所有取值，這樣才能明確每個取值所對應(yīng)事件的性質(zhì)，然后根據(jù)事件發(fā)生過程求解其概率．常見離散型隨機變量主要有以下四類：獨立型、關(guān)聯(lián)型、組合型與推理型．一、獨立型離散型隨機變量的取值多以某類事件發(fā)生的次數(shù)作為隨機變量或事件中某個變量，如一次抽檢產(chǎn)品中次品的數(shù)量，n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)等，此類問題中離散型隨機變量取值的標準比較明顯，可直接根據(jù)題意確定．例1(2011年江西卷)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別，公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料，若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．(1)求X的分布列；(2)求此員工月工資的期望．【分析】

(1)由題意X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，而A飲料一共4杯，所以X只能取0,1,2,3,4，該概型是一個幾何概型，所以直接代入幾何概型的求解公式即可求得其分布列；(2)此員工月工資的取值與X的取值密切相關(guān)，找出其對應(yīng)概率然后代入數(shù)學(xué)期望公式即可．對于相互獨立的離散型隨機變量，其取值一般就是相關(guān)事件中的某個變量的取值，所以可以直接確定其取值，該題中只有A、B兩種飲料各4杯，且這名員工只能選4次，所以選對A種飲料的杯數(shù)只能取0,1,2,3,4，直接代入公式即可求得其概率分布列．如果要求這名員工工資的分布列，則需要把A種飲料的杯數(shù)與對應(yīng)工資數(shù)關(guān)聯(lián)起來．二、關(guān)聯(lián)型在概率分布列的求解問題中，我們經(jīng)常遇到獎金、積分等問題，此類離散型隨機變量的取值是由一系列事件中的變量取值所確定的，在解決此類問題時，首先列出所有的事件，明確每個事件所對應(yīng)的變量，然后根據(jù)規(guī)定的法則計算出每個事件中目標離散型隨機變量的取值，從而確定其所有取值的可能．例2某品牌的汽車4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表所示．已知分3期付款的頻率為0.2,4S店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元．用η表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤.(1)求上表中的a，b值；(2)若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用3期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及數(shù)學(xué)期望Eη.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期頻數(shù)4020a10b【分析】(1恭)根據(jù)斬統(tǒng)計此數(shù)據(jù)露和頻遠率的罷計算載公式儉可直物接求規(guī)出a，b的值洲；(2輕)事件A是一趟個獨離立重當(dāng)復(fù)試良驗，廢包含狗兩個燥互斥斥事件——沒有黃顧客乖采用3期付不款與擁只有1位采鍬用3期付閥款，階故先剩根據(jù)滴題意喊把頻辨率換房誠成概栽率，汽然后伸代入綱公式卸求解鍋即可凝；(3嚴)顧客國選擇臭付款畜的期袍數(shù)只圾能是1,核2,躬3,鉛4,倡5，根拴據(jù)題棚意得理到付竟款期銅數(shù)與宰利潤畢的關(guān)板系，災(zāi)然后障合并叮利潤筆相同晴的事敵件，麥確定巾汽車禁利潤η的取煉值，與然后王求出哈其對鋸應(yīng)的戀概率井值，凡代入辨期望冊公式逃求解香即可捆．(3偏)由題難意，龍可知ξ只能壘取1,忙2,巨3,員4,渴5.而ξ＝1時，η＝1；ξ＝2時，η＝1.米5；ξ＝3時，η＝1.志5；ξ＝4時，η＝2；ξ＝5時，η＝2.所以η的可成能取吧值為掛：1,璃1.考5,脊2，其辟中P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.頸4，P(η＝1.嘉5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.瀉4，P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.熄1＋0.芳1＝0.電2，所以η的分賣布列區(qū)如表蛙所示占：故η的數(shù)幟學(xué)期妄望Eη＝1×榮0.亂4＋1.霧5×局0.朱4＋2×浮0.歪2＝1.蟲4(萬元)．η11.52P0.40.40.2該題漫中顧益客購結(jié)車時蜓其付散款的墳期數(shù)僑是一錄個變割量，印但目礎(chǔ)標隨店機變騙量是罰從經(jīng)澇銷商左的角暴度來豆設(shè)計偵的，錦顯然贏這兩壟者是門從兩惰個不絹同的玻角度杯來反派映汽蕉車銷餃售方嘗面的疾問題琴的，饞在計趣算汽池車銷五售利常潤時茅，要肚注意半購買遣者采沖用不凈同付暗款期冊數(shù)，攏銷售梳商可衫能獲饒得相娛同的貧利潤屠，根騰據(jù)分套布列顧的性槳質(zhì)，偷隨機揚變量賣取任辭意兩割個值削時所撥對應(yīng)徒的兩橡個事胳件都藝是彼恢此互殃斥的乏，所財以要溪把利寧潤相辜同的遼情況創(chuàng)各并笑在一僵起，惡而不扣能根癥據(jù)其幼期數(shù)封分開愧．三、斧組合導(dǎo)型當(dāng)某權(quán)個事男件中袍涉及切多個證變量傘的時器候，脾往往昌要采普用多犧個變的量的委組合辯形式青作為宋離散阻型隨億機變嶄量的戰(zhàn)取值笨，此浸時離潔散型對隨機終變量旺的每特個取茫值往吐往對捉應(yīng)著炸幾類開不同術(shù)的事住件，練在求答解時淺應(yīng)該滔先確陡定每裝個事勸件所駝對應(yīng)廳的每販個變五量的琴取值找情況土，并門求出諒每個忌事件決中離梢散型搞隨機雄變量眨的取笛值，孩然后曉合并演取值繞相同閣的事域件確森定離際散型翅隨機忍變量記的取費值，侮并求籌出其炒對應(yīng)柳的概鋸率值泊．【分析】(1胃)先根繁據(jù)甲悟、乙爆兩人炭租車褲時間捎確定君他們短付費滴的情埋況，驚從而拐確定并付費螺相同請所對漢應(yīng)的校情況拳，將風(fēng)其分音解為評幾個不互斥配事件葵的概居率求岡解；(2壩)設(shè)甲律、乙嘉兩人弦付費叉分別干為x，y，先治根據(jù)橋題意鋪確定x，y的取以值情忍況，贊而ξ＝x＋y，從舌而求患出ξ的所我有取甜值，暈并確帝定每搞個取柜值所凳對應(yīng)皮的事殃件，皆求出軍其概等率列晝出分距布列陰，然固后代痕入數(shù)泳學(xué)期漫望公閑式求恩值即累可．xξy024002422464468該題鋪第(2牢)問中捏，目塊標隨談機變產(chǎn)量的憂取值售是兩誼人付類費之絞和，牽所以倆在求佛解過拜程中熟要先術(shù)寫出鍬甲、師乙兩傾人付糧費的否所有社可能憐，依慢次確剖定相坡應(yīng)的狗取值鑒，然膨后合搖并取懼值相畏同的某情況孔，從返而確俊定目惕標變薦量的盾取值殖．同僻樣，擺如果序求解才兩人甲付費魚之差栗的絕素對值緩的分殼布列蹄時，回也要肉一一辮寫出軍所有視的情優(yōu)況，忘由此尤確定填離散塑型隨嫂機變菜量的諒取值程，在糟求解勿過程弄中應(yīng)把該注面意把抽取值界相同癥的情就況合饅并在采一起己，這澤樣在蒸求解釘時就商可以魯把取天該值敢時的鑼概率暈轉(zhuǎn)化攔為幾欄個彼碰此互疏斥的歐事件豎的概隸率的燭和，騰這也對是處血理此造類取許值問們題最棗基本乳的方礦法．四、利推理中型對于冶離散研型隨姥機變丹量的木取值銳不能炭根據(jù)甚題意凈直接艙獲得掉的問稠題，奏需要裕我們價根據(jù)斧事件逗中所柴涉及竊的對咬象以倦及相神關(guān)變嫌量的儉取值奔情況榮，經(jīng)零過簡巨單的廚推理汁確定田其取者值的件可能狂性．賴準確囑把握忍事件患中幾舉類對踩象之眉間的層密切搞關(guān)系注是解肺決此脹類問凍題的逮關(guān)鍵估，常粱可轉(zhuǎn)嶄化為寫其對疊立事翅件的纖問題庸來解姥決．【分析】第(1守)問中定該事禁件的燙概率譯可以左轉(zhuǎn)化很為其飛對立膀事件——這個曠技術(shù)障難題斑三人挑都沒餃有攻倡克來亭求解僑；第(2仗)問是輔求在荒這一早技術(shù)駁難題浪被攻進克的伶前提民下離舟散型箏隨機矩變量刺的分指布列受，設(shè)法甲得側(cè)到的繭獎金只為ξ萬元閣，則撞乙、堆丙兩倘人得崇到的登獎金留之和尖為X＝a－ξ萬元蚊，進爽而根此據(jù)三駕人攻粒克難娘題的松情況芒確定癢其取果值的連可能足性及蠅對應(yīng)居的事甚件，倒利用弓條件鉗概率斑求其且對應(yīng)例的概未率，善列出仙分布逢列，煤最后弱代入競數(shù)學(xué)女期望屬的計緞算公遞式求宗解即適可．該題止如果添分別河求解首乙、約丙所駕獲獎?wù)劢鸬拿追植架壛?，明或者省直接家求解肉乙、焰丙兩禽人的濱獎金替之和旬的分滋布列雹，問睛題就評很復(fù)屠雜了底．本漂題中盜把握點住“技術(shù)浩難題右被攻塊克，慕則三爆個人亭的獎急金總帶和是側(cè)一個埋定值a”這個憂關(guān)鍵屋，那袖么乙榜、丙沫兩人滿的獎椅金總乏和問邪題就祖可以皂用甲稍的獎研金來器表示錄，則環(huán)該問泄題就開可以溪轉(zhuǎn)化凳為甲佳獲得貪的獎紗金的遼一個煎分布異列問百題，偏問題斤自然坐就得里到解尾決．總之感，準吩確確頁定離焰散型漆隨機振變量造的取析值是領(lǐng)求解學(xué)其分廳布列知和數(shù)炸學(xué)期茅望的瞧前提盜，解慨決此迫類問敲題一債定要姜理清鄰題中餓涉及求的變繼量種扔類及恥其相要互之奮間的慶關(guān)系須，主訪要利百用分姑類討市論和情化歸占與轉(zhuǎn)龍化的阿數(shù)學(xué)霞思想沸，先鄙確定化各個烘變量膨取每逃個值摟時所膠對應(yīng)慨的事敬件，昏然后姐根據(jù)騰題意朱確定維目標緊隨機筆變量源的取竹值，鑒最后翼合并肉取值翼相同費的情靜況，港從而更確定半目標楊隨機殲變量家的可越能取平值，撒進而形確定濤其對嚴應(yīng)的藏事件禿以及名概率良類型撐，代倡入公泰式求廚出其歸概率局值．強化露闖關(guān)1．某侮商場“十一”期間片舉行手有獎導(dǎo)促銷捏活動秤，顧瓣客只傘要在纖商店外購物集滿80筑0元就慶能得愚到一央次摸蝴獎機讀會．擁摸獎謠規(guī)則墳是：努在盒魄子內(nèi)爽預(yù)先笑放有5個相追同的蒼球，飼其中虧一個肺球標熱號是0，兩芝個球栗標號霜都是40，還駕有兩揮個球謀沒有糠標號容，顧遺客依烘次從美盒子疼里摸份球，橫每次關(guān)摸一徐個球(不放延回)，若謎累計躬摸到盯兩個益沒有唐標號芳的球瞇就停曬止摸家球，它否則乏將盒閘子內(nèi)記球摸便完才還停止搬．獎踢金數(shù)謙為摸開出球鮮的標冤號之抹和(單位胸：元)，已辜知某移顧客包得到都一次環(huán)摸獎鬧機會舍．(1瞎)求該寸顧客柿摸三律次球排被停畢止的盾概率妻；(2困)設(shè)ξ為該平顧客絹摸球?qū)幫Ｖ棺邥r所紹得的甩獎金夸數(shù)，發(fā)求ξ的分長布列容及數(shù)屑學(xué)期安望E(ξ)．2．一說個袋姿中裝銀有6個形工狀大顏小完頂全相捆同的嘗小球艘，球免的編劑號分破別為1,忘2,斃3,漁4,譽5,福6.(1或)若從適袋中榜每次券隨機箱抽取1個球守，有所放回析的抽禿取2次，怎求取嫁出的辨兩個勁球編菜號之體和為6的概闊率；(2債)若從劉袋中請每次粱隨機乘抽取2個球短，有杏放回頂?shù)某檫h取3次，頃求恰拋有2次抽伐到6號球辨的概昨率；(3喝)若一拉次從普袋中起隨機罵抽取3個球頌，記班球的白最大飼編號銅為X，求鉗隨機幅變量X的分晴布列駁．期望孕與方本差的3種求云解策猾略隨著絞現(xiàn)代炊科技叨的不辛斷發(fā)仁展，史數(shù)學(xué)禽在實輩際生挪活中影的應(yīng)率用領(lǐng)睡域在刊不斷驚地擴頓大，額且更楊加追泊求實驕效性得和精錯密性榴．離徑散型塑隨機亭變量桐在生竊活和困工作世中的鞏作用鐘尤為部突出呼，它流的分萌布列愧和數(shù)率學(xué)期量望、些方差憂也由埋此成曉為高挽考的雷熱點電問題儲，此也類試閱題具澇有信業(yè)息性梨強、加閱讀尸量大納、專懼業(yè)性羞強、云計算興量大綠等特棟點．舉下面恐讓我斜們共幸同探省討期犯望、蝕方差油常見雙題型禍的3種求義解策早略．策略土一定義撥、公間式法例1攏(2誤01緩1年北爛京卷)如圖仇所示識的莖拖葉圖調(diào)記錄組了甲商、乙鍋兩組墓各四跑名同枯學(xué)的致植樹殼棵數(shù)在．乙田組記獲錄中恨有一峰個數(shù)逆據(jù)模些糊，榴無法驗確認萍，在添圖中章以X表示.甲組乙組9

90X

8

91

110【分析】(1割)莖葉善圖給螺出的真是一譯組數(shù)售據(jù)，厲可應(yīng)占用平悅均數(shù)頂?shù)亩◤澚x和踢方差播的計蘆算公錦式直則接求貪解；(2常)依題淚意可貓知Y可取刑值“17活,1捎8,媽19脹,2嘆0,吵21”，通校過莖查葉圖瘋可知奔當(dāng)Y取各較值時同分別岡有2,色4,失4,激4,中2種情哨況，鮮分別里從甲暈、乙頭兩組優(yōu)中隨慎機選糧取一趙名同犧學(xué)，背共有4×疤4＝16種可將能的膽結(jié)果且，綜術(shù)上可俯求分蹄布列秘，而德后由閃公式端可求穿期望膊．【分析】(1王)甲命源中2次且棋兩人貼共射胖擊3次，考所以刺可知拐第1,送2,旬3次都狠是甲篩射擊榨，且喘前2次擊從中，肯第3次沒株有擊鋪中，饅故其妨概率刷可求亭；(2雄)甲沒徒有擊已中才栗能夠著由乙魔射擊漏，所伶以乙丑射擊驚次數(shù)ξ可取死值0,泊1,管2，當(dāng)ξ＝0時，傲甲前2次擊怕中，固而第3次可遷中可綢不中寬．當(dāng)ξ＝1時，形包括毫兩種息情況貝，一舞是甲役沒中殃，乙滔沒中膝，甲帳中或遣沒中溜；二匯是甲率中，尊甲沒拳中，揪乙中嚇或沒把有中勁，此搭時也悼可以利應(yīng)用惹對立撈事件鞏求解干；當(dāng)ξ＝2時，霉?jié)M足屢甲沒捏中，捐乙中紡，乙禿中或食沒中嶼．綜協(xié)上根雙據(jù)各灰類情斧況可等求得便概率螺，從堪而得摩到分即布列叨，進前而可需求期紙望和袋方差哄．本題饑是高當(dāng)考中務(wù)的常率規(guī)題銀型，筐求解護離散蠅型隨杠機變逝量的片期望割和方突差的鑼一般書步驟綠是：睡變量蘆取值→求對啟應(yīng)概碌率→列分蘇布列→求期旁望→求方勉差．磚其中妻難點款和易錯錫點是盯離散習(xí)型隨機渾變量字的分資布列擔(dān)的求醉解．插具體乎問題餃中要晌注意倆邏輯橫分析烈能力牛的應(yīng)擊用和柏相應(yīng)怨方法寺的應(yīng)抗用．以上兼這兩澡個例盞題分敵別從“數(shù)據(jù)炮與變奶量”、“常規(guī)挖題型肉的求拾解步送驟”這兩掀個角猴度來列進行施分析度、講享解．烤平均均數(shù)、慕期望(均值)、方餓差的丹定義跪和公騎式是涂求解取期望玻、方斜差問寫題的駛基本才條件繪，在干具體西問題賣中要徑保證汁應(yīng)用嚼和計押算的兔準確描性．資另外善，要蒸注意務(wù)對他疲們意松義的腸理解皂和應(yīng)躲用，蕉以至撞于能德夠更莊有實符效地賣解決貴實際猴問題少．策略釘二變量興間相吐關(guān)關(guān)流系的嬌應(yīng)用消．例3袋中職有20個大靜小相芽同的雞球，刷其中舍標記0號的倦有10個，辱標記n號的應(yīng)有n個(n＝1,顆2,捐3,攔4)．現(xiàn)哀從袋殊中任變?nèi)∫淮嗲颉ⅵ伪硎痉仕∧那虻陌笜颂柾耄?1慈)求ξ的分巴布列奮，期挑望和烤方差??；(2宴)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試術(shù)求a，b的值練，【分析】由題禿意易距知ξ＝0,禽1,洋2,撐3,而4，其庫對應(yīng)塘的概私率也平可求抖，通僅過公伙式可耍得方盜差和泰期望蝴．因錄為η＝aξ＋b，則蹄由相雹應(yīng)性沖質(zhì)易撞于得侮到a，b的方秤程，逆則問遇題可縱解，求解袍兩個喇具有跑一定罪關(guān)系評的隨嚇機變哭量的液分布霧列時晝，其耐實質(zhì)臟上是高對互結(jié)斥事桶件概家率加型法公蔑式的嫌應(yīng)用州，關(guān)高于本龍題的區(qū)性質(zhì)邪只是妻其中遷最為賞簡單浪的一默種情舞況，緒考生沖可嘗紡試推匆導(dǎo)當(dāng)η＝aξ2＋b時，芹對應(yīng)季的概挎率關(guān)反系．此策斷略主善要是換應(yīng)用摟于包甘含具善有代常數(shù)關(guān)肅系的選多個粗隨機辛變量析的問槐題，沸如兩所個隨課機變醋量ξ和η，若殊滿足η＝aξ＋b，則柏有E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)結(jié)論麥成立績，此翅策略考應(yīng)用孤的關(guān)背鍵是間能夠純準確奇建立鎖變量雞間的盤相關(guān)那關(guān)系騎，進置而能渣夠應(yīng)紙用以改上結(jié)聚論正必確求鉛解即皺可．策略彎三“特殊“分布剃結(jié)論詳法例4某市資為了館調(diào)查什學(xué)?！瓣柟夥刁w育旗活動”在高邪三年漫級的車實施綢情況差，從濫本市遠某校歇高三陸男生赤中隨粱機抽緩取一牲個班綱的男越生進稱行投氣