遼寧省沈陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)中外友好合作學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

遼寧省沈陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)中外友好合作學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.若函數(shù)，又，且的最小值為，則正數(shù)的值是（）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.設(shè)函數(shù)，，若實(shí)數(shù)a，b滿足，，則（

）A． B．C． D．參考答案：D∵由題可知∴在為增函數(shù)∵，∴∵∴∴，∴故選D

4.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．20π B．24π C．28π D．32π參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】空間幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，在軸截面中圓錐的母線長使用勾股定理做出的，寫出表面積，下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，做出圓柱的表面積，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，∴在軸截面中圓錐的母線長是=4，∴圓錐的側(cè)面積是π×2×4=8π，下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，∴圓柱表現(xiàn)出來的表面積是π×22+2π×2×4=20π∴空間組合體的表面積是28π，故選：C．5.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表：YXy1y2總計(jì)x1a10a+10x2c30c+30總計(jì)6040100對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為（）A．a(chǎn)=45，c=15 B．a(chǎn)=40，c=20 C．a(chǎn)=35，c=25 D．a(chǎn)=30，c=30參考答案：A【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，a、c相差越大，與相差就越大，由此得出X與Y有關(guān)系的可能性越大．【解答】解：根據(jù)2×2列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，當(dāng)與相差越大，X與Y有關(guān)系的可能性越大；即a、c相差越大，與相差越大；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．6.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（

）A．1

B．i

C．－1

D．－i參考答案：A，所以的虛部是1，選A.

7.設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a(chǎn)≥2或≤a＜1參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分別設(shè)h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．【解答】解：設(shè)h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1時(shí)，h（x）=2x﹣a與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以a＞0，并且當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函數(shù)g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函數(shù)h（x）=2x﹣a在x＜1時(shí)，與x軸沒有交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）與x軸無交點(diǎn)，g（x）無交點(diǎn)，所以不滿足題意（舍去），當(dāng)h（1）=2﹣a≤時(shí)，即a≥2時(shí)，g（x）的兩個(gè)交點(diǎn)滿足x1=a，x2=2a，都是滿足題意的，綜上所述a的取值范圍是≤a＜1，或a≥2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力以及分類能力，屬于中檔題．8.某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的各棱中，最長棱的長度為A．

B．

C.2

D．1參考答案：A9.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組（r為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z=的最小值為（）A．﹣1 B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，由z==1+，而的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P（﹣3，2）連線的斜率．結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求得答案．【解答】解：∵不等式組（r為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為π，∴圓x2+y2=r2的面積為4π，則r=2．由約束條件作出可行域如圖，z==1+，而的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P（﹣3，2）連線的斜率．設(shè)過P的圓的切線的斜率為k，則切線方程為y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值為1﹣．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．10.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，則=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，可得an=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化簡可得6a2﹣=．利用單調(diào)性可得a2，即可得出．【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，∴an=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，則g′（x）=6+sin在R上單調(diào)遞增，又=0．∴a2=．則==2015．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，線段長度為，點(diǎn)分別在非負(fù)半軸和非負(fù)半軸上滑動，以線段為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是

▲

.參考答案：略12.執(zhí)行右側(cè)的程序框圖,輸出的結(jié)果S的值為

．參考答案：13.已知是奇函數(shù),且,若,則_______參考答案：-114.已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=，S2=a3，則a2=

，Sn=

．參考答案：1，【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求出公差，從而可求出第二項(xiàng)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解答】解：根據(jù){an}為等差數(shù)列，S2=a1+a2=a3=+a2；∴d=a3﹣a2=∴a2=+=1Sn==故答案為：1，【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于容易題．15.若對任意有唯一確定的與之對應(yīng)，稱為關(guān)于x、y的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)x、y的廣義“距離”：（1）非負(fù)性：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；（2）對稱性：；（3）三角形不等式：對任意的實(shí)數(shù)z均成立.今給出四個(gè)二元函數(shù)：①②③；④.能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號是___________.參考答案：略16.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為等腰直角三角形，俯視圖是圓心角為直角的扇形，則該幾何體的體積為

．參考答案：考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓錐的一部分，結(jié)合三視圖中的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積．解答： 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是圓錐的一部分，且底面是半徑為2的圓面，高為2，∴該幾何體的體積為：V幾何體=×π?22×2=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了利用幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問題，解題的根據(jù)是由三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題目．17.已知函數(shù)，若則＝

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)f（x）=ax﹣1，g（x）=bx﹣1（a，b＞0），記h（x）=f（x）﹣g（x）（1）若h（2）=2，h（3）=12，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求h（x）的最大值（2）a=2，b=1，且方程有兩個(gè)不相等實(shí)根m，n，求mn的取值范圍（3）若a=2，h（x）=cx﹣1（x＞1，c＞0），且a，b，c是三角形的三邊長，求出x的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】（1）根據(jù)h（2）=2，h（3）=12，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（2）求出mn的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出mn的范圍即可；（3）問題等價(jià)于存在x使得+=1成立，令f（x）=+，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出x的范圍即可．【解答】解：（1）由已知得：，解得：a=4，b=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=4x﹣1﹣2x﹣1=﹣≤﹣=12，故h（x）的最大值是12；（2）由|h（x）|=t，|得：|2x﹣1﹣1|=t，則m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），m+n=log2（2﹣2t）（2+2t），0＜t＜時(shí)，mn≤=＜1，故0＜mn＜1，綜上，mn的范圍是（0，1）；（3）存在x使得bx﹣1+cx﹣1=2x﹣1成立，等價(jià)于存在x使得+=1成立，令f（x）=+，∵b＜2，c＜2，則0＜＜1，0＜＜1，則f（x）是減函數(shù)，x＞2，f（x）∈（0，），∵＞1，故必存在x0＞2使得f（x0）=1，即+=1，即+=，綜上，x＞2．19.不等式選講

已知函數(shù)f(x)＝|x－3|＋|x＋1|．（Ⅰ）求使不等式f(x)<6成立的x的范圍；（Ⅱ）x0?R，f(x0)<a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案：解：(1)由絕對值的幾何意義可知x的取值范圍為（-2，4）

………5分（Ⅱ）x0?R,f(x0)<a,即a>f(x)min

……7分由絕對值的幾何意義知：|x－3|＋|x＋1|可看成數(shù)軸上到3和-1對應(yīng)點(diǎn)的距離和.∴f(x)min=4，即∴a>4.…………………9分所求a的取值范圍為(4,+∞)

……………Ks5u…10分略20.（本小題滿分13分）

已知點(diǎn)M是圓心為的圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)，若線段的中垂線交于點(diǎn)N。（1）求動點(diǎn)N的軌跡方程；（2）若直線是圓的切線且與N點(diǎn)軌跡交于不同的兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，求面積的取值范圍。參考答案：21.某家電公司根據(jù)銷售區(qū)域?qū)N售員分成A，B兩組.2017年年初，公司根據(jù)銷售員的銷售業(yè)績分發(fā)年終獎，銷售員的銷售額（單位：十萬元）在區(qū)間[90,95)，[95,100)，[100,105)，[105,110]內(nèi)對應(yīng)的年終獎分別為2萬元，2.5萬元，3萬元，3.5萬元.已知銷售員的年銷售額都在區(qū)間[90,110]內(nèi)，將這些數(shù)據(jù)分成4組：[90,95)，[95,100)，[100,105)，[105,110]，得到如下兩個(gè)頻率分布直方圖：以上面數(shù)據(jù)的頻率作為概率，分別從A組與B組的銷售員中隨機(jī)選取1位，記X，Y分別表示A組與B組被選取的銷售員獲得的年終獎.（1）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）試問A組與B組哪個(gè)組銷售員獲得的年終獎的平均值更高？為什么？參考答案：解：（1）∵組銷售員的銷售額在，，，的頻率分別為：0.2，0.3，0.2，0.3，則的分布列為：（元）200002500030000350000.20.30.20.3故（元）.（2）組銷售員的銷售額在，，，的頻率分別為：0.1，0.35，0.35，0.2，則的分布列為：（元）200002500030000350000.10.350.350.2故（元）.∵，∴組銷售員獲得的年終獎的平均值更高.

22.在△ABC中（如圖1），已知AC=BC=2，∠ACB=120°，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，EF交CD于G，把△ADC沿CD折成如圖2所示的三棱錐C﹣A1BD．（1）求證：E1F∥平面A1BD；（2）若二面角A1﹣CD﹣B為直二面角，求直線A1F與平面BCD所成的角．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）由已知E1F為A1BC的中位線，由此能證明E1F∥平面A1BD．（2）連結(jié)DF，則A1D⊥BD，A1D⊥CD，從而A1D⊥平面BDC，∠A1FD為直線A1F與平面BCD所成的角，由此能求出直線A1F與平面BCD所成的角．【解答】（1）證明：E1，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，則E1F為A1BC的中位