(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)過關(guān)練考點25 直線與圓的綜合問題（含解析）

考點25直線與圓的綜合問題考綱要求考綱要求1、體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想,感受“形”與“數(shù)”的對立和統(tǒng)一,初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.2、能根據(jù)直線與圓的方程判斷其位置關(guān)系(相交、相切、相離);能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系(外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含);3、能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題近三年高考情況分析近三年高考情況分析直線與圓每年都考查一道填空題或解答題,主要以直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系為載體,考查學(xué)生的探究與計算能力.考查中,大多以動圓、動直線作為模型,考查定點、定值、范圍等問題,解決此類問題,要充分利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想來解題,體現(xiàn)了能力和知識的綜合在2020年全國各地試卷中往往與圓錐曲線相結(jié)合，綜合考查范圍問題、最值問題以及隱圓問題的考查。考點總結(jié)考點總結(jié)1、直線與圓相交的問題，要能充分利用好圓的幾何性質(zhì)，垂徑定理是最常見的性質(zhì)；圓心距是核心問題，通過圓心距可以求出弦長，而給出弦長，要能第一時間求出圓心距．2、解析幾何中的向量問題，往往需要先通過線性運算后轉(zhuǎn)化，再通過向量坐標(biāo)運算來處理．3、圓的切線長的問題，主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．切線長通常用勾股定理來求解，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求圓外一點與圓上一點距離的最小值，而這種距離的最值問題，是圓的考查中常見的知識點．三年高考真題三年高考真題1、【2020年江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知SKIPIF1<0，A，B是圓C：SKIPIF1<0上的兩個動點，滿足SKIPIF1<0，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0設(shè)圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0（負值舍去）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因此當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值，即SKIPIF1<0取最大值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<02、【2020年全國1卷】已知⊙M：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0作⊙M的切線SKIPIF1<0，切點為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最小時，直線SKIPIF1<0的方程為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】】圓的方程可化為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與圓相離．依圓的知識可知，四點SKIPIF1<0四點共圓，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0最?。郤KIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0．所以以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩圓的方程相減可得：SKIPIF1<0，即為直線SKIPIF1<0的方程．故選：D.3、【2017年高考全國III卷理數(shù)】已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點SKIPIF1<0，求直線l與圓M的方程.【答案】（1）見解析；（2）直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，或直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0的斜率與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故坐標(biāo)原點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上.（2）由（1）可得SKIPIF1<0.故圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0.由于圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.4、【2018年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）求過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，l的方程為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．由題設(shè)知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0．因此l的方程為SKIPIF1<0．（2）由（1）得AB的中點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以AB的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0因此所求圓的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．二年模擬試題二年模擬試題題型一、圓中的范圍問題1、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）已知實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即圓心SKIPIF1<0SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0可看到圓上的點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離，SKIPIF1<0圓上的點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的最小值為圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0減去半徑即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓上的點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的最小值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0故選：A2、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）過點SKIPIF1<0斜率為正的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓上相異的兩點，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0外接圓半徑的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，先固定直線AB，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為定值，故點P，C，D在一個阿波羅尼斯圓上，且SKIPIF1<0外接圓就是這個阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為r，阿波羅尼斯圓會把點A，B其一包含進去，這取決于BP與AP誰更大，不妨先考慮SKIPIF1<0的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長線與圓交于點Q，PQ即為該圓的直徑，如圖：接下來尋求半徑的表達式，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理，當(dāng)SKIPIF1<0時有，SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0；當(dāng)直線AB無斜率時，與橢圓交點縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由根與系數(shù)的關(guān)系有，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0異號，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，綜上外接圓半徑的最小值為SKIPIF1<0.故選：D．3、（2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑.若與圓SKIPIF1<0外離的圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則半徑SKIPIF1<0的取值范圍是_________.【答案】SKIPIF1<0.【解析】AM與圓O交于點N，SKIPIF1<0，且圓心O是AB中點，

∴ON是△ABM的中位線，∴BM＝2ON＝4，

∴點M在以B為圓心，4為半徑的圓周上，∴SKIPIF1<0；

又∵B是圓O上任意一點，

∴點M可以認為是以O(shè)為圓心6為半徑的圓上一點，這個圓記為SKIPIF1<0，

又∵點M是在與圓O外離的圓SKIPIF1<0上的點，

∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.

∴存在符合題意的點M時，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，

故答案為：SKIPIF1<0.4、（江蘇省南通市西亭高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研）已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則弦SKIPIF1<0的長度的最大值為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<05、（2020屆江蘇省南通市如皋市高三下學(xué)期二模）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上運動，且SKIPIF1<0.若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的任意一點SKIPIF1<0都滿足SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題得圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的夾角），SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<06、6、（2020屆江蘇省南通市高三下學(xué)期3月開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=1【答案】2【解析】動點P在直線x+3y-2=0上，設(shè)點P(2-3b,b)，圓O：x2+y2=1，過點P分別作圓O的切線，切點為A，所以PA=PO2-1，同理可得7、（2020屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(二)）已知圓SKIPIF1<0，過定點SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．（1）求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）從圓外一點SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引一條切線，切點為SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0在圓內(nèi)且SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）由（1）得圓SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的切線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0故SKIPIF1<0取最小值即SKIPIF1<0取最小值，點SKIPIF1<0到圓SKIPIF1<0的圓心距離SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．題型二、圓與圓錐曲線的結(jié)合1、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）已知P是橢圓C：SKIPIF1<0上的動點，Q是圓D：SKIPIF1<0上的動點，則（）A．C的焦距為SKIPIF1<0B．C的離心率為SKIPIF1<0C．圓D在C的內(nèi)部D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【答案】BC【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則C的焦距為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，所以圓D在C的內(nèi)部，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：BC.2、（2020·山東省淄博實驗中學(xué)高三上期末）雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0右支上的一點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的內(nèi)切圓在邊SKIPIF1<0上的切點為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為____.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)△MPF2的內(nèi)切圓與MF1，MF2的切點分別為A，B，由切線長定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由雙曲線的定義可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQSKIPIF1<0，又c＝2，∴雙曲線的離心率為eSKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．3、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線上SKIPIF1<0一點，過點SKIPIF1<0做拋物線的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是拋物線上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的任一點，拋物線在SKIPIF1<0處的切線與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓面積的最小值為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)三個切點分別為SKIPIF1<0，若在點SKIPIF1<0處的切線斜率存在，設(shè)方程為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立，得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0①若在點SKIPIF1<0的切線斜率不存在，則SKIPIF1<0，切線方程為SKIPIF1<0滿足①方程，同理切線SKIPIF1<0的方程分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0方程，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0時取等號，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時等號成立，此時SKIPIF1<0外接圓面積最小為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.題型三隱圓問題1、（江蘇省南通巿2019-2020學(xué)年第一次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的弦，且SKIPIF1<0，若存在線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，使得點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱的點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是_______________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為點SKIPIF1<0為弦SKIPIF1<0的中點,所以SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以點SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0為圓心,SKIPIF1<0為半徑的圓,因為點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱,所以點SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0為圓心,SKIPIF1<0為半徑的圓,因為點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上,所以直線SKIPIF1<0與圓:SKIPIF1<0有交點,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故答案為:SKIPIF1<02、（2020屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期七調(diào)）已知直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的一條動弦，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意得圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，易知直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0為弦SKIPIF1<0的中點,位置關(guān)系如圖：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D.3、(2019鎮(zhèn)江期末）已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得PA⊥PB，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】－2≤a≤2.【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)考察點P的軌跡C，軌跡C與圓M有公共點．利用圓與圓的位置關(guān)系求解．由PA⊥PB，PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，得四邊形PAOB是正方形，所以P的軌跡是以原點O為圓心，eq\r(2)為半徑的圓．又點P也在圓M上，所以O(shè)M≤eq\r(2)＋eq\r(2)，得a2＋22≤8，解得－2≤a≤2.4、（2018年蘇州一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(－4，0)，B(0，4)，從直線AB上一點P向圓x2＋y2＝4引兩條切線PC，PD，切點分別為C，D.設(shè)線段CD的中點為M，則線段AM長的最大值為________．【答案】3eq\r(2)【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)P在直線AB：y＝x＋4上，設(shè)P(a，a＋4)，可以求出切點弦CD的方程為ax＋(a＋4)y＝4，易知CD過定點，所以M的軌跡為一個定圓，問題轉(zhuǎn)化為求圓外一點到圓上一點的距離的最大值．解法1(幾何法)因為直線AB的方程為y＝x＋4，所以可設(shè)P(a，a＋4)，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC方程為x1x＋y1y＝4，PD：x2x＋y2y＝4，將P(a，a＋4)分別代入PC，PD方程，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax1＋（a＋4）y1＝4，,ax2＋（a＋4）y2＝4，))則直線CD的方程為ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直線CD過定點N(－1，1)，又因為OM⊥CD，所以點M在以O(shè)N為直徑的圓上(除去原點)，又因為以O(shè)N為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，所以AM的最大值為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＋eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).解法2(參數(shù)法)因為直線AB的方程為y＝x＋4，所以可設(shè)P(a，a＋4)，同解法1可知直線CD的方程為ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝eq\f(4－4y,x＋y).又因為O，P，M三點共線，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝eq\f(4x,y－x).因為a＝eq\f(4－4y,x＋y)＝eq\f(4x,y－x)，所以點M的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)(除去原點)，所以AM的最大值為eq\r(\