第十二章假設(shè)檢驗

第十二章假設(shè)檢驗

假設(shè)檢驗的基本原理顯著水平檢驗法與正態(tài)總體檢驗第十二章假設(shè)檢驗

假設(shè)檢驗是對總體的分布函數(shù)的形式或分布中某些參數(shù)做出某種假設(shè),然后通過抽取樣本,構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量,對假設(shè)的正確性進行判斷的過程.

前面我們討論了在總體分布族已知的情況下,如何根據(jù)樣本去得到參數(shù)的優(yōu)良估計.但有時,我們并不需要估計某個參數(shù)的具體值而只需驗證它是否滿足某個條件,這就是統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題.第十二章假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗總體分布已知，檢驗關(guān)于未知參數(shù)的某個假設(shè)總體分布未知時的假設(shè)檢驗問題第一節(jié)檢驗的基本原理

一、檢驗問題的提法

假設(shè)檢驗是既同估計密切聯(lián)系，但又有重要區(qū)別的一種推斷方法。例如：某種電子元件壽命X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，隨機抽取其中的n件。測得其壽命數(shù)據(jù)，

問題⑴，這批元件的平均壽命是多少？

問題⑵，按規(guī)定該型號元件當壽命不小于5000(h)為合格，問該批元件是否合格？

問題⑴是對總體未知參數(shù)μ=E(X)=1/λ作出估計?；卮稹唉淌嵌嗌?？”，是定量的。問題⑵則是對假設(shè)“這批元件合格”做出接受還是拒絕的回答，因而是定性的。

對上述例子，還可做更細致考察，設(shè)想如基于一次觀察數(shù)據(jù)算出μ的估計值

，我們能否就此接受“這批元件合格”的這一假設(shè)呢？盡管但這個估計僅僅是一次試驗的結(jié)果，能否保證下一次測試結(jié)果也能得到μ的估計值大于5000呢？也就是說從觀察數(shù)據(jù)得到的結(jié)果與參考值5000的差異僅僅是偶然的呢？還是總體均值μ確實有大于5000的“趨勢”？

這些問題是以前沒有研究過的。一般而言，估計問題是回答總體分布的未知參數(shù)是多少？或范圍有多大？而假設(shè)檢驗問題則是回答觀察到的數(shù)據(jù)差異只是機會差異，還是反映了總體的真實差異？因此兩者對問題的提法有本質(zhì)不同。第一節(jié)檢驗的基本原理例有一批產(chǎn)品，需經(jīng)檢驗合格后才能出廠，按按標準其次品率不得超過4%今從這批產(chǎn)品中任意抽10件，發(fā)現(xiàn)有3件次品，問這批產(chǎn)品能否出廠解：直觀上看，這批產(chǎn)品似乎不能出廠，但理論依據(jù)何在現(xiàn)以p表示這批產(chǎn)品的次品率，按標準，若p<=0.04,這批產(chǎn)品可出廠，若p>0.04，則這批產(chǎn)品不能出廠。我們的問題就是要根據(jù)“10件產(chǎn)品中有3件次品”，這一抽樣結(jié)果來判斷p是否大于0.04我們先提兩個相互對立的假設(shè)，注意到，在假設(shè)成立的前提下，“10件產(chǎn)品中有3件次品”這一抽樣結(jié)果的概率其概率小于0.01，即這是一個小概率事件。根據(jù)實際推理原理，小概率事件在一次抽樣中是不可能發(fā)生的。而今這一小概率事件在一次抽樣中竟然發(fā)生了，這是不合理的。所以不成立，即成立。所以按此標準這批產(chǎn)品不能出廠

下面通過一個例子介紹原假設(shè)和備擇假設(shè)二.原假設(shè)和備擇假設(shè)第一節(jié)檢驗的基本原理例1(酒精含量)一種無需醫(yī)生處方即可達到的治療咳嗽和鼻塞的藥。按固定其酒精含量為5﹪.今從一出廠的一批藥中隨機抽取10瓶,測試其酒精含量得到的10個含量的百分數(shù):5.01,4.87,5.11,5.21,5.03,4.96,4.78,4.98,4.88,5.06如果酒精含量服從正態(tài)分布N(μ,0.00016),問該批藥品的酒精含量是否合乎規(guī)定?任務:

通過樣本推斷X的均值μ是否等于5.假設(shè):上面的任務就是要通過樣本去檢驗“X的均值=5”這樣一個假設(shè)是否成立.(在數(shù)理統(tǒng)計中把“X的均值μ=5”這樣一個待檢驗的假設(shè)記作“H0:μ=5”稱為

“原假設(shè)”或“零假設(shè)”.表明數(shù)據(jù)的“差異”是偶然的,總體沒有“變異”發(fā)生.

原假設(shè)的對立面是“X的均值μ≠10”記作“H1:μ≠10”稱為“對立假設(shè)”或“備擇假設(shè)”.表明數(shù)據(jù)的“差異”不是偶然的,是總體“變異”的表現(xiàn).把它們合寫在一起就是:H0:μ=10

H1:μ≠10

原假設(shè)H0表明含量符合規(guī)定，這個5﹪也稱之為期望數(shù)，盡管10個數(shù)據(jù)都5﹪與有出入，這只是抽樣的隨機性所致;備擇假設(shè)H1表明總體均值μ已經(jīng)偏離了期望數(shù)5﹪，數(shù)據(jù)與期望數(shù)5﹪的差異是其表現(xiàn).假設(shè)檢驗的任務

必須在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間作一選擇檢驗太統(tǒng)計父量是構(gòu)略造一址個適絕當?shù)募蹦芏却盍坑^史察數(shù)晴與原事假設(shè)下魂的期萍望數(shù)浸之間因的差休異程雕度的胞統(tǒng)計街量,此統(tǒng)冰計量伴為檢紹驗統(tǒng)利計量.特點:在原代假設(shè)H0下分然布式傘完全襖一致插或者辭說可膏以計閑算.因而絨通過壺標準殖化俱可訓得到炕檢驗蹄統(tǒng)計頁量三.檢驗碑統(tǒng)計術(shù)量本例杰的觀放察數(shù)居通過盡樣本接平均懷表羊示,它是μ的一個無劫偏估籃計,而在省下的撈期望眨數(shù)為μ=5而,在H0下從試件驗數(shù)殼據(jù)判追斷是撫否導便致一抽個矛棒盾的斥結(jié)果,一個含重要戚的依瘡據(jù)是潤小概燦率事壯件的山實際膀推斷串原理.看例1,由觀剪察數(shù)緣瑞據(jù),可算殖得的挖觀銜察值夕為4.裕98始9,代入骨統(tǒng)計撇量Z的表蹈達式,得Z的觀否察值懇為四.否定葬論證袖及實路際推液斷原繪理否定肅論證斬是假錄設(shè)檢碑驗的拜重要翻推理芳方法,其要嶼旨是:先假岸定原溉假設(shè)H0成立,如果歉從試緩驗觀渴察數(shù)魚據(jù)及念此假層定將導閘致一洽個矛荷盾的燦結(jié)果,則必綢須否訴定這鄉(xiāng)豐個原確假設(shè);反之,如果畜不出念矛盾桿的結(jié)栽果,就不木能否患定原嘆假設(shè).在H0下,Z服從攜標準處正態(tài)折分布,對于重特定維的一軌次試知驗,統(tǒng)計領(lǐng)量Z取得橋觀察隆值-2凡.7感50律9，是遵十分罪罕見鴨的，叉以至抬于實丟際不桂會發(fā)轎生.事實壞上,當H0成立控時,事件發(fā)生突的機膜會只先有5﹪會(如圖)這是致一個杠小概萌率事渣件.今從撈試驗捐數(shù)據(jù)不得到Z=積-2趁.7飄50姨9,由于表明竄這一勒小概埋率事限件在借該次掉試驗箏中發(fā)套生,這與啦實際墾推斷啦原理部矛盾.因此誼否定裕原假待設(shè).至此贊本例鄰已獲籌得解盾答,即基頓于數(shù)拔據(jù)該挑批藥規(guī)品的近酒精輕含量案不符贏合規(guī)句定.注意:在否愧定論癥中最風終能狂否得齒出矛證盾的脊結(jié)果女，取譜決于畜數(shù)據(jù).02.5﹪1.96-1.96-2.7509第二被節(jié)顯著漠水平籮檢驗去法與圍正態(tài)幸總體抄檢驗一.假設(shè)欄檢驗排的兩偽類錯舍誤一類遼錯誤葡是,當H0為真怖時,因為非盡管晶事件{A饞|H0}是小焦概率折事件,但仍猶有可匹能發(fā)條生,即樣溪本觀壓察值(x1,x2,.漁..植,xn)∈桑R時,按檢囑驗法限則將蜓拒絕愛原假繁設(shè)H0,這種里錯誤葉稱為第一挪類錯宮誤.根據(jù)效檢驗束法則,若A發(fā)生灑則拒掀絕H0,否則毒接受H0.這不殊免要處犯二敗類錯訪誤.第二孝節(jié)顯著請水平獻檢驗例法與觸正態(tài)瓦總體允檢驗一.假設(shè)瘡檢驗赤的兩隱類錯烘誤另一耽類錯攪誤是,當原辟假設(shè)H0不真,即H1為真犁時,A也有伏可能輕不發(fā)白生,即樣餅本觀管察值(x1,x2,.波..粘,xn)∈梳R*,按檢化驗法嬸則將緩接受祝原假豪設(shè)H0,這種伶錯誤吉稱為第二成類錯艷誤.第二澤節(jié)顯著榴水平龍檢驗爺法與挽正態(tài)診總體蹈檢驗正確正確H0

為真H0

為假真實情況所作判斷接受H0拒絕H0第一類錯誤(棄真)第二類錯誤(取偽)注意:不可猜能消乎除這極兩種造錯誤,而只驗能控吳制發(fā)熄生這兩病類錯頁誤之俗一的絨概率.一.假設(shè)廳檢驗劍的兩鉆類錯殺誤第二諷節(jié)顯著孤水平徑檢驗尤法與澤正態(tài)躺總體愿檢驗我們遭當然龜希望震獨兩屑類錯篩誤的室概率老都很日小,但在理樣本瞧容量n固定粘時是侄無法套做到圈的.基于帥這種愈情況,且因予為人精們常扯常把穩(wěn)拒絕H0比錯賄誤地狡接受H0看得稻更重捆些.因此粒人們賄希望宜在控奴制犯廈第一臣類錯乞誤的臨概率α的條們件下,盡量咬使犯藏第二士類錯秒誤的既概率冠小,但這什也是感不容油易的,有時軋甚至慣是不蠟可能乖的.于是撒人們奪不得叨不降外低要戰(zhàn)求,只對壩犯第村一類煙錯誤陷的概內(nèi)率α加以譽限制,而不奶考慮呀犯第爛二錯犁誤的賤概率,在這卵種原葉則下,尋找劑臨界捧域C時只語涉及尋原假惱設(shè)H0,而不丟涉及爺備擇素假設(shè)H1,這種抖統(tǒng)計隆假設(shè)練問題慚稱為顯著矛性檢惕驗問題.對給擦定的銜犯第嚼一類繭錯誤滲的概笛率α稱為顯著字性水鑄平.第二程節(jié)顯著莫水平所檢驗促法與訪正態(tài)浙總體喬檢驗二.顯著揪水平交檢驗站法顯著慕水平冠檢驗植法:在數(shù)敬據(jù)收姨集之混前就嗎已經(jīng)目設(shè)定橡好一郵個檢幕驗規(guī)絞則,即文透獻上有稱之墾為拒輕絕域R,使得吸當樣碗本觀棵察值坦落入R就拒恒絕H0.對拒謝絕域R的要蛾求是:在H0下{樣本唉落入R}為一物小概儀率事折件,即對舅預先明給定箱的0<α<1有P(殊{樣本拍落入R}霧|H0)≤α此時拴稱R所代確表的忘檢驗須為顯妙著水走平α的檢忘驗第二熱節(jié)顯著炸水平凝檢驗免法與塔正態(tài)蹈總體孝檢驗(1僻)根據(jù)展問題杏的要丹求建驗立原弦假設(shè)H0和備遞擇假嘗設(shè)H1;假設(shè)類檢驗挎的方害法步挎驟(2刻)選取揭檢驗圖統(tǒng)計尋量T(恢X1,X2,.下..冤,Xn),要求T不含倦任何屋參數(shù),以便沒計算H0為真黑時的鑼條件歉概率;(3載)給定諒顯著太性水慮平α,求出壇使P{忌T∈榴R|崖H0}≤午α的臨本界域C;(4采)若樣弄本觀控察值T(x1,x2,.吃..默,xn)∈語R,則拒糟絕原慕假設(shè)H0,否則弄接受H0.第二它節(jié)顯著回水平臉檢驗任法與允正態(tài)揮總體劍檢驗1)賭.方差渴已知炮時總逆體均蝦值的噸假設(shè)守檢驗1兩個闊正態(tài)壟總體月的假什設(shè)檢視驗第二趁節(jié)顯著店水平累檢驗趙法與莫正態(tài)第總體偵檢驗第二著節(jié)顯著汽水平置檢驗船法與煩正態(tài)夕總體向檢驗找臨眨界值uα/贏2示意奪圖0a/2ua/2a/2-ua/2第二丑節(jié)顯著篩水平世檢驗洪法與涼正態(tài)綁總體災檢驗作為積未知尸參數(shù)μ的點沒估計,因此礦偏修小應增該拒查絕H0.若H0成立,例3某降團價盒信裝餅椅干，右其包知裝上拖的廣棉告上喝稱每領(lǐng)盒質(zhì)成量為26遭9g單.但有隊顧客漂投訴生，鈣航餅干償質(zhì)量刑不足26各9g。為份此質(zhì)座檢部幫門從賄準備斜出廠的惜一批毯盒裝吼餅干掉中，辨隨機翁抽取30盒，剪由測燥得的30個質(zhì)靜量數(shù)醉據(jù)算出慰樣本朵平均剝?yōu)?6蜂8.假設(shè)氧盒裝攝餅干留質(zhì)量怒服從臣正態(tài)蒼分布N(μ，22),以顯索著水熊平α=0渠.0包5檢驗棉該產(chǎn)柳品廣萬告是叼否真故實.解:依題腳意,可設(shè)扇原假分設(shè)H0:μ佳=2資69備擇食假設(shè)H1:μ<2堅69則有則在蛾下Z~N(謹0,消1)猶,即Z的分憂布已敞知，姐因而Z可以交做檢紐奉驗統(tǒng)梳計量譜，偏小幫等價借于Z偏小交，從萄而得濃到拒甚絕域名的形雨式如仔下其中k待定腎，稱光之為臨界吼值.α=0諒.0宇5,為求今顯著照水平0.0懇5的檢產(chǎn)驗,只需舍選取k使得查表尋可得因而班得到掛水平0.墾05檢驗紡的拒病絕域代入快數(shù)據(jù)勝得Z=隊-2部.7橋4,顯然療小于初臨界寒值-1議.6格45宴,因而哥依據(jù)蓮檢驗規(guī)則蹲應該袍拒絕H0,即該壇盒裝折廣告?zhèn)}又不隆是廣緩告行璃為.第二宅節(jié)顯著層水平柔檢驗阿法與通正態(tài)悟總體厚檢驗２).方差列未知丸時總潮體均微值的芳雙側(cè)誕假設(shè)賓檢驗第二戴節(jié)顯著難水平盞檢驗違法與物正態(tài)睛總體廊檢驗第二擊節(jié)顯著竊水平沿檢驗牛法與鋼正態(tài)容總體聰檢驗找臨拴界值tα/廟2示意叔圖0a/2a/2-ta/販2(n-1)ta/基2(n-1)第二顆節(jié)顯著故水平鑄檢驗歷法與瞎正態(tài)嘉總體毒檢驗其中σ未知.今用S*代替σ,得到t的統(tǒng)悉計量例4.在例3中,若盒禾裝餅垂干重暢量服暮從正脂態(tài)分親布N(μ,σ2),μ與σ2均未乖知,已知鋸樣本里平均,修正圖樣本師標準棟差為S*=1括.8橋,求解弄相同喇的問錫題.解:此時漲不能樹使用Z作為須統(tǒng)計紅量,因為著標準淺化變吩量為由正呀態(tài)總推體抽嘆樣分孫布基敬本定釘理可陣知,在H0下可得清到拒賺絕域勁的形貓式如奧下其中k待定茫，稱辰之為臨界偏值.α=0僚.0珍5,為求冰顯著術(shù)水平0.0坦5的檢游驗,只需籮選取k使得因而斬得到畫水平0.集05檢驗誘的拒錯絕域代入篇數(shù)據(jù)塔得t=鞭-3欺.0施44緊,顯然撈小于齒臨界父值-1晨.6涌99勾,因而召依據(jù)蹦檢驗規(guī)則撥應該歲拒絕H0,即該搬盒裝風廣告哪又不啞是廣飽告行輪為.第二渠節(jié)顯著伯水平疑檢驗瘦法與至正態(tài)陵總體床檢驗2兩個磁正態(tài)喚總體派的假范設(shè)檢音驗第二怒節(jié)顯著擊水平醬檢驗月法與咱正態(tài)方總體運檢驗1)將.方差語已知條時均曉值的脫雙側(cè)系假設(shè)偷檢驗因為當H0成立主時，個統(tǒng)計坊量第二植節(jié)顯著協(xié)水平綢檢驗追法與掩正態(tài)安總體玩檢驗從而,對于怨給定牽的顯勢著性蛾水平α,拒絕項域為第二厭節(jié)顯著學水平由檢驗也法與綢正態(tài)龜總體噴檢驗2)仔.方差猶未知慨時均儀值的鋪雙側(cè)殿假設(shè)免檢驗第二傻節(jié)顯著潛水平丹檢驗升法與現(xiàn)正態(tài)息總體這檢驗第二改節(jié)顯著奇水平拆檢驗箭法與遞正態(tài)賢總體鉗檢驗例5.為評目估某焰地區(qū)委中學騾教學狗改革疏后教蛇學質(zhì)乘量情栗況，滴分別器在19衫95年，19宰99年舉匆行兩對次數(shù)裕學考濾試，霞考生皆是從含該地贊區(qū)中蠅學的17歲學法生中久隨機妥抽取僚，每拼次10逝0個。贊兩次酷考試知的平給均得嗓分分踏別為63冠.5荒,6迫7.袋0.假定腰兩次傳數(shù)學販考試并成績?nèi)辗能浾龖B(tài)絞分布N(μ,σ2),局N刻(μ,σ2怒),分別墓在下熟列情凈況下,對顯跌著水唱平α=0平.0澤5檢驗例該地嘆區(qū)數(shù)跳學成?？冇信紵o提遇高.(1暫).已知σ1=2宇.1敏,σ2=2踏.2婚.(2置).假設(shè)σ1=σ2=σ但σ未知,且兩持次考碎試成陜績的醉樣本憤方差汽為S12=1幅.92,巾S22=2找.0兼12解:由題次意,可設(shè)儉原假番設(shè)H0:μ1=μ2,備擇摩假設(shè)H1:μ1<μ2.分別瘦記19雖95年的杠樣本廊平均膀為,1彼99壘9年的端為,可用票作μ1-μ2的點統(tǒng)估計,因此聲當峽偏大配時,應拒伙絕H0偏大慘等價鐘于Z偏