第章線性規(guī)劃問題

第三章線性規(guī)劃3.1線性規(guī)劃模型

例:某工廠擁有A、B、C三種類型的設備，生產甲、乙兩種產品。每件產品在生產中需要占用的設備機時數(shù)，每件產品可以獲得的利潤以及三種設備可利用的時數(shù)如下表所示：

產品甲產品乙設備能力（h）設備A3265設備B2140設備C0375利潤（元/件）15002500

問題：工廠應如何安排生產可獲得最大的總利潤？解：設變量xi為第i種（甲、乙）產品的生產件數(shù)（i＝1，2）。根據(jù)題意，我們知道兩種產品的生產受到設備能力（機時數(shù)）的限制。對設備A，兩種產品生產所占用的機時數(shù)不能超過65，于是我們可以得到不等式：3x1

+2x2

≤65；對設備B，兩種產品生產所占用的機時數(shù)不能超過40，于是我們可以得到不等式：2x1

+x2

≤40；3.1線性規(guī)劃模型

對設備C，兩種產品生產所占用的機時數(shù)不能超過75，于是我們可以得到不等式：3x2

≤75；另外，產品數(shù)不可能為負，即x1,x2≥0。同時，我們有一個追求目標，即獲取最大利潤。于是可寫出目標函數(shù)z為相應的生產計劃可以獲得的總利潤：z=1500x1+2500x2

。綜合上述討論，在加工時間以及利潤與產品產量成線性關系的假設下，把目標函數(shù)和約束條件放在一起，可以建立如下的線性規(guī)劃模型：3.1線性規(guī)劃模型目標函數(shù)Maxz=1500x1+2500x2

約束條件s.t.3x1+2x2≤652x1+x2≤403x2≤75

x1,x2≥0

3.1線性規(guī)劃模型這是一個典型的利潤最大化的生產計劃問題。其中，“Max”是英文單詞“Maximize”的縮寫，含義為“最大化”；“s.t.”是“subjectto”的縮寫，表示“滿足于……”。因此，上述模型的含義是：在給定條件限制下，求使目標函數(shù)z達到最大的x1,x2

的取值。3.1線性規(guī)劃模型一般形式

目標函數(shù)：Max(Min)z=c1x1

+c2x2

+…+cnxn

約束條件：

a11x1+a12x2+…+a1nxn≤(=,≥)b1a21x1+a22x2+…+a2nxn≤(=,≥)b2

...am1x1+am2x2

+…+amnxn≤(=,≥)bm

x1，x2，…，xn≥03.1線性規(guī)劃模型標準形式目標函數(shù)：Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn

約束條件：a11x1+a12x2+…+a1nxn

=

b1a21x1+a22x2+…+a2nxn

=b2

...am1x1+am2x2+…+amnxn

=bm

x1，x2，…，xn

≥03.1線性規(guī)劃模型可以看出，線性規(guī)劃的標準形式有如下四個特點：目標最大化、約束為等式、決策變量均非負、右端項非負。對于各種非標準形式的線性規(guī)劃問題，我們總可以通過以下變換，將其轉化為標準形式:3.1線性規(guī)劃模型1.極小柳化目隊標函削數(shù)的張問題悟：設目摧標函蠶數(shù)為Mi起nf=c1x1+c2x2+烏…辨+cnxn則可利以令z＝-f，該極和小化批問蛾題套與下襖面的導極大覽化問詳題有罩相同鳳的最努優(yōu)度解，笑即Ma圍xz=-c1x1-調c2x2-啞…儉-cnxn但必須閣注意敲，盡貞管以脖上兩澆個問燃題的獲最優(yōu)六解相滿同，扛但他偽們最扒優(yōu)解死的目夢標函獎數(shù)值偽卻相呆差一作個符恢號，脈即Mi王nf＝-脆Ma剃xz3.廣1線性僚規(guī)劃波模型2、約束揮條件園不是廚等式憑的問擴題：設約踢束條蹦件為ai1x1+ai2x2+面…當+ainxn≤bi可以恥引進萌一個壤新的研變量s，使它辜等于柴約束剝右邊產與左書邊之朱差s=bi–(ai1x1+ai2x2+歌…恩+ainxn)顯然果，s也具罷有非倦負約懲束，乖即s≥0，這時狡新的滅約束明條件澇成為ai1x1+ai2x2+些…驚+ainxn+s=bi3.糞1線性固規(guī)劃席模型當約合束條儉件為ai1x1+ai2x2+…+ainxn≥bi時，熔類似循地令s=(ai1x1+ai2x2+膨…鄭+ainxn)-bi顯然仍，s也具筒有非遮負約玩束，腿即s≥0，這時珍新的鮮約束塘條件慘成為ai1x1+ai2x2+磨…燈+ainxn-s=bi3.繳1線性謀規(guī)劃毛模型為了憲使約艷束由蹄不等機式成艷為等葛式而獸引進頓的變觸量s稱為久“松璃弛變蠅量”寇。如月果原若問題庫中有詳若干毫個非辮等式傳約束以，則眠將其卻轉化蒸為標雀準形滴式時另，必戚須對汁各個零約束乘引進伙不同匙的松院弛變觸量。3.蜂1線性葉規(guī)劃遭模型例2.恐2：將口以下鞠線性擇規(guī)劃菊問題且轉化拖為標善準形落式Mi宮nf=瀉3.鐵6x1-州5.辭2x2+鋒1.辨8x3s.栽t蹤蝶.強2韻.3x1+棚5.責2x2-掉6.必1x3≤1念5.腦74.絡1x1+富3.挎3x3≥8勤.9x1+x2+x3=頁38x1,x2,x3≥劫03.疤1線性岔規(guī)劃厲模型解：瘋首先,將目柄標函脊數(shù)轉寒換成獲極大壞化：令z=阻-f=倒-3禁.6x1+5占.2x2-1藍.8x3其次辱考慮扎約束臟，有2個不候等式傾約束購，引變進松況弛變吩量x4，x5≥0。于是撈，我熱們可長以得胳到以暮下標各準形醫(yī)式的乘線性浴規(guī)劃慰問題疑：Ma層xz=穗-療3.蒜6x1+踢5.編2x2-溫1.據(jù)8x3s.句t.每2析.3x1+5艦.2x2-6旺.1x3+x4=襖15金.74.貸1x1+3牌.3x3-x5=所8.斷9x1+x2+x3=牙38x1,x2,x3,x4,x5≥蘭03.晝1線性違規(guī)劃俘模型3.變量礎無符向號限編制的以問題綿：在標聾準形次式中萌，必游須每玩一個佩變量除均有絕非負潤約束扮。當嗎某一勝個變脖量xj沒有坐非負憂約束鍬時，訓可以彼令xj=xj’-xj”其中xj’≥0，xj”≥0即用曲兩個匆非負偉變量辭之差靜來表蛛示一鐮個無譜符號挺限制味的變完量，宵當然xj的符柳號取擇決于xj’和xj”的大小悲。3.抄1線性剃規(guī)劃瓜模型4.右端請項有掉負值睛的問屠題：在標睜準形痰式中情，要迎求右播端項謎必須嬌每一主個分湖量非貞負。泄當某溫一個添右端談項系騰數(shù)為溪負時欠，如bi<0，則把潑該等敢式約證束兩算端同刻時乘珠以-1，得燃到：-ai1x1-ai2x2-目…輝-ainxn=遺-bi。3.噴1線性釀規(guī)劃歪模型例2.餓3：將船以下飄線性惑規(guī)劃并問題解轉化浴為標兇準形慰式Mi躬nf=您-3x1+時5x2+彎8x3-確7x4s.垮t.負2x1-慶3x2+渣5x3+蘋6x4≤踏284x1+訪2x2+屋3x3-述9x4≥援396x2+制2x3+樹3x4≤浪-臣58x1,淹x3,暖x4≥灘03.脅1線性辮規(guī)劃條模型解：慮首先煌，將爭目標途函數(shù)量轉換辭成極東大化劣：昆令z=小-f=妻3x1–5x2–8x3+7x4；其次哄考慮驕約束閃，有3個不散等式先約束逝，引都進松鍋弛變偷量x5,x6,x7≥0；由于x2無非素負限介制，擱可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0，x2”≥0；由于錦第3個約物束右殖端項旋系數(shù)漢為-5括8，于們是把垃該式打兩端舞乘以-1。于是敞，我芒們可款以得甩到以姻下標喘準形碧式的咳線性介規(guī)劃悉問題?。?.申1線性腹規(guī)劃老模型Ma坡xz=射3x1–5x2’+眠5x2”–天8x3+7x4s.很t.殊2x1–3x2’+漲3x2”+敬5x3+6x4+x5=繁284x1+2x2’-肥2x2”+值3x3-9x4-x6=萬39-6x2’+號6x2”-掩2x3-3x4-x7=乖58x1,x2’,描x2”,斯x3,x4,x5,x6,x7≥陪03.模1線性際規(guī)劃擁模型3.隊1線性塊規(guī)劃繭模型矩陣源形式奶：線性愈規(guī)劃領的標波準形受式：Ma醋xcTx(L韻P)且s.疲t.Ax=bx≥0其中,c,xRnbRmA酬mn矩陣3.船1線性踏規(guī)劃煌模型線性拌規(guī)劃徒的規(guī)逮范形聞式：Ma學xcTx(P速)擦s陶.t測.Ax≤bx≥0其中,c,xRnbRmA副mn矩陣3.蝦2線性寫規(guī)劃振的單宴純形求法線性洲規(guī)劃苗的理惹論：考慮(L雷P)的最優(yōu)優(yōu)性絮條件約束咱多面損體S=嗓{xRnAx=b,x≥0刪}的極叮點和父極方糖向定理絮考慮(L暑P)及上道述多銀面體S，設A滿秩寒，x(1乒),x(2鹽),微…,x(k變)為所疾有極渾點，d(1糊),d(2蛙),雀…,跡d(l勺)為所裝有極顧方向四。那正么，1)況(行LP鳳)存在熱有限技最優(yōu)撒解cTd(j)≤0乖,j.2)若(L拘P)存在克有限友最優(yōu)虧解,則最珠優(yōu)解板可以費在某醉個極商點達息到.3.滿2線性笨規(guī)劃守的單泄純形狹法線性策規(guī)劃柔的理牧論定理緞考慮(L漢P)澆,條件咐同上，設x*為極嗎點,存在念分解A=核[B,N]，其中B為m階非名奇異祥矩陣麻，使xT=彼[xBT,xNT],這里xB=B-1b≥0活,xN=0，相應cT=僚[cBT,cNT]。那么開，1）若cNT-cBTB-1N≤0孤,則x*展--釣o底pt銷.2）若cj-cBTB-1pj>摔0,且B-1pj≤0恒,則(L漠P)無有界常解.3.品2線性繁規(guī)劃柳的單院純形足法表格薄單純?yōu)樾畏?、原揀理及易算法播過程Ma桂xcTx(L卵P)醋s.簽t.Ax=bx≥0其中,c,xRnbRmAmn矩陣缸，秩細（A）=m3.臺2線性啟規(guī)劃巾的單皺純形豪法單純很形法狹原理休及算貞法過綢程算法階過程(考慮須一般倉步,k=祝0,蟲1,蓮2,雨…笑)設x(k蛾)為極鄙點,對應等分解A=腎[B,N]，使xT=掉[xBT,xNT],這里xB=B-1b>0部,xN=0，相應cT=起[cBT,cNT]。那么輸，1）若cNT-cBTB-1N≤0嗎,則x(k嘩)–憐op黎t，停；2）否舒則，霞存在cj-cBTB-1pj>倚0,a）若B-1pj≤0銹,則(L眉P)無有率界解歉，停姑；b）若存庭在(B-1pj)i>聽0,取α聲=mi林n{(B-1b)i/料(B-1pj)i|(B-1pj)i>0求}=(B-1b)r/(B-1pj)r>03.氣2線性熊規(guī)劃隸的單鳴純形正法單純絕形法與原理斯及算佩法過帥程(續(xù))得到x(k熟+1揭)=喘x(k運)+αd是極點其中,dT=[dBT,dNT],這里jdB=梳-B-1pj,dN=(0,華.鐘..宣,沈1樹,漲…先,0)T有,cTx(k禁+1預)=cTx(k)+αcTd=cTx(k)+α(cj-帳cBTB-1pj)>cTx(k)所以，x(k坑+1賤)比x(k偉)好重復果這個歉過程腔，直酸到停鮮機。3.程2線性勁規(guī)劃獲的單持純形炭法表格劣單純播形法2、單猴純形因表：設x為初報始極岸點,相應幫分解A=誼[B,N]fxBTxNTRHS目標行1cBTcNT01行約束行0BNbM行1列m列n-m列1列作變換邪，使臉前m+1列對賓應的m+1階矩嶼陣變癢為單宵位矩惰陣。怒相當助于該缺表左疫乘1cBT-11-cBTB-10B0B-1=3.曉2線性世規(guī)劃尊的單叢純形土法表格富單純剝形法得到偏：檢驗皆數(shù)fxBTxNTRHS目標行10TcNT-cBTB-1cBTB-1

b1行

xB0IB-1NB-1bM行1列m列n-m列1列為了廣計算限方便旦，我逢們對鼻規(guī)范逐形式漁建立雜如下計單純效形表券：（注：踐引入仙了m個松時弛變襲量）3.推2線性罪規(guī)劃獨的單早純形氣法表格偵單純鞠形法考慮統(tǒng)：bi>妨0i=色1附,更…癥,mMa爽xz=c1x1+c2x2+懶…血+cnxns.冊t.a11x1+a12x2+蜘…殿+a1nxn≤b1a21x1+a22x2+尋…換+a2nxn≤b2……真…牙…am1x1+am2x2+注…遼+amnxn≤bmx1，x2，…，xn≥悶03.占2線性聯(lián)規(guī)劃滴的單桂純形固法加入狂松弛雖變量喘：Ma扒xz=c1x1+c2x2+搜…沈+cnxns.險t.a11x1+a12x2+齊…搶+a1nxn+xn+1=b1a21x1+a22x2+雞…街+a2nxn+xn+2=b2……圓…紡…am1x1+am2x2+堵…之+amnxn+xn+絨m=bmx1，x2，…，xn，xn+1，…，xn+循m≥癢0顯然煮，xj=雖0j=皆1,行…仇,n;xn+雅i=bii=升1榆,伯…芝,m是基脂本可呼行解對應鼓的基暢是單奏位矩東陣。以下罷是初糕始單沉純形跨表：mm其中尾：f=-∑cn+然ibij=cj-∑cn+躁iaij為檢欲驗數(shù)cn+爬i=泰0i=趴1,飯…,醋mi=漆1i=吸1an+歉i,巨i=戀1猛,an+閑i,診j=而0般(j≠i)i,j=仿1,縣…易,m建立膨實用陸單純闖形表利用夫求解床線性逢規(guī)劃外問題劃基本高可行帥解（付極點棚）的崗方法借來求尺解較狐大規(guī)渡模的笑問題湯是不雪可行妄的。判單純搶形法墓的基勸本思嶺路是駁有選鼠擇地泛取基閃本可某行解卻，即暢是從抄可行餓域的羽一個灰極點港出發(fā)霜，沿倘著可商行域柜的邊詢界移濫到另壩一個底相鄰清的極嶄點，狀要求買新極堅點的輸目標沿函數(shù)信值不汽比原遇目標盲函數(shù)祖值差稻。3.介2線性艦規(guī)劃板的單贊純形拐法單斃純惡形稈法初始基本可行解是否最優(yōu)解或無限最優(yōu)解?結束沿邊界找新的基本可行解NY單純淚形法臟的基欠本過符程例：舒用單鼓純形庭法的消基本注思路搶解前澤例的鞋線性捷規(guī)劃叨問題Ma初xz繪=鈴15擁00嬸x1+茅25嶼00演x2s.芳t.3問x1+縫2刻x2+劣x3=仍6莫52欄x1+禍x2+柴x4=詢4充03匆x2+殖x5=膊7討5x1,計x2,辱x3,先x4,拒x5≥陰03.喚2線性殘規(guī)劃蝦的單稍純形招法3.輸2線性枕規(guī)劃阻的單胸純形勸法最優(yōu)蒙解x1=惰5x2=慮25x4=專5（松弛趴標量見，表他示B設備蕩有5個機析時的鋼剩余鉤）疤最旦優(yōu)值z*殃=嬸70遵00抹0注意蔬：單寒純形橋法中閃，1、每更一步坡運算膠只能詳用矩吃陣初郊等行柿變換麥；2、表帖中第3列的塔數(shù)總沸應保高持非貿負（≥0）；3、當掙所有蜓檢驗撲數(shù)均事非正偷（≤0）時扒，得稈到最癥優(yōu)單恢純形您表。3.圈2線性啊規(guī)劃左的單仍純形尊法一般篇情況斬的處撓理及臥注意抽事項磁的強騙調：柜主要獻是討墻論初裁始基磁本可堵行解臣不明該顯時箭，常研用的打方法恐。要醫(yī)弄清異它的伶原理溫，并疲通過續(xù)例題正掌握雪這些并方法全，同磚時進彈一步堡熟悉滲用單青純形唐法解盤題。考慮少一般布問題蜂：bi>坊0i=填1業(yè),賺…承,m3.危2線性牧規(guī)劃估的單局純形賤法Ma蹈xz=c1x1+c2x2+…+cnxns.膀t.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2...am1x1+am2x2+…+amnxn=bmx1，x2，…，xn≥03.悟2線性鴨規(guī)劃索的單沃純形太法大M法：引入袋人工島變量xn+倡i≥朽0（i=欺1思,成…蘆,m）及充率分大仍正數(shù)M。得到差：Ma凈xz=c1x1+c2x2+…+cnxn-Mxn+房誠1-…-Mxn+屆ms.哄t.a11x1+a12x2+…+a1nxn+xn+登1=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn+xn+緊2=b2...am1x1+am2x2+…+amnxn+xn+此m=bmx1，x2，…，xn，xn+棵1，…，xn+盒m≥03.總2線性眼規(guī)劃康的單星純形花法顯然出，xj=口0j=1各,饞…孔,n;xn+混i=bii=1霧,采…儲,m是基朽本可緊行解惕。對應量的基億是單暮位矩報陣。結論眼：若得率到的貴最優(yōu)賴解滿謀足xn+您i=濕0i=添1遣,損…溉,m則是棍原問稍題的京最優(yōu)距解；再否則挎，原回問題鈔無可霧行解那。單夕純做形座法兩階買段法復：引入林人工至變量xn+混i≥桶0，i=蒼1徹,…燈,m；構造:Ma脂xz=欄-xn+述1-xn+呼2-菌…訪-xn+形ms.籌t.a11x1+a12x2+…+a1nxn+xn+稈1=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn+xn+后2=b2...am1x1+am2x2+…+amnxn+xn+倘m=bmx1,x2..倒.xn,xn+堂1,…船,xn+伸m≥扎0單徹純驢形輝法第一妥階段檢求解島上述司問題納：顯然聯(lián)，xj=翼0j=1跨,鬼…駐,n;xn+爭i=bii=1廊,詞…磨,m是基憐本可翠行解,它對煌應的翠基是單貌位矩柱陣。結論這：若得斯到的疤最優(yōu)啞解滿封足xn+淺i=0i=1校,添…雁,m則是累原問賄題的芝基本賭可行毒解;否則防，原胖問題違無可媽行解詳。得到構原問至題的廣基本唇可行臥解后趨，第爐二階悟段求昨解原斬問題薦。單虜純媽形誓法例（LP）Ma處xz=援5x1+赴2x2+名3x3-x4s.群t.x1+2x2+3x3=象152x1+x2+齡5x3=垮20x1+穿2x2+綁4x3+x4=賄26x1,x2,x3,x4≥03.晉2線性稍規(guī)劃兔的單省純形藏法Ma得xz=懼5x1+2x2+3x3-x4-Mx5-Mx6s.獻t.x1+2x2+3x3+x5=1瘋52x1+x2+5x3+x6=2亭0x1+2x2+4x3+x4=2縫6x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0大M蜓法問寺題(肯LP忘-M寶）3.驗2線性股規(guī)劃期的單節(jié)純形雕法大M法（LP歐-M）得到最優(yōu)干解：(2宗5/瓦3，10狹/3，0，11齒)T最優(yōu)鍋目標涌值：11嗓2/志33.嶺2線性肉規(guī)劃萄的單鬼純形狹法第一哭階段擴問題規(guī)（LP崇-返1）Ma驅xz=詳-x5-x6s.昏t.x1+任2x2+程3x3+x5=和152x1+x2+超5x3+x6=戲2辟0x1+勾2x2+滑4x3+x4=洪26x1,扶x2,少x3,閣x4,龍x5,謊x6≥0兩階下段法羨：3.隱2線性頑規(guī)劃液的單梢純形秧法第一默階段(L妄P該-鵝1）得到身原問價題的安基本蜻可行店解:評(0，15溝/7，25詢/7，52尼/7緩)T3.共2線性依規(guī)劃傲的單供純形青法第二旱階段把基校本可傳行解織填入泉表中得到嘴原問稼題的輪最優(yōu)述解:(象25俱/3，10什/3，0，11洲)T最優(yōu)搬目標礎值：11惰2/嬸33.眼2線性寸規(guī)劃芬的單繳純形胳法3.繪3線性孔規(guī)劃廈的對驢偶對偶此原理對偶丹問題論定義——線性咱規(guī)劃銀問題爸寫出嗽其對桌偶問艙題，尼要掌徒握在啞對稱贈形式波和非蓮對稱鴿情況績下由砌原問脆題寫借出對盲偶問視題的攤方法湖。對偶浪定理——只需飼了解躲原問派題與流對偶朗問題滴解的輸關系荷，證稈明從號略。1.對偶鐵問題厚：若3.過1中的燥例題的設搜備都笑用于赴外協(xié)趴加工罪，工跑廠收伍取加桃工費算。試授問：諒設備A、B、C每工泥時各牌如何蕩收費積才最悉有競恨爭力殲？設y1，y2，y3分別往為每蠻工時奔設備A、B、C的收域取費模用。3.眼3線性奇規(guī)劃踐的對榆偶線性絲式規(guī)劃監(jiān)原問鴉題例:某工駛廠擁則有A、B、C三種余類型線的設谷備，峰生產廳甲、景乙兩擴種產奸品。堤每件消產品遭在生嗎產中悄需要辭占用遼的設控備機紫時數(shù)標，每球件產例品可您以獲躬得的伙利潤堅以及財三種零設備團可利悉用的修時數(shù)蘿如下辰表所去示。服求獲績最大滾利潤緩的方夜案。

產品甲產品乙設備能力（h）設備A3265設備B2140設備C0375利潤（元/件）15002500

Ma乖xz=灣15邁00x1+置25得00x2s.當t.鹿3x1+產2x2≤旋652x1+x2≤籠40原問層題3x2≤拋75x1,x2≥奇0Mi篇nf=側65y1+成40y2+籍75y3s.仿t.功3y1+2y2≥1灣50幅0（不少缺于甲伯產品斃的利淡潤）2y1+y2+3y3≥2慌50谷0對偶源問題（不少疲于乙棗產品廁的利越潤）y1,y2,y3≥兵03.要3線性遲規(guī)劃制的對可偶2、對良偶定母義對稱蒼形式：征互病為對干偶(L獨P)增Ma呼xz=cTx(D司P)喂M拖inf=bTys.油t.Ax≤bs.隆t.ATy≥cx≥刑0y≥鎮(zhèn)0“M月ax您-乖-煎≤為”角“褲Mi盤n-飽-魯≥”3.談3線性急規(guī)劃佛的對絮偶一對對稱發(fā)形式的對得偶規(guī)輸劃之臣間具穗有下桐面的枕對應畏關系雙。(1臥)若一翼個模懼型為靈目標辮求“袖極大旱”，這約束廣為“儀小于孝等于搖”的銜不等獨式，愉則它勒的對網(wǎng)偶模業(yè)型為植目標焦求“截極小腦”，磨約束戶是“猶大于裕等于慰”的斥不等時式。子即“ma朽x，≤炎”和“mi遲n，≥謀”相對明應。3.亭3線性話規(guī)劃寇的對英偶(2零)從約今束系移數(shù)矩勻陣看僚：一謹個模乎型中鑼為Ａ，則搜另一誘個模搖型中紅為AT。一個啦模型問是m個約榮束，n個變招量，鈴則它蔬的對潤偶模傭型為n個約融束，m個變起量。(3狂)從數(shù)托據(jù)b、C的位科置看儀：在元兩個每規(guī)劃愚模型斯中，b和C的位偉置對皂換。(4魄)兩個通規(guī)劃顫模型嶺中的宴變量曾皆非差負。3.麻3線性回規(guī)劃拳的對綱偶非對錯稱形店式的對咬偶規(guī)閥劃一般罷稱不首具有歪對稱尿形式泥的一幕對線冠性規(guī)差劃為童非對訊稱形泛式的醬對偶味規(guī)劃罰。對于缺非對霞稱形骨式的忍規(guī)劃詢，可海以按學照下齊面的守對應豪關系膝直接咬給出盟其對鞏偶規(guī)丟劃。（1）將模黨型統(tǒng)嫁一為深“ma幟x，≤爹”或“mi碼n，≥點”的形腿式，狂對于諸其中很的等隙式約捏束按境下面時（2）、掠（3）中艙的方融法處饞理；3.燒3線性籌規(guī)劃艘的對扣偶（2）若原平規(guī)劃鞋的某講個約析束條禾件為蒸等式燃約束欄，則義在對婚偶規(guī)傻劃中亭與此直約束惰對應傾的那雕個變候量取窗值沒資有非醫(yī)負限約制；（3）若原鋪規(guī)劃盤的某迅個變竿量的罷值沒辰有非姜負限砍制，扣則在叉對偶脆問題陜中與株此變骨量對蠟應的巖那個摔約束鑼為等猜式。3.灑3線性易規(guī)劃螞的對款偶3.她3線性暈規(guī)劃手的對沃偶例塘寫出其下面晌線性寬規(guī)劃治的對印偶規(guī)配劃模陣型解雨先將現(xiàn)約束妖條件案變形助為“≤”形式3.姐3線性弟規(guī)劃洞的對畝偶再根夾據(jù)非霸對稱房誠形式炭的對戀應關壩系，旅直接雷寫出亡對偶葬規(guī)劃3.跳3線性望規(guī)劃歉的對型偶對偶挨定理(原問兼題與攻對偶卸問題禮解的叉關系知）考慮慌（LP）和（DP）定理3-憂1(弱對蜓偶定燙理）若x,y分別籮為（LP忽)和（DP）的可僚行解蜻，那擊么cTx≤bTy。推論若（LP）可行躲，那科么（LP）無有狼限最炊優(yōu)解取的充植分必闖要條拌件是棟（LD）無可秒行解傲。3.腔3線性竊規(guī)劃賄的對尿偶定理3-主2(最優(yōu)衫性準慣則定榆理)若x,y分別(L淹P)忌,(仿DP心)的可慕行解,且cTx=bTy，那么x,y分別層為(L顛P)和(D穴P)的最片優(yōu)解渴。定理3-勵3(主對田偶定畏理)若(L薄P)和(D測P)均可斧行洲那么(L蹤蝶P)和(D幻玉P)均有糕最優(yōu)警解,且最挽優(yōu)值謀相等侵。以上籍定理手、推腎論對坡任意廉形式震的相應性吃規(guī)劃形的對吉偶均趣有效3.鉗3線性藏規(guī)劃閉的對旦偶影子刺價格——是一踏個向彈量，管它的握分量撈表示擔最優(yōu)兇目標稿值隨泰相應洲資源怖數(shù)量悅變化懼的變擺化率牙。若x*,y*分別聰為（LP）和（DP）的最駐優(yōu)解須，那么父，cTx*=bTy*。根據(jù)f=bTy*=b1y1*+b2y2*++bmym*可知f/bi=yi*yi*表示bi變化1個單養(yǎng)位對巴目標f產生獨的影罰響，洲稱yi*為bi的影己子價劃格。注意薪：若B是最歐優(yōu)基佳，y*=暗(BT)-1cB為影昏子價品格向怒量。3.誓3線性榨規(guī)劃粗的對畢偶影子量價格奴反映自了不怕同的街局部羽或個迎體的朗增量諸可以焰獲得傷不同律的整幻玉體經(jīng)旁濟效胃益。絡如果策為了昏擴大飼生產翠能力屠，考思慮增麥加設貫備，寄就應必該從代影子繩價格仇高的遠設備裹入手眉。這磨樣可另以用翁較少蜓的局謊部努抬力，抽獲得鴉較大原的整壞體效抽益。3.棟3線性字規(guī)劃的的對中偶需要冒指出瞇，影葡子價蔥格不焦是固殘定不捏變的猶，當鎮(zhèn)約束靈條件遵、產潑品利攏潤等漂發(fā)生睬變化瓦時，氧有可墻能使欠影子困價格盟發(fā)生削變化年。另爹外，寶影子敬價格鍛的經(jīng)抓濟含胸義（2），揀是指蝦資源椅在一壺定范幸圍內議增加胸時的揭情況劑，當牢某種撥資源貢的增違加超池過了蔬這個壞“一賞定的怎范圍然”時鐵，總植利潤倒的增窗加量冊則不被是按誤照影炊子價伴格給厚出的俘數(shù)值判線性嬌地增抱加。掛這個弦問題廈還將衰在靈弓敏度譽分析憂一節(jié)譯中討脆論。3.芒3線性伯規(guī)劃予的對夏偶由最浸優(yōu)單狹純形況表求亦對偶稍問題死最優(yōu)滋解標準句形式像：Ma挨xz=碧50x1+童10跡0x2s.損t.x1+x2+x3=顏30煎02x1+x2+x4=繩40悅0x2+x5=念25炸0x1,x2,x3,x4,x5≥03.以3線性貝規(guī)劃藏的對企偶-cBTB-1IB=(p1,詞p4,p2)oTB-1最優(yōu)貌解x1=保50x2=轟25喝0x4=存5腦0影子然價格y1=家50y2=掘0y3=全5賤0宴,B-1對應耗的檢野驗數(shù)T=cBTB-1。3.蓬3線性提規(guī)劃乖的對旦偶對偶何單純耀形法均的基幼本思硬想對偶率單純炮形法肅的基介本思僑想是鎖：從次原規(guī)絨劃的竊一個濁基本亡解出海發(fā)，講此基消本解佩不一奧定可演行，晌但它端對應辟著一淺個對也偶可量行解尚（檢過驗數(shù)礎非正宋），員所以排也可晨以說虎是從牢一個刺對偶窗可行欣解出耍發(fā)；滋然后橡檢驗裕原規(guī)紛劃的犧基本健解是廳否可掘行，芽即是缺否有繪負的卡分量以，如卷果有哄小于涼零的湊分量灰，則冰進行得迭代減，求甘另一慕個基森本解度，此膀基本跨解對惰應著閉另一偏個對武偶可斬行解言（檢靜驗數(shù)懶非正螺）。對偶見單純棗形法如果簡得到常的基湊本解幕的分拳量皆患非負蓋則該淚基本救解為右最優(yōu)貧解。紛也就兔是說碼，對堵偶單簡純形芽法在珠迭代悶過程水中始弟終保辰持對甘偶解燙的可址行性效（即決檢驗嗎數(shù)非榜正）爆，使由原規(guī)怨劃的戰(zhàn)基本侄解由啊不可更行逐誕步變償為可兔行，膠當同甚時得朽到對咱偶規(guī)滿劃與御原規(guī)報劃的噴可行膊解時舉，便省得到虛原規(guī)劃戰(zhàn)的最堅優(yōu)解。對偶餡單純姿形法對偶寧單純憐形法殼在什焦么情督?jīng)r下桌使用：應用毫前提扒：有一蜻個基罷，其敏對應若的基滿足:①規(guī)單純適形表藝的檢青驗數(shù)瘡行全埋部非她正（藝對偶默可行安）；②勿變量峰取值扎可有歡負數(shù)膨（非另可行拍解）芹。注：通過造矩陣割行變孕換運估算，嫩使所咸有相傻應變謝量取殲值均姥為非籌負數(shù)廣即得百到最狠優(yōu)單持純形扶表。對偶記單純昨形法1.建立益初始晝對偶撈單純烤形表,對應港一個走基本晚解,所有蠻檢驗告數(shù)均曲非正,轉2；2.若b’≥緩0,則得判到最嘆優(yōu)解,停止;否則,若有bk<0則選k行的女基變俘量為扮出基塞變量,轉33.若所鑄有akj’≥鑼0(j=汁1,嫁2,順…,n)，則原螺問題焰無可桶行解,停止;否則,若有akj’<忽0則選=m國in焦{j’床/akj’┃akj’<津0}=r’/akr’那么xr為進辣基變堪量,轉4；4.以akr’為轉燦軸元,作矩邁陣行寸變換捉使其燦變?yōu)?,該列疲其他薦元變湖為0,轉2。對偶努單純符形法嗎求解朱線性畢規(guī)劃懲問題過程仰：對偶德單純洲形法例：求解爽線性久規(guī)劃擾問題屢：標準錫化：Ma胞xz=去-性2x1-射3x2-威4x3s.戚t.-x1-2x2-x3+x4=秒-3-2x1+x2-3x3+x5=史-4x1,x2,x3,x4,x5≥太0Minf=2x1+3x2+4x3

S.t.x1+2x2+x3≥32x1-x2+x3≥4

x1,x2,x3≥0

對偶拔單純臟形法表格武對偶戚單純激形法單純新形法水和對顆偶單煎純形久法步請驟是是是是否否否否所有所有得到最優(yōu)解計算計算典式對應原規(guī)劃的基本解是可行的典式對應原規(guī)劃的基本解的檢驗數(shù)所有所有計算計算以為中心元素進行迭代以為中心元素進行迭代停沒有最優(yōu)解沒有最優(yōu)解單純形法對偶單純形法<單純目形表培的理惹解（怎例題鎮(zhèn)）上表鼻中6個常厚數(shù)a1,a2,a3,b,1,2取值蚊在什蔑么范偏圍可添使1、現(xiàn)民可行局解最烘優(yōu)，沒且唯趴一？俯何時脖不唯折一？2、現(xiàn)幻玉基本跳解不旺可行宏；3、問遺題無寧可行攜解；4、無僵有限胃最優(yōu)脫解；5、現(xiàn)豎基本份解可內行，輩由x1取代x6目標達函數(shù)率可改移善。進一丹步理載解最茄優(yōu)單閑純性傻表中錦各元撓素的要含義匯考慮烤問題Ma愿xz=c1x1+c2x2+…+cnxns.碗t.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2...am1x1+am2x2+…+amnxn=bmx1，x2，…，xn≥再03.接4靈敏招度分未析3.腐4靈敏群度分拴析無防主設，xj=期0臣j臉=m+1掙,孟…窩,n;xi=bi’i=序1騰,鄉(xiāng)豐…姐,m是基察本可晌行解,對應充的目籌標函中數(shù)典睜式為理：z=蕉-f+m+1xm+1+…腳+nxn以下范是初疾始單澇純形唐表：mm其中班：f=爭-∑cibi’j=cj-∑ciaij’為檢復驗數(shù)紐奉。確向量b’鍛=前B-1bi=副1i=屆1A=狗[p1,p2,蜻…,pn],pj’=B-1pj,pj’=疫(a1j’,a2j’,踐…才,amj’)T，j=m+1己,銜…驚,n內容眼：ci,bj發(fā)生闊變化增加慚一約評束或越變量對于拋表格漏單純扔形法略，通含過計解算得禾到最鴨優(yōu)單淹純形物表。薯應彎能夠慶找到驗最優(yōu)明基B的逆啞矩陣B-1，B-1b以及B-1N，檢驗佩數(shù)j等。3.靈4靈敏撥度分建析價值熊系數(shù)c發(fā)生趨變化睬：m考慮干檢驗追數(shù)j=cj-∑criari津jj=1樂,2基,…存…,ni箭=扛11.若ck是非旋基變帝量的山系數(shù)遷：設ck變化踩為ck+ckk’=ck+ck-∑criari躲k=k+ck只要k’≤奪0叉,即ck≤漸-k，則最優(yōu)齊解不抽變；習否則彎，將轎最優(yōu)晉單純莫形表中的熱檢驗寨數(shù)k用k’取代津，繼浴續(xù)單純形刊法的驅表格驕計算。3.頭4靈敏雷度分坑析例:Ma話xz=獻-2x1-勒3x2-燙4x3S.膀t.-x1-2x2-x3+x4=做-準3-2x1+x2-3x3+x5=川-臨4x1,x2,x3,x4,x5≥03.旨4靈敏速度分烤析例：皆最優(yōu)揭單純池形表從表失中看現(xiàn)到σ3=c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23)可得臣到Δc3≤痰9/真5時，述原最殲優(yōu)解廚不變極。3.昨4靈敏館度分葡析2、若cs是基匹變量慢的系蒙數(shù)：設cs變化門為cs+cs，那么j’=cj-∑criari牙j-廣(cs+cs)asj=j-csasj，i≠s對所瞧有非匪基變木量，只要謙對所慕有非炎基變炒量j’≤皂0，即j≤csasj，則最迫優(yōu)解不變接；否從則，繪將最規(guī)優(yōu)單吸純形秤表中桶的檢邀驗數(shù)j用j’取代純，繼摘續(xù)單聽純形長法的緊表格柿計算。Ma餓x{j/asjasj>0拒}≤cs≤M驅in