第一章 數(shù)學(xué)物理方程的解法

2023/7/21數(shù)學(xué)物理方法概論主講教師：白璐聯(lián)系電話：n之——（微分幾何）2023/7/22

課程特點(diǎn)：

數(shù)學(xué)物理方法是物理學(xué)類(lèi)、電子信息科學(xué)類(lèi)和通信科學(xué)類(lèi)的重要公共基礎(chǔ)課和工具。主要特色在于數(shù)學(xué)和物理的緊密結(jié)合，將數(shù)學(xué)用于實(shí)際的物理和交叉科學(xué)的實(shí)際問(wèn)題的分析中，通過(guò)物理過(guò)程建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解和分析模型，對(duì)具體物理過(guò)程的深入理解。提高分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力。2023/7/23

課程內(nèi)容：第一章：微分幾何（4）第二章：線性空間（4）第三章：漸近方法（5）第四章：格林函數(shù)法（5）第五章：積分方程的解法（5）2023/7/24

課程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握微分幾何、線性空間的相關(guān)定義和本征函數(shù)集的應(yīng)用；2、掌握數(shù)學(xué)物理方程常規(guī)解法的技巧，以及特殊函數(shù)的應(yīng)用；3、掌握格林函數(shù)在數(shù)學(xué)物理方法求解中的應(yīng)用，掌握積分方程的數(shù)值求解方法，學(xué)習(xí)數(shù)值漸近方法。4、學(xué)習(xí)和提高編程分析實(shí)際問(wèn)題的能力。2023/7/25

學(xué)習(xí)要求：按時(shí)到課，完成作業(yè)，及時(shí)復(fù)習(xí)。考核方法：30%平時(shí)+70%期末（閉卷）推薦用書(shū)：《數(shù)學(xué)物理方法》王一平主編，電子工業(yè)出版社《微分幾何的理論和習(xí)題》利普舒茨著，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社《微分幾何》梅向明黃敬之編，高等教育出版社《物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》拜倫著，1982年，科學(xué)出版社2023/7/26第一章微分幾何

微分幾何的產(chǎn)生和發(fā)展是與數(shù)學(xué)分析密切相連的，在這方面做出突出貢獻(xiàn)的有瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，法國(guó)的蒙日，德國(guó)的高斯、克萊因等。

在波的輻射、傳播、散射、反射等應(yīng)用領(lǐng)域常遇到對(duì)物體幾何形狀的分析，而微分幾何所闡明的概念和方法，在這一方面成為有力的工具。經(jīng)近300年的發(fā)展，已逐漸成為數(shù)學(xué)上獨(dú)具特色，應(yīng)用廣泛的學(xué)科。2023/7/27第一章微分幾何

微分幾何是采用微積分的方法研究幾何圖形的學(xué)科。本章重點(diǎn)討論曲面理論的基本原理。

微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無(wú)限小的范圍內(nèi)略去高階無(wú)窮小，一些復(fù)雜的依賴(lài)關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過(guò)程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。

學(xué)習(xí)本章的重點(diǎn)是掌握微分幾何基本概念理解空間曲面的定義、定理及重要幾何量的計(jì)算方法。2023/7/2第一章微分幾何

微分幾何涉及用微積分方法了解空間形狀及其性質(zhì)。

微分幾何解決問(wèn)題的一般思路是：

參數(shù)方程定義幾何體求導(dǎo)

從微積分導(dǎo)出能說(shuō)明幾何學(xué)某些性質(zhì)的幾何量給定某些微分量求解

確定幾何體幾何量滿足的條件（微分方程）微分方程的解集即幾何體82023/7/29第一章微分幾何1、三維空間中的曲線；2、三維空間中的曲面；3、曲面的第一、二基本形式；4、曲面的曲率；5、測(cè)地線；6、張量簡(jiǎn)述。20溪23醒/6堂/2們710：推薦載用書(shū)摟：《數(shù)益學(xué)物滔理方唐法》座王一蒼平主壇編，慮電子搶工業(yè)儉出版熟社《微分漿幾何濫的理灑論和凈習(xí)題》利普翼舒茨技著，朱上海吉科學(xué)秒技術(shù)減出版澡社《微分活幾何沙講義》陳省賣(mài)身面陳維剪恒著，北京容大學(xué)出騰版社《微分凱幾何》梅向瘡明旬黃敬稅之編島，高辣等教示育出登版社第一丑章塊微分答幾何20師23賀/6只/2肢711§1.禮1三維書(shū)空間魚(yú)中的問(wèn)曲線在E3中De亦sc況ar摘te娃s直角激坐標(biāo)囑系O-黃xy佛z下運(yùn)動(dòng)瓶質(zhì)點(diǎn)證的位化置為其中佛為單索位正遞交基檔向量圾．空間須曲線兆定義：區(qū)間(a,b)上點(diǎn)t在映配射：t(x(t),y(t),z(t))下像少的集支合曲線C的表沿示：§1.靜1.惑1曲線舟的表娃示式中t稱(chēng)為C的參數(shù)C可用趁向量留形式紐奉的參評(píng)數(shù)方播程表紫示為或?qū)應(yīng)殲榉直砹啃螁适降恼`參數(shù)貝方程一、懼曲線廊的表墳示20何23擔(dān)/6餐/2淡712§1.啟1三維定空間壇中的緊曲線假定命所研丹究的剪曲線予至煎少是t的一映階連艷續(xù)可侮微函歐數(shù)。§1.應(yīng)1.禍1曲線朽的表雨示二、感正則定義：如果革給定秋參數(shù)驚曲線C:草,t(a,b)．若喘，眨則稱(chēng)tt0的對(duì)初應(yīng)點(diǎn)卻為C的一惹個(gè)正則辣點(diǎn)．若荒，癥則稱(chēng)tt0的對(duì)污應(yīng)點(diǎn)息為C的一區(qū)個(gè)奇點(diǎn)；若曲付線上抄所有神點(diǎn)正備則，劣則稱(chēng)C為正則吊曲線，并鈴稱(chēng)參訪數(shù)t為正則要參數(shù)．幾何命意義鞋：視參沉數(shù)曲平線為客動(dòng)點(diǎn)窮軌跡畢，正進(jìn)則點(diǎn)蘋(píng)的幾竊何意戚義則榴是當(dāng)烤參數(shù)主在該給點(diǎn)處梳作微舌小變伯動(dòng)時(shí)籌動(dòng)點(diǎn)別的位萬(wàn)置同比時(shí)作擋真正催的變暮動(dòng)．20鬧23伏/6邊/2帆713§1.堂1三維憐空間塔中的泡曲線§1.行1.燭1曲線烈的表?yè)剖纠?若參腰數(shù)曲填線C:樂(lè),tR，則其供幾何圍圖形飼僅僅欠表示艦一點(diǎn)萄，而害不是秘正常箏的曲赤線，泊此時(shí)車(chē)所有衰的參箭數(shù)值個(gè)對(duì)應(yīng)版于圖伯形實(shí)覽體的洞同一槳點(diǎn)．岔這是金非正碌則曲獲線的鄰極端石例子梁．例2半徑宇為a，螺永距為2πv的圓柱賺螺線蛾，如掙視為雜動(dòng)點(diǎn)絲式的軌絞跡，粱表示盈為(t)(aco乖s警(wt)距,asi慚n顛(wt)安,vt)惑,tR，其中沸三個(gè)崖常數(shù)a0狗,w0和v0分別賓為動(dòng)皆點(diǎn)運(yùn)盈動(dòng)的筆圓周廁半徑線、角非速率悠和向唉上速聾率．嚷此時(shí)(t)(awsi泉n(wt)蔽,awco混s(wt)衫,v)0，說(shuō)明待該參萄數(shù)化禁使之失成為圖正則即曲線拾?；蛘咄７Q(chēng)該掌曲線身是（－,類(lèi)）上閣的正糟則曲鞋線。20衫23勁/6肚/2艦714§1.香1三維綿空間餓中的跳曲線§1.鋒1.遣1曲線檔的表揉示例3半立宇方拋踐物線軌光滑負(fù)曲線(t)(t3,t2,違0)供,tR，則(t)(3t2,迅2t,尸0)，故此遙時(shí)其再奇點(diǎn)幻玉有且或僅有瘡一個(gè)謝：r(0讀)．該曲沸線是（－,黃0）和（0,舍）上洲的正活則曲鴉線。同一毯條曲晴線可橋有不昆同的矩參數(shù)彈表示浸。如羞果曲丙線C為(t)，用t＝t(t1)引入歉新參研量t1，則(t)(t(t1))＝1(t1)，為蜓保障t,t1一一巾對(duì)應(yīng)鼠且為居使t,t1增加擁的方戚向均逝相應(yīng)刊于曲替線正鍛向，黨要求三、廊同一侵曲線飄的不爬同參鋼數(shù)表偽示曲線C上一澆點(diǎn)如緞取參遙數(shù)t時(shí)為錄正則役點(diǎn)，初則在之取t1表示晴時(shí)也失為正況則點(diǎn)20銀23見(jiàn)/6衛(wèi)/2殺715§1.銀1三維恢空間礙中的雄曲線§1.猴1.裂1曲線凱的表乓示可以及選取致弧長(zhǎng)屬作為榆曲線稀的參幸數(shù)并院能夠線方便型地確悄定曲罷線的切線．是曲序線切蒼矢量幫的長(zhǎng)攀度。注意全：弧長(zhǎng)定是代警數(shù)量?jī)r(jià)；弧長(zhǎng)談只依搬賴(lài)于立曲線文上所凡選取乳的始腫末點(diǎn)掙，而婚與參律數(shù)的雨選擇生無(wú)關(guān)竹；對(duì)正錯(cuò)則曲考線可紡選取抬弧長(zhǎng)s作為仗表示撇曲線晴的新今參數(shù)病，這孕時(shí)切日矢量為一昨單位予矢量擦。四、咬正則陰曲線初的意島義設(shè)曲叢線C:(t)挑,t(a,b)正則威，則喚曲線洗從參帝數(shù)t0到t處的程弧長(zhǎng)莫為其中20犧23斤/6圖/2李716§1.動(dòng)1三維歸空間仆中的腦曲線§1.柄1.煩1曲線囑的表屬示選取潑弧長(zhǎng)旁作為蠻參數(shù)校的曲腿線稱(chēng)夸為單位受速率裝曲線。單位岡速率職曲線速的意碧義類(lèi)比隸：空間格曲線——質(zhì)點(diǎn)帶在空斤間的侍運(yùn)動(dòng)語(yǔ)軌跡參數(shù)t——時(shí)間——質(zhì)點(diǎn)爽的運(yùn)直動(dòng)速盒度——質(zhì)點(diǎn)蠶經(jīng)歷贈(zèng)的路停程選取刮弧長(zhǎng)救作為否曲線訪的參江數(shù)的船好處底是曲脂線上冤每一看點(diǎn)的蓮切向使量都浪是單員位向曲量。20巾23肌/6頃/2六717§1.朽1三維學(xué)空間潤(rùn)中的歪曲線§1.些1.粗1曲線波的表旦示t為正螞則參夢(mèng)數(shù)，且斤有

ds

=

|r￠(t)|

dt

=

a2w2

+

v2

dt

s(t)

-

s(t0)

=

òtt0

|r￠(u)|du

=

òtt0

a2w2

+

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=

a2w2

+

v2(t

-

t0)．點(diǎn)(a,演0,換0貫)對(duì)應(yīng)稼于參購(gòu)數(shù)t＝0，故邊從點(diǎn)(a,涌0,茄0斧)計(jì)起達(dá)的弧慘長(zhǎng)參唯數(shù)s(t)s(0咐)車(chē)=tsq齡rt鮮(a2w2+v2)故一稍個(gè)螺買(mǎi)紋對(duì)夜應(yīng)于預(yù)參數(shù)t取值遮區(qū)間處為[t0，t0+|2π/ω|]的長(zhǎng)評(píng)度為s(2π/ω)s(0疏)押=型|2π/ω|頌sq吉rt沫(a2w2+v2)例4圓柱螺線參數(shù)化為(t)(acos(wt),asin(wt),vt),tR，其中三個(gè)常數(shù)a>0,w

0和v

0．試求其從點(diǎn)(a,0,0)計(jì)起的弧長(zhǎng)參數(shù)，并確定其一個(gè)螺紋的長(zhǎng)度．解：因20逢23紀(jì)/6顆/2急718§1.簽1三維剪空間引中的常曲線§1.館1.聲2空間乖曲線妖的重椒要幾犬何量一、聾曲線脊的曲甘率考慮廊單位戚切向筒及其洪方向淡相對(duì)趴于弧辜長(zhǎng)的鬼變化孔率．定義娛：曲率曲率反和曲掩率矢組量的先定義交不依剪賴(lài)于哪正則績(jī)參數(shù)環(huán)的選磨?。蕷v的意麻義——表征鐵了曲煉線的刺切向怕量相建對(duì)于母弧長(zhǎng)箭的轉(zhuǎn)沈動(dòng)速之度。其值親的大乏小代猶表了曲線莖的彎掌曲程法度。20么23漿/6螺/2挺719§1.拼1三維促空間衡中的墓曲線§1.晝1.伏2空間犬曲線月的重誦要幾暴何量定義曲率屆半徑性；曲妥率矢壩量．其中詳，馬是殘與座正長(zhǎng)交的那單位炕矢。渣且指謠向曲牛線的囑凹向隆。曲率——曲率峰半徑——曲率妥矢量——20尾23紗/6算/2丘720§1.內(nèi)1三維漆空間滾中的議曲線§1.協(xié)1.拴2空間棚曲線五的重漲要幾詠何量一、疤曲線略的曲波率密切面方程——如果密切面上的點(diǎn)用定義

密切平面——曲線

(s)在s點(diǎn)的所構(gòu)成的平面

表示，則位于密切面內(nèi)，即命為曲品線在s處的繩從法挖向單霜位矢臂，它竹是密搶切面閥的法久線。20懶23釘/6反/2璃721§1.貪1三維對(duì)空間并中的削曲線§1.紡1.支2空間混曲線恰的重彎要幾掘何量從切汁面曲線(s)在s點(diǎn)的描述想曲線卸密切攀面方訴向變麗化引踏入撓率密切拿面所構(gòu)六成的作平面法平箭面二、咽曲線滾的撓筋率由上式所確定的函數(shù)稱(chēng)為曲線在s點(diǎn)的撓率

撓率的拴絕對(duì)盯值表歡示了康曲線思的密僵切面饒（或巡壽從法膠矢量活）隨s的旋前轉(zhuǎn)速帝率20糕23普/6希/2思722§1.膀1三維趣空間謊中的長(zhǎng)曲線§1.異1.悔2空間盆曲線率的重禁要幾歸何量1）當(dāng)鉆曲線配以弧林長(zhǎng)為芒參數(shù)墳表示偽時(shí)，不即三、鍛曲線舒的曲戰(zhàn)率撓溫率的嗎計(jì)算穴公式曲率撓率2）當(dāng)傭曲線傲以一成般參振數(shù)t表示曲率撓率20盡23供/6值/2飼723§1.親1三維襲空間腰中的遭曲線§1.歷1.啄2空間興曲線將的重勻要幾傾何量例5對(duì)曲歌率非萌零的尾曲線C而言替，C為平省面曲忽線的任充要鐘條件如是其茂撓率陜函數(shù)沸恒等栽于零擺．證明傲：只飯要證蒜明“退從法稅向量完恒等所于常棉向量傅”等體價(jià)于珍“撓元率函落數(shù)恒仍等于批零”鋪，而這瘋由(s)，即罷可得譜證．如果身曲線禁的撓挑率恒勻?yàn)榱銈z，則(s)常矢更量。魚(yú)于是由此庫(kù)得設(shè)s0是曲彩線上鋼任一隆點(diǎn)，側(cè)則由出上式窮得可見(jiàn)(s)位于壓通過(guò)s0，法準(zhǔn)線為止的膛平面經(jīng)上，諷即其醉是一行平面窮曲線怎。還可批類(lèi)似紫證明寒曲率天恒為裝零的樸曲線孔為直摘線。20纏23缺/6測(cè)/2炕724§1.位1三維度空間低中的河曲線§1.悔1.嘆2空間鴉曲線摸的重料要幾雹何量物理欣意義：撓率戶是刻菜劃曲社線彎喚曲狀植況的孤又一束個(gè)重愁要的鉤幾何吸量，蘿因而負(fù)又可遭稱(chēng)之郵為曲粱線的第二以曲率；由于花撓率兵體現(xiàn)寧了密門(mén)切平晴面的刑扭轉(zhuǎn)妹狀況會(huì)，通蒼常說(shuō)藝它表妻示了盆曲線念的扭曲循程度．當(dāng)撓股率非膜零時(shí)楊，稱(chēng)證其倒敏數(shù)為撓率激半徑20滾23弟/6墊/2雞725§1.皂1三維嘉空間哄中的靈曲線§1.攀1.怠2空間嚼曲線嬸的重崖要幾律何量曲率學(xué)、撓率的喂意義：沿曲拒線的促變化哭告訴榜我們縫曲線申自身檔在空游間中驢是如福何旋障轉(zhuǎn)彎糕曲的的變們化又有由微煙分壟決定領(lǐng)。由把的定狡義所以填曲率乎描述江了植方向忌的變毯化。因?yàn)樯剖侨S空燈間R3中三稼個(gè)相幻玉互垂小直的雜單位母向量煙。故R3中任一次向量網(wǎng)都是殊它們篇的線碌性組窄合，甩如果港，宋如能肺確定a,寧b,愈c則也何就確每定了20朽23嫁/6接/2冷726§1.腔1三維洞空間概中的愧曲線§1.羽1.老2空間顏曲線觀的重盞要幾獲何量同理的表票達(dá)式產(chǎn)中僅輝剩一飾個(gè)非觸零系肆數(shù)，頭既然她不能勸用已填知量墻刻畫(huà)怕它，就把蟲(chóng)它定躁義為撓率。因?yàn)樗杂蔀榱阋驗(yàn)樗远x為曲襖線的朱撓率獨(dú)，則20神23墳/6牙/2棵727§1.寫(xiě)1三維完空間雄中的事曲線§1.勝1.器3曲線偵在一浸點(diǎn)鄰交近的趴性質(zhì)一、Fr碑en家et標(biāo)架在曲首線上慈與自皆身幾宵何屬醬性密盟切相師關(guān)的脆標(biāo)架壘場(chǎng)．Fr裂en寸et標(biāo)架——按照幕標(biāo)架族運(yùn)動(dòng)巷的一拘般規(guī)斥律，良對(duì)于性無(wú)逗齒留點(diǎn)航的曲記線r，其Fr映en舅et標(biāo)架餡關(guān)于陷曲線級(jí)弧長(zhǎng)s的運(yùn)覽動(dòng)公掛式（休作微勇小位戰(zhàn)移時(shí)畝的變加換公鉛式）診為這組鉆公式名稱(chēng)為Fr跡en益et公式防（曲線定論基刷本方皺程），它譽(yù)包含斤了曲線披幾何漿的最脫基本贈(zèng)信息毯：弧盾長(zhǎng)，尸曲率節(jié)，撓稠率20腦23替/6纖/2燒728§1.儉1三維想空間塌中的暫曲線二、妄曲線首在一埋點(diǎn)鄰陷近的說(shuō)性質(zhì)在明購(gòu)確了Fr院en伏et公式臂之后剩，F(xiàn)r吊en董et標(biāo)架決關(guān)于帥弧長(zhǎng)段的各產(chǎn)階導(dǎo)繁向量問(wèn)在Fr梢en華et標(biāo)架鏟下的奇分量堤就都哀可以姿用曲枕率、編撓率諷以及極它們捉的各蝦階導(dǎo)稍數(shù)等舒幾何甚量具錢(qián)體表幼示出錦來(lái)。一階著近似二階鐵近似三階仇近似(踐Fr呀en駐et近似)意義：如果撓率正，系隨s的增沈加曲首線沿斜法線降的正包方向兵穿過(guò)仆密切衡面，反之宏則反館向穿賽過(guò)；該曲懷線段跳近似物于一糕段圓涉柱螺肌線，撓率正，削右螺俗旋，豪負(fù)，然左螺霜旋§1.叛1.招3曲線魯在一燈點(diǎn)鄰混近的燭性質(zhì)20渴23惜/6倚/2浸729§1.項(xiàng)2三維始空間挽中的膚曲面一、忽曲面參數(shù)u,漆v在二肅維區(qū)厘域D內(nèi)變假化時(shí)舞，依考賴(lài)于誰(shuí)兩個(gè)哀參數(shù)烘的矢邁量設(shè)端點(diǎn)漠的軌穗跡確抓定出祝的曲換面可泉表為是D中任墻一固秤定點(diǎn)§1.肌2三維育空間摸中的濤曲面固定讓在D中變動(dòng)得曲線曲線參數(shù)曲線網(wǎng)如果即點(diǎn)魄處u曲線貼的切環(huán)向量橡與v曲線般的切真向量冬不平醉行，瘡則稱(chēng)該米點(diǎn)為夕曲面禾上的正則替點(diǎn)。反錢(qián)之為債奇點(diǎn)憂。由癥正則夜點(diǎn)所濟(jì)構(gòu)成的曲癥面稱(chēng)怨為正則池曲面。20盡23載/6革/2尖730二、駛正則藏坐標(biāo)碑網(wǎng)對(duì)正請(qǐng)則曲掀面，摘在點(diǎn)(u0,v0)處若兵根據(jù)ru和rv的連廟續(xù)性僑，則糞存在夕該點(diǎn)旨的一醬個(gè)鄰姨域，許使得楊在此物鄰域布內(nèi)§1.科2三維阿空間順中的涂曲面于是掙在這餓塊曲跑面上造每一閣點(diǎn)有滿惟一匹的一鑰條u曲線盜和一口條v曲線迎，且這必兩條捐曲線輝不相冠切。具這樣淺的兩斤族曲網(wǎng)線構(gòu)撈成正則艙坐標(biāo)吵網(wǎng)。例6球面席方程眠可表尿示為因?yàn)楣十?dāng)且僅當(dāng)時(shí)為零。即除球面上南北極外，球面上的經(jīng)線(等于常數(shù))和緯線(等于常數(shù))構(gòu)成正則曲線網(wǎng)?！?.散2三維口空間檔中的糾曲面20土23前/6革/2破731一、竹切平昂面曲面彩在某芬點(diǎn)處幸所田構(gòu)成候的平趕面為夢(mèng)曲面疤在該獅點(diǎn)的切平幟面的切贈(zèng)平面劍上的命點(diǎn)，妻則如果孟用§曲面勞的切飾平面欣與法此向量上式螺即切平渠面方秧程。表示菌曲面§1.廟2三維名空間爽中的令曲面20蝴23有/6醉/2野732二、鐵法向衡量曲面澇的切慚平面臟的法適線稱(chēng)裕為曲靈面在輸切點(diǎn)我處的法線。曲面執(zhí)的單車(chē)位法本向量貓為§曲面牛的切荷平面混與法哈向量正負(fù)浙號(hào)取繡決于療法線叨正方蛇向的飾選取季。在哲電磁掩理論珍與天跟線工氣程中研究崇反射向面或起波面躍時(shí)，易總?cè)√湔叵蛑傅南虿ㄕ显?。曲面鎖法向染量也莖滿足盤(pán)參數(shù)俗變換虛下的僵不變討性。烏如果吼在一牛種參羊數(shù)描述反下某斧點(diǎn)為富正則逝點(diǎn)，軟則在飼另一寨種參絹數(shù)描葬述下紹一定體也是分正則的集?！?.纖2三維娘空間皺中的炒曲面20督23靜/6師/2板733一、蚊一些羅常見(jiàn)裹的曲值面1)橢圓紅錐面§曲面支舉例2)橢圓鞭拋物急面3)橢球針面4)雙曲繭拋物纏面5)單葉厲雙曲撐面6)雙葉狼雙曲丑面§1.責(zé)2三維載空間橡中的饑曲面20潑23甜/6鑄/2凡7341)橢圓秤錐面§曲面玩舉例§1.炸2三維唯空間棄中的食曲面pr動(dòng)og爽ra暢m葵tu節(jié)o_勻yu垃an身_z塞hu釣ius脾e昂ms陪im收slin單te吸ge半r嚇i,槐jre禮al猜*8布x炮,y酒,z茂,t盯he創(chuàng)ta始1,赴th切et弊a2饑,fop羨en若(1倒0,草fi策le息="并1橢圓大錐面.t列xt顫")wr述it艇e(技10則,*災(zāi))"易x降",蜻"荒y幼"軍,"伙z小"wr閉it企e(途*,蔥*)塵"請(qǐng)輸鄭入兩墳個(gè)張竄角(用角蛇度表譯示)："re丑ad夾(*削,*終)t奇he韻ta諸1,代th斧et躍a2do探i權(quán)=0截,5掏0do倍j東=0迎,3傾60矮,5z=塊i*沒(méi)(5左./慢50陣.)x=幅z*塞dc泄os遮(f嘉)*娘dt珍an圣(t飼he掌ta盲1)y=專(zhuān)z*繞ds才in微(f娘)*牌dt旺an件(t希he頸ta男2)wr徑it僅e(旨10貨,1萍1)寧x,紗y,公zen志d姜doen傲d蹦do11皆f腿or獸ma瓶t(罵1x落,3費(fèi)(f倒9.盼5,蓮5x之))en射d20妻23怕/6鬧/2室735§曲面心舉例2)橢圓駛拋物什面§1.乖2三維怎空間廚中的屠曲面a=森2,歇b從=3x=奧-攝15謊:0兼.1核:1漢5;y=蠶-來(lái)20福:0老.1鈴:2臭0;[X宣,Y圖]罵=晨me高sh顆gr閑id抬(x瓣,y廟);Z=須(X頓./劣2)挺.^灰2廳+鄙(Y降./襯3)顛.^爽2;su燈rf區(qū)c(腎X,牲Y遺,握Z(yǔ))茫;sh稀ad坊in榨g絕in狂te純r(jià)p須;%h劇id喊de詳n血onxl盤(pán)ab野el貧('豈x'俘);坐y創(chuàng)la均be潔l(霸'y振')舞;z蘋(píng)la牽be耗l(布'z今')郵;co諒lo新rm村ap蠅d皆ef芽au高lt甚;ti符tl王e(滅'橢圓哥拋物傘面')倡;ax超is撲e脂qu悼al弄;20蘿23液/6鐘/2帥736§曲面惕舉例3)橢球垂面§1.濕2三維齡空間廁中的奏曲面xc橋=0虛;y丙c=竄0;若zc僻=0暑;xr章=5澡;y天r=敲4;質(zhì)zr蘭=3仆;[X糠,Y朋,Z鋪]=飛el田li托ps骨oi楊d(魂xc饞,y六c,林zc墓,x純r(jià),互yr詢,z杰r,主10跟0)葬;su悟rf頑(X導(dǎo),爸Y,救Z嶺);sh隔ad釘in塵g望in爪te臟rp破;co贏lo室rm志ap秀c貨op啄pe牙r;ti貍tl惠e(奪'橢球朱面')闊;ax箱is貪e默qu尾al獎(jiǎng);20忠23巾/6贊/2漢737§曲面辮舉例§1.傳2三維修空間券中的索曲面4)雙曲尾拋物亮面X=仁-1棒0:械0.惹1:屋10荒;Y=兼-1糖5:談0.藏1:它15遵;[x死,y輝]=盆me襯sh傭gr么id繁(x她,y眼);Z=雅(x塘./登2)欲.^予2-股(y抱./獄3)興.^自2;Su庫(kù)rf林c(嶼x,溪y,朽z)階;Sh躁ad辮in宇g庫(kù)in咐te宵rp叮;Xl槳ab乖el拳(‘哀X’慕);夢(mèng)yl戚ab染el支(跟‘y個(gè)’)冶;yl秤ab姥el碧(‘鏟z’團(tuán));Co答lo鄉(xiāng)豐rm栽ap木j周et土;a=據(jù)2,銹b=歐320反23爛/6聞/2嶄738§曲面跪舉例5)單葉前雙曲砍面§1.慶2三維敘空間根中的鄙曲面pr遮og均ra相m睬da費(fèi)n_邁ye評(píng)_s采hu銜an戚g_榴qu餡_m奶ia拔nus殿e更ms蔬im擾slin蒜te眉ge巾r際i,顯jre肌al穴x狠,y李,z爆,t航he翅t(yī)a爬,f易ai男,a感,b肉,uop裝en慕(1巷0,頃fi押le及="難5單葉村雙曲廁面.t規(guī)xt康")wr眉it埋e(為10撿,*東)"臂x博",務(wù)"欣y跟"截,"大z早"wr葡it啟e(隱*,貓*)淘"請(qǐng)輸占入三攜個(gè)參屯量：(a帽,b桃,c剝)"re脂ad風(fēng)(*鐵,*照)a雅,b棄,c!a含=2斬.d山0!b扯=2扇.d早0!c己=2校.0do背u節(jié)=-銷(xiāo)2,滲2,胡0.保1do牙j特=1削,3豪60警,5x=竊a*樣co帖sh院(u以)*刻co匠s(旺fa撤i)y=外b*牌co乖sh辮(u取)*徹si做n(劈燕fa瓣i)z=待c*觸si腦nh續(xù)(u容)wr棄it鴨e(天10蹈,1駝1)爆x,稀y,互zen掛d峽doen奸d款do11潛f楚or山ma喉t(副1x聯(lián),3顫(f福9.爆5,狠5x洽))En柱d20紅23亂/6抹/2瓣739§曲面籌舉例6)雙葉疑雙曲址面§1.渡2三維屢空間掌中的早曲面這里贏取pr勤og滾ra銜m歉sh債ua掏ng湊_y飼e_互sh嚇ua犯ng矩_q圣u_墨mi條anus看e銷(xiāo)ms站im戶slin尸te雖ge顫r耕i,章jre藝al桶x叫,y些,z綱,t群he取ta檔,f限ai鍛,a擔(dān),b餅,uop神en竊(1注0,貌fi過(guò)le培="漲6雙葉蛾雙曲停面.t煎xt儉")wr奇it壇e(餐10替,*洗)"嫁x鏈",刺"群y狗"風(fēng),"楊z雁"!w須ri題te戴(*幣,*層)"請(qǐng)輸桌入二魔個(gè)參香量：(a趣,b惱,c癥)"!r親ea源d(男*,樂(lè)*)戰(zhàn)a,艷b,肌ca=榆2.攻d0b=古2.煩d0c=習(xí)2.貫0do晉u惜=1浸,3邁,0鄙.1do宣j或=1身,3缸60進(jìn),5x=替a*違si哪nh云(u拼)*竄co命s(凳fa沒(méi)i)y=弄b*別si躬nh絨(u旬)*災(zāi)si顆n(毯fa遍i)z=糕c*找co殿sh底(u咽)wr稱(chēng)it徒e(兼10聞,1羨1)您x,桂y,伸zen城d隱doen舊d娘doc=女-2do塔u腫=1摩,3核,0期.1do和j殲=1靈,3歸60亞,5x=款a*混si將nh智(u核)*藏co伏s(未fa徑i)y=多b*刪si碌nh承(u菌)*鉤si沫n(予fa挑i)z=簡(jiǎn)c*馬co飲sh爆(u出)wr折it鑒e(賞10犯,1銜1)闖x,且y,收zen籌d夕doen孩d筑do11逗f錯(cuò)or褲ma惑t(庸1x簡(jiǎn),3志(f影9.滋5,雜5x國(guó)))En訂d20梨23部/6桑/2冶740二、艇旋轉(zhuǎn)含曲面將xo村z平面抹上的際曲線§曲面愉舉例繞z軸旋謙轉(zhuǎn)一標(biāo)周，貿(mào)該曲億線掃它過(guò)的窯軌跡粗為旋煩轉(zhuǎn)曲閃面其參郵數(shù)方糞程為因?yàn)椤?.拘2三維竿空間牌中的難曲面20妨23徒/6刊/2奴741一、孕曲面勾第一臨基本授形式設(shè)C：§1.蛇3曲面叉的第滋一二拆基本浩形式為曲際面上蛋一條垃曲線賣(mài)，橋即若用s表示C的弧付長(zhǎng)，宿則則曲面倍第一正基本宣形式它們夠是曲熔面上帳點(diǎn)的總函數(shù)昨?qū)o壺定點(diǎn)旗為常潔數(shù)。殃但與耐曲面姿參數(shù)鴨選取尖有關(guān)脂。第一洗基本慶量§1.克3曲面勁的基剃本形主式20饒23踢/6體/2杏7421)計(jì)算脆弧長(zhǎng)§1.投3曲面培的第兵一二某基本叫形式P為曲候面上命任一歇點(diǎn)，2)確定吼曲面地上兩會(huì)曲線破的夾冒角PC2C1二、曲面第一基本形式的應(yīng)用曲面舅上相孔交于P的兩灶條曲什線切筒向量悶分別達(dá)為則C1,C2在P點(diǎn)處辣的夾懼角為§1.狼3曲面賤的基號(hào)本形艇式20亡23霧/6窩/2縱743§1.仆3曲面融的第扯一二禽基本闊形式二、撒曲面強(qiáng)第一潔基本熱形式吸的應(yīng)堂用曲線C1,C2在P點(diǎn)處地正交教的充拖要條絹件為如果丸曲線C1,C2分別緩為曲斬面上盞的u曲線拔和v曲線起，則為兩克參數(shù)疊曲線排夾角謊的公悉式。3)確定厘曲面略塊的牧面積設(shè)給凈定曲職面曲面殺塊的烤面積證為§1.痕3曲面固的基拔本形獵式20慎23限/6劈燕/2篩744§1.酸3曲面翼的第宿一二倘基本漁形式例7寫(xiě)出爸平面腰、旋懷轉(zhuǎn)曲恥面的握第一詠基本漿形式揪。解：估對(duì)平稼面第一笨基本念形式怎為對(duì)旋窯轉(zhuǎn)面第一完基本銅形式侄為§1.盡3曲面尊的基竄本形摸式20尤23成/6爆/2組745§1.積3曲面擦的第爭(zhēng)一二飾基本殃形式曲面棍的第鑼二基刮本形君式L,衰M,未N是曲觸面上境點(diǎn)的臺(tái)函數(shù)蹄。在班給定銀點(diǎn)是蔑常數(shù)阻。但咳與參數(shù)京的選擊取有方關(guān)。三、論曲面陵第二叉基本基形式§1.虎3曲面河的基算本形權(quán)式20朱23避/6濟(jì)/2瓦746§1.仔3曲面和的第套一二崇基本去形式例8求旋美轉(zhuǎn)曲乒面的棉第二喉基本秀量。解：故第事二基遇本量氣為對(duì)旋和轉(zhuǎn)面因?yàn)椤?.苦3曲面扔的基鵝本形紐奉式20椅23壞/6漆/2叫747§1.鵲4曲面車(chē)的曲弦率§1.毯4曲面贏的曲助率對(duì)給瞞定點(diǎn)聯(lián)，Ⅰ、Ⅱ?yàn)橐言鲋Ｇ€日的曲購(gòu)率k僅取趕決于潛它在P點(diǎn)的砌切線敏方向滿（du：dv）及曲線彈的主憑法線臣與曲揮面法晝線的作夾角貝。設(shè)P(u,約v)是曲坦面上滋一給滔定點(diǎn)以。C是該熄曲面甩上過(guò)P點(diǎn)的概任一賓曲線宏。C在P點(diǎn)的史切矢倘量和自曲率跟矢量愛(ài)為一、戀曲面距上曲隙線的午曲率設(shè)是曲面在P點(diǎn)的法向量，則在方向上的投影為20那23攤/6銷(xiāo)/2歲748§1.冒4曲面繁的曲碗率考慮裹曲面嚼經(jīng)過(guò)P點(diǎn)沿肅某固孫定切夢(mèng)線方枝向的股曲線削的曲膏率。把曲唯面上謙曲線攻在某史點(diǎn)的疏曲率敞矢在曠曲面卸法向客量上拾的投亂影稱(chēng)惠為曲線暫在該繳點(diǎn)的法曲曲率若用削曲線C的密否切面窩去截讓曲面幫，則厲截線聾是一披平面災(zāi)曲線閉，由于殖曲面祖上過(guò)系給定倆點(diǎn)的剝?nèi)我庥軆蓷l肯曲線渴只要栽在該選點(diǎn)具惕有相同錄的切荒線方撕向和渾主法淡線方福向，續(xù)則曲喜率相湊同，廉因此像該曲線脆與曲戲線C曲率刃相同租，即研龜究曲面低上的妨曲率可轉(zhuǎn)稍化為子研究平面?zhèn)闱€例的曲虎率。二、倉(cāng)曲面遇的法分曲率也稱(chēng)廳為曲蜜面沿秘方向du：dv的法曲會(huì)率§1.航4曲面苦的曲秋率20舒23守/6殘/2限749§1.持4曲面重的曲減率曲面綠上給置定點(diǎn)禾處的耕法曲徹率一美般與du：dv有關(guān)芝。定義：如秧果曲掌面上音某點(diǎn)配沿各辣個(gè)方葉向的界法曲好率均妨相等剩，則稱(chēng)按此點(diǎn)鋤為臍點(diǎn)。三、杯主曲邪率和王主方妖向曲面陰上某戲點(diǎn)為袍臍點(diǎn)傘的充要?jiǎng)t條件是曲旋面在技該點(diǎn)鏈處的炊第一刑、二婚基本耕量成疾比例京。定義：對(duì)蔥于曲浴面上靜的非螺臍點(diǎn)夜，稱(chēng)徹法曲勾率的怠極值揭為曲考面在窄該點(diǎn)的主曲帆率。是塵法曲索率取允極值爪的方融向稱(chēng)侄為主方才向。對(duì)于頭臍點(diǎn)尿，一溪切方躲向共幣同的快法曲合率可所以稱(chēng)濃為主纖曲率剃，任看一方向賤可視舉為主聚方向疫。§1.畏4曲面電的曲沉率20慌23隱/6盛/2次750§1.籠4曲面裹的曲賴(lài)率定理2：曲脆面上默兩個(gè)半非臍暮點(diǎn)的非主方流向是西正交哪的。定理1：對(duì)于遍曲面萌上的灶非臍捕點(diǎn)，綠有兩萌個(gè)主厚曲率傭，兩敬個(gè)主頂方向群。如果具曲面房誠(chéng)上某灶條曲芝線，易它的冷每一稠點(diǎn)的扇切線照方向北都是摧曲面化在該點(diǎn)的餡一個(gè)院主方湯向，漠則稱(chēng)出這條喇曲線惠為曲率慶線。證明：F=熄M=近0是參哈數(shù)曲尋線為配曲率公線的場(chǎng)充分跡必要稿條件轉(zhuǎn)。若參溉數(shù)曲苦線是種曲率原線，男則四、獅曲率豎線應(yīng)滿穿足曲甚率線泛方程由于逼曲率回線正且交，鐮而參律數(shù)曲側(cè)線又濃是曲再率線配，故F=悶0,從而M=何0反之燦亦可腳得證亮?！?.塘4曲面分的曲綿率20漢23膛/6領(lǐng)/2聞751§1.腥4曲面糕的曲竊率解：例9求曲項(xiàng)面貼上的帶曲率瞇線。所以§1.犁4曲面烈的曲胃率20粒23組/6溪/2船752§1.弟4曲面府的曲購(gòu)率將EF弟GL沒(méi)MN代入董曲率夕線方臥程再用去除陡等式省兩邊飲，得由此刷得或其解鼠代表烘一族惡同心夸圓。代表罵過(guò)原愧點(diǎn)的優(yōu)直線恥族。uv平面內(nèi)上的禽這兩袍族曲法線在筐所討聾論曲菜面上斬的像林就是督曲面摧上的孔曲率薯線原點(diǎn)枝處為撇臍點(diǎn)倘。§1.嶺4曲面幣的曲拼率20灘23里/6耳/2丸753§1.考4曲面尊的曲稼率如果眼選擇伸曲面營(yíng)上的副曲率礙線網(wǎng)癥作為佛新參籠數(shù)的圍參數(shù)幸曲線墳網(wǎng)。航則F=近M=帖0,u曲線籌和v曲線捏均為驅(qū)曲率眾線。母曲面稻上任律一點(diǎn)別的法羽曲率設(shè)k1，k2分別萄對(duì)應(yīng)獻(xiàn)于主稈方向dv＝0和du＝0的主枕曲率爐，則k1＝L/駐Ek2=N草/Gdu:dv方向僅上的區(qū)法曲撲率寫(xiě)澡為矢犯量形脆式即五、代法曲文率隨器方向確的變洽換規(guī)憲律設(shè)此榆方向援與u曲線默切線仔方向訪的夾絞角為§1.笑4曲面棉的曲涼率20士23梳/6史/2該754§1.酷4曲面渴的曲簽率于是己由法娘曲率隙的表坑達(dá)式譜可得上式彎為法跟曲率網(wǎng)隨方達(dá)向變不化的浪公式惜，如寄果k1<k2，則這表頭明主麗曲率涂是法貞曲率掃的最灣大值自和最貫小值灰?！?.卷4曲面臉的曲比率20終23辜/6攀/2郵755§1.候4曲面德的曲心率主曲琴率與穿高斯肯曲率銹與平浸均曲殊率之接間的閘關(guān)系扎為六、撐高斯桃曲率購(gòu)與平望均曲溉率定義：曲高面上陪任一住點(diǎn)的工兩個(gè)刊主曲詠率之蹤蝶積定誼義為該點(diǎn)緒的高斯稿曲率癢。定義：兩痰個(gè)主獻(xiàn)曲率廊的代策數(shù)平憂均值即稱(chēng)為平均賺曲率。分別都用kG和kM表示§1.升4曲面下的曲吸率20盆23桌/6甘/2擠756§1.擋4曲面體的曲濕率根據(jù)吸高斯紹曲率鼠對(duì)曲巷面上闖的點(diǎn)盆進(jìn)行伶分類(lèi)華：1)kG>0花,橢圓岸點(diǎn)兩個(gè)填主曲賀率同是號(hào)。這法截養(yǎng)線朝璃同向顛彎曲志，即乘曲面燙在該霞點(diǎn)鄰金近的悠點(diǎn)位毀于切拔平面冬同側(cè)帶。2)kG<0豈,雙曲掙點(diǎn)兩個(gè)誰(shuí)主曲莖率異強(qiáng)號(hào)。助兩條移法截禮線中批一條鵝朝法慰向量慕方向菊彎曲籌，另精一條和朝法鴉向量甚反方裕向彎果曲。即曲翅面在苗該點(diǎn)鞏附近膨曲面次處于淺切平標(biāo)面的香兩側(cè)兵。3)kG=0拋物自點(diǎn)兩主險(xiǎn)曲率巡壽中至虛少有爐一個(gè)厘為零猜。如果愉另一傷主曲腎率也顫為零劉，這襲樣的匙點(diǎn)為全平點(diǎn)堅(jiān)。如果羊另一趕主曲造率大閣于零離，則友除一割個(gè)方銅向外兇，一些切法瀉截線弟都朝車(chē)切平偷面同找側(cè)彎仍曲。§1.述4曲面循的曲萄率20嘩23衣/6判/2載757§1.伐4曲面垃的曲薦率§1.迎4曲面泊的曲然率例求旋蛾轉(zhuǎn)曲猛面的高斯晶曲率和平均彎曲率。解：20世23鐵/6倍/2侵758§1.譽(yù)4曲面淋的曲球率§1.鑰4曲面歲的曲油率若取xo叨z平面況上最秒初的帥曲線謎為,即取東坐標(biāo)z作為盛最初領(lǐng)的曲線漿的參獻(xiàn)數(shù)，槽則有于是20喝23