第九章 第節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法

第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法1第九章第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值2一、多元函數(shù)的極值

定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有3定理1.(必要條件)函數(shù)在點存在偏導(dǎo)數(shù),證:在點在在據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件取得極值取得極值取得極值且在該點取得極值,則有4說明(1)使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點稱為駐點,但駐點不一定是極值點.例有駐點(0,0)但在該點不取極值(2)偏導(dǎo)數(shù)不存在點也可能是極值點.例在點(0,0)有極大值問題：如何判定一個駐點是否為極值點？5時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)2)當(dāng)3)當(dāng)證明見第九節(jié)(P122).

時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)

時取極大值;

時取極小值.6例1.求函數(shù)解:第一步求駐點.

得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;在點(1,2)處不是極值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)7例1求函數(shù)駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.的極值.8例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)是它們的駐點,并且在(0,0)都有在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值可能為因此z(0,0)不是極值.因此當(dāng)時,為極小值.正負(fù)0在點(0,0)910二.最值數(shù)應(yīng)用猜問題函數(shù)f在閉景域上建連續(xù)函數(shù)f在閉遣域上城可達(dá)伴到最銅值最值蓬可疑盲點駐點邊界賭上的父最值擋點特別：當(dāng)夾區(qū)域狼內(nèi)部妥最值陵存在,且只有確一個極值點P時,則為極小()值為最小()值大大11求最脾值的苦一般妨方法：將函兼數(shù)在D內(nèi)的峽所有后駐點甘處的騙函數(shù)僑值及減在D的邊仁界上命的最姑大值隊和最枝小值扶相互切比較禍，其簽中最搖大者捆即為陸最大種值，繳最小錢者即勸為最負(fù)小值.與一竄元函溪數(shù)相六類似種，我太們可勇以利宇用函欠數(shù)的霜極值狂來求抓函數(shù)叫的最促大值爸和最糕小值.12解如圖,1314例4.水箱納所用吉材料堂的面棋積為令得駐點某廠秋要用股鐵板服做一定個體茶積為2根據(jù)遷實際兆問題暢可知躁最小趁值在吳定義樣域內(nèi)卷應(yīng)存向在,的有子蓋長跟方體你水箱,問當(dāng)逢長、銹寬、萬高各思取怎麗樣的匪尺寸劍時，瀉才能古使用龍料最蝦省？因此雪可斷孝定此唯妙一駐伐點就刻是最辦小值申點.即當(dāng)維長、順寬均趴為,高為時，普水箱是所用煉材料睡最省騰。解:設(shè)水箱長,寬分別為

,

m

,則高為15例5.有一壓寬為24象cm的長農(nóng)方形國鐵板,把它醒折起臭來,解:設(shè)折敗起來化的邊絮長為則斷解面面處積為x24做成扣一個刊斷面期為等落腰梯料形的犬水槽,問怎批樣折狂法才陡能傾角鄉(xiāng)豐為使斷椒面面瞞積最勢大16令解得:由題壓意知,最大興值在告定義箱域內(nèi)蹄達(dá)到,而在仰域內(nèi)止只有一個拐駐點,故為爐所求.17三、士條件障極值極值樓問題無條姨件極憲值:條件獎極值:條件憐極值垮的求徒法:方法1代入研法.求一蘇元函秒數(shù)的無鹽條件姜極值江問題對自著變量斤只有柔定義德域限垃制對自顛變量膽除定嘴義域旨限制物外,還有歉其它麗條件股限制例如,轉(zhuǎn)化18方法惡二.拉格燙朗日類乘數(shù)隊法在條冶件召下,求函處數(shù)北的霸極值.分析:設(shè)條業(yè)件方郵程則問舌題等管價于嗓一元掙函數(shù)極值御點必柳滿足可確聯(lián)定隱常函數(shù)極值儉問題,極值喜點必漫滿足故19引入上輔助出函數(shù)極值徒點必滿刊足輔助皆函數(shù)F稱為軌拉格誘朗日(劃La靜gr策an育ge呆)函數(shù).利用臭拉格仆朗日披函數(shù)符求極捉值的秧方法劃稱為勝拉格貝朗日歐乘數(shù)戴法.20推廣拉格普朗日設(shè)乘數(shù)累法可械推廣破到多著個自彈變量香和多帶個約嫩束條吧件的切情形.設(shè)解方嗽程組可得臥到條愛件極涼值的途可疑段點.例如,求函初數(shù)下的貝極值.在條議件21例6要設(shè)昏計一兔個容著量為聾的長掙方體底開口削水箱,試問筍水箱長饑、寬版、高砌等于知多少抓時所析用材朵料最起省？使則問題為求令解方繳程組得由題顫意可夸知合渠理的丘設(shè)計看是存息在的,長、蜂寬為怒高的2倍時輪，所絮用材超料最佳省。解:設(shè)分別表示長、寬、高,下水差箱表基面積最小.在條轎件因此,當(dāng)高各為22解則23例8.求旋轉(zhuǎn)煩拋物川面與平極面之間鋪的最稍短距完離.解：設(shè)為拋物沖面上任獸一點情，則P的距離競為問題釣歸結(jié)宏為約束役條件:目標(biāo)臟函數(shù):作拉氏牙函數(shù)到平劫面24令解此方程釘組得誼唯一賢駐點由實校際意暮義最院小值蟲存在,故25試在乓橢圓解答沃提示:例9則已知平面上兩定點

,

,圓周上求一點,使面積

最大.設(shè)點坐標(biāo)為,26設(shè)拉純格朗肚日函龍數(shù)解方茫程組得駐技點對應(yīng)雕面積而面積指最大.比較可知,點與

重合時,三角形27內(nèi)容槳小結(jié)1.函數(shù)成的極餃值問枯題第一盞步較利喇用必栽要條么件在縣定義躲域內(nèi)惰找駐多點.即解末方程梅組第二謝步欠利湯用充返分條稱件判別疲駐點雞是否幻玉為極倘值點.2.函數(shù)少的條撞件極批值問盲題(1蹤蝶)簡單推問題部用代搜入法如對始二元黨函數(shù)(2架)一般削問題法用拉隔格朗方日乘捆數(shù)法28設(shè)拉互格朗需日函莖數(shù)如求還二元慶函數(shù)下的下極值,解方腔程組第二警步爭判脊別?比較塑駐點導(dǎo)及邊滔界點雹上函充