第五章 時變電磁場 陳俊

第六章時變電磁場6.1法拉第電磁感應(yīng)定律6.2位移電流6.3麥克斯韋方程組6.4不同介質(zhì)分界面上的邊界條件6.5正弦電磁波6.6波動方程、功率流、坡因亭主要內(nèi)容位移電流，麥克斯韋方程，邊界條件，正弦電磁場。電場、磁場矢量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且是時間的函數(shù)，這樣的場稱為時變電磁場。在時變電磁場中，電場與磁場互相依存、互相制約，已不可能如前面三種靜態(tài)場那樣分別進行研究，而必須在一起進行統(tǒng)一研究。6.1法拉第電磁感應(yīng)定律

由物理學(xué)知，穿過閉合線圈中的磁通發(fā)生變化時，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢e為

式中電動勢e的正方向規(guī)定為與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。因此，當(dāng)磁通增加時，感應(yīng)電動勢的實際方向與磁通方向構(gòu)成左旋關(guān)系；反之，當(dāng)磁通減少時，電動勢的實際方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。

感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應(yīng)磁通又稱為反磁通。

感應(yīng)電流產(chǎn)生意味著導(dǎo)線中存在電場，這種電場稱為感應(yīng)電場，以E表示。感應(yīng)電場強度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應(yīng)電動勢，即又知，得上式稱為電磁感應(yīng)定律，它表明穿過線圈中的磁場變化時，導(dǎo)線中產(chǎn)生感應(yīng)電場。它表明，時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。

eI根據(jù)斯托克斯定理，由上式得

由于該式對于任一回路面積S均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此式為電磁感應(yīng)定律的微分形式。它表明某點磁感應(yīng)強度的時間變化率負值等于該點時變電場強度的旋度。

電磁感應(yīng)定律是時變電磁場的基本定律之一，也是下面將要介紹的描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中方程之一。

例題計算感應(yīng)電動勢書P1496.2位移電流

位移電流不是電荷的運動，而是一種人為定義的概念。對于靜態(tài)場，由于電荷分布與時間無關(guān)，因此獲得電流連續(xù)性原理，即 電荷守恒原理表明

對于時變電磁場，因電荷隨時間變化，不可能根據(jù)電荷守恒原理推出電流連續(xù)性原理。但是電流連續(xù)是客觀存在的物理現(xiàn)象，為此必須擴充前述的電流概念。靜電場的高斯定律同樣適用于時變電場。則

不是由電子運動形成的傳導(dǎo)電流或運流電流，而是人為定義的位移電流。真空電容器中通過的時變電流是什么？顯然，上式中具有電流密度量綱?？傻媚敲?，求得

英圍物理學(xué)家麥克斯韋將稱為位移電流密度，以Jd表示，即

引入位移電流以后，時變電流仍然是連續(xù)的。由于此時包括了傳導(dǎo)電流，運流電流及位移電流，因此，上式稱為全電流連續(xù)性原理。

由定義可見，位移電流密度是電通密度的時間變化率，或者說是電場的時間變化率。在靜電場中，由于，自然不存在位移電流。

在時變電場中，電場變化愈快，產(chǎn)生的位移電流密度也愈大。在電導(dǎo)率較低的媒質(zhì)中，在良導(dǎo)體中，

在時變電場中，由于位移電流存在，麥克斯韋認為位移電流也可產(chǎn)生磁場，因此前述的安培環(huán)路定律變?yōu)榧瓷蟽墒椒Q為全電流定律。它表明，時變磁場是由傳導(dǎo)電流，運流電流以及位移電流共同產(chǎn)生的。

已知位移電流是由時變電場形成的，由此可見，時變電場可以產(chǎn)生時變磁場。

電磁感應(yīng)定律表明，時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。因此，麥克斯韋引入位移電流概念以后，預(yù)見時變電場與時變磁場相互轉(zhuǎn)化的特性可能會在空間形成電磁波。6.遭3犬麥脆克斯吼韋方希程靜態(tài)廈場中雅的高斯篇定理及磁通棍連續(xù)分性原以理對于訪時變廢電磁竟場仍然勒成立頁。那么漠，對食于時望變電大磁場漁，麥推克斯魔韋歸稈納為慮四個尖方程拘，其靠積分衰形式與和微膝分形溝式分跟別如踏下：積分形式微分形式全電這流定可律電磁浮感應(yīng)思定律磁通維連續(xù)萬性原偵理高斯葉定律可見鍛，時栽變電場是有旋媽有散研的，時攜變磁場是有旋久無散末的。但講是，旋時變腥電磁卻場中烤的電軟場與泊磁場會是不可銳分割的，告因此視，時按變電舉磁場是有驗旋有鐮散場。積分形式微分形式在電助荷及屯電流睜均不組存在佳的無源違區(qū)中，淘時變越電磁交場是有旋斑無散的。電場躁線與同磁場壺線相互及交鏈，自行禽閉合，從柜而在甲空間使形成電磁嶼波。時變電場的方船向與懲時變磁場的方控向處擱處相互筒垂直。為了完整地描攤述時俊變電浪磁場染的特界性，哄麥克膨斯韋仇方程照還應(yīng)炮包括電荷棉守恒方程吩以及沒說明場量與媒質(zhì)特性繭關(guān)系塘的方欣程，菌即麥克順?biāo)鬼f勞方程魄組中缸各個餓方程不是完全炎獨立遍的。纖可以恥由第1、2方程惹導(dǎo)出釀第3、4方程黨，或旅反之脅。對于踩不隨慶時間脈變化頂?shù)撵o蝕態(tài)場涂，則那么扣，上宿述麥錫克斯瘡韋方閃程變趙為前秀述的央靜電累場方哄程和層恒定儀磁場勢方程盟，電場與磁場不再揮相關(guān)票，彼此品獨立。（例霜題板里書）式中代表產(chǎn)生時變電磁場的電流源或非電的外源。在簡抱單的遷形式尊下隱但藏著深奧的內(nèi)瘋?cè)?，楚這些燒內(nèi)容緞只有仔細的研咽究才售能顯春示出硬來，抵方程呢是表巷示場反的結(jié)構(gòu)的定摘律?？克粙上衽＜夘D定擠律那端樣，宿把此罷處發(fā)叢生的惜事件目與彼豬處的室條件憂聯(lián)系券起來塑，而庭是把此處的現(xiàn)在的場粱只與資最鄰近的剛過去的場江發(fā)生算聯(lián)系赤。愛因柏斯坦危（1壺87渣9-抱19東55掌）在杯他所沫著的撞“物理腐學(xué)演飾變”一希書中莊關(guān)于筍麥克樓斯韋都方程蘇的一備段評烈述：?！笆葸@個蟻方程洋的提父出是楚牛頓吃時代喝以來膜物理書學(xué)上渠的一秤個重要零事件，它輛是關(guān)惰于場葬的定量數(shù)學(xué)猴描述六，方偉程所翅包含腥的意告義比涌我們釀指出文的要轉(zhuǎn)豐富吹得多絨。假使粥我們叼已知此處的現(xiàn)在所發(fā)舞生的奶事件炸，藉鍛助這丘些方堤程便看可預(yù)測在空間稍為秀遠一液些，杰在時間上稍冤為遲端一些悟所發(fā)氧生的謎事件豬”。處于駱信息縫時代酷的今市天，乘從嬰需兒監(jiān)控器到駕各種遙控設(shè)備必、從雷達到微波仇爐、從地面廣播縱電視狀到太空衡衛(wèi)星廣播標(biāo)電視偷、從陰地面移動通信扒到宇滔宙星際通信既、從思室外無線局域豬網(wǎng)到率室內(nèi)藍牙技術(shù)擱、以裳及全球晶衛(wèi)星錫定位盯導(dǎo)航欄系統(tǒng)等，主無不黎利用電磁陷波作為傳播踢媒體。無線信息爽高速易公路籍更使建人們重能在任何躲地點、任何豈時間同任何僅人取得抗聯(lián)系壺，發(fā)脫送所午需的莫文本武、聲押音或酷圖象憲信息凈。電碗磁波跨的傳住播還謀能制勸造一據(jù)種身著在遠蛇方的欠感覺程，形詳成無累線虛擬銹現(xiàn)實。電磁允波獲為得如歇此廣醫(yī)泛的瞎應(yīng)用希，更組使我蠻們深鄰刻地任體會露到1依9世撐紀的項麥克佩斯韋惰和赫差茲對酬于人安類文明和進步的偉芬大貢褲獻。6.息4割時兼變電磁鞋場的野邊界蹲條件適合靜態(tài)場的距各種份邊界腎條件原則北上可以桌直接竟推廣殊到時變電磁賣場。第一旋，在任何邊界宴上電場訊強度的切向分量象是連暮續(xù)的，即因為框只要磁感工應(yīng)強旋度的時間艦變化汗率是有限的，鴉那么孔由電撕磁感憤應(yīng)定驕律的伍積分濁形式或?qū)懗墒噶啃问?/p>

即可尚獲得絹上面殃結(jié)果膝。對于各向同性的線性媒質(zhì)，上式又可寫為

①②en第二榆,在任何邊界搞上，磁感只應(yīng)強購度的法向分量菊是連矩續(xù)的威。由磁顫通連杰續(xù)性可原理耍，即裁可證糊明或?qū)懗墒噶啃问?/p>

第三你，電氣通密月度的法向分量鑒邊界兩條件槐與媒質(zhì)特性迫有關(guān)曠。在一般情況獅下，悉由高凱斯定血律求壯得或?qū)懗墒噶啃问?/p>

式中s為邊頸界表堅面上自由采電荷的面粱密度殲。對于各向同性的線性媒質(zhì)，上式又可表示為對于養(yǎng)兩種理想離介質(zhì)形成督的邊陵界，茫由于嶼不可功能存蠢在表面自由旦電荷究，因雖此可見支，兩種理想介質(zhì)邊形成耀的邊較界上，電通稠密度膛的法赤向分咬量是連續(xù)的。第四巷，磁場嗽強度躁的切坑向分柔量邊轎界條但件也愛與媒漸質(zhì)特泄性有牲關(guān)。在一續(xù)般情待況下肌，由隆于邊當(dāng)界上超不可歷能存?zhèn)仍诒砻媸犭娏?，根梅?jù)全鉛電流夠定律擾，只悼要電啟通密隙度的蔬時間將變化岡率是信有限薄的，開可得或?qū)懗墒噶啃问?/p>

在理爬想導(dǎo)秩電體婦表面速上可判以形語成表幕面電賴流，胸此時落磁場弟強度網(wǎng)的切趨向分棍量是戚不連遣續(xù)的誦。對于各向同性的線性介質(zhì)，上式又可寫為在理想綿導(dǎo)電引體內(nèi)嬌部不可跳能存鼻在時變尼電磁茶場及時變鍋的傳刷導(dǎo)電默流，它澤們只叉可能哲分布賭在理貝想導(dǎo)尤電體敞的表面。已知窗在任何邊界觀上，電場強度啞的切向分量森及磁感孟應(yīng)強度母的法向分量壇是連遲續(xù)的鑼，因返此理忌想導(dǎo)喜體表田面上酬不可念能存銷在電場慢切向分量占及磁場前法向分量啄，即時變知電場必須垂直于理鏈想導(dǎo)訪電體棒的表亡面，庸而時榴變磁場必須多與其濕表面相切。器糕E(t),B(t),J(t)=犬0E≠趕0J=E疑H≠墾0E≠喉0J≠確0H≠格0因，由前式得

或由于察理想貍導(dǎo)電堂體表姓面存饒在表面?zhèn)€電流Js，設(shè)取表面汁電流妄密度駐的方魚向與東積分秒回路處構(gòu)成沾右旋憂關(guān)系重，因虧，飾求得或EH,

enet①②H1tH2tJS例題玻書光P1斑46例已知腳內(nèi)截給面為ab的矩濕形金朝屬波兩導(dǎo)中可的時平變電報磁場捏的各保分量鵝為其坐懲標(biāo)如借圖示袍。試值求波捕導(dǎo)中終的位淋移電表流分炭布和艘波導(dǎo)守內(nèi)壁漆上的險電荷撕及電妖流分需布。管波導(dǎo)膨內(nèi)部甩為真連空。azyxbxzyxyzgba磁場線電場線解①由前怪式求硬得位置移電磨流為②在y=樣0的內(nèi)株壁上在y=b的內(nèi)賀壁上在x=0的側(cè)壁上，在x=a

的側(cè)壁上，在x=0及x=a

的側(cè)壁上，因，所以。zyx內(nèi)壁電流6.巷5籠正因弦電籍磁場一種財特殊包的時變變電饒磁場潮，其海場強影的方向與時階間無受關(guān)，簽但其極大小療隨時加間的描變化首規(guī)律佛為正弦陣函數(shù)，即式中Em(r)陰僅為?？臻g泳函數(shù)炎，它錦是正幫弦時刷間函伯?dāng)?shù)的創(chuàng)振幅際。為角頻乞率。e(r)為正心弦函近數(shù)的初始姥相位。由傅犁里葉單變換寬得知香，任冊一周困期性繩或非鞠周期爺性的序時間黃函數(shù)循在一鑒定條湖件下撒均可帽分解跑為很菌多正礎(chǔ)弦函旺數(shù)之燒和。較因此吉，我憶們著重討論解正弦見電磁圣場是羅具有養(yǎng)實際做意義住的。正弦電磁我場又茅稱為時諧電磁獻場。正弦賺電磁堂場是返由隨時間按正弦變化依的時亡變電荷與電流產(chǎn)生否的。鑒雖然念場的刊變化階落后襪于源動，但氏是場與源隨時釀間的編變化約規(guī)律澆是相鈔同的園，所快以正助弦電貞磁場題的場和源具有毒相同城的頻發(fā)率。對于外這些相同偶頻率的正紀弦量黨之間禽的運抱算可濤以采勸用復(fù)數(shù)拉方法，即僅須考姜慮正單弦量做的振幅和空間相位彩，而影略去時間相位墊t。那粒么，澡對于嗎電場耽強度厭可用詞一個某與時闖間無旱關(guān)的設(shè)復(fù)矢孤量初表朝示為原來苗的瞬時矢量炊和復(fù)矢量購的關(guān)撲系為無論爪何種就表示預(yù)方法券，復(fù)矢量僅為空間函數(shù)襯，與時間無關(guān)。有的剝書刊部將正碗弦電軋磁場學(xué)表示趣為則瞬時矢量與復(fù)矢量的關(guān)系為只有頻率晚相同的正眼弦量眠之間肺才能轎使用復(fù)矢量利的方光法進兆行運是算。已知正弦電磁厚場的場與源的頻率徒相同，因件此可最用復(fù)矢筋量形式懲表示伸麥克艙斯韋喬方程夸?？紤]越到正之弦時師間函圣數(shù)的白時間列導(dǎo)數(shù)紫為因為錦上式下對于任何攜時刻均成薦立，帖故虛部符號愉可以消去。那么因此，麥克斯韋第一方程可表示為(證明板書)

同理可得以及上述瓣方程漲稱為墨麥克躺斯韋岸方程框的復(fù)數(shù)損形式，式想中各訂量均腎為有效緞值。例已知杜某真澆空區(qū)凈域中漏的時搬變電撲磁場早的電紐奉場瞬搜時值騎為試求緒其磁矮場強躬度的饒復(fù)數(shù)新形式鍛。解根據(jù)毛時變閘電場泰瞬時裕值，寺求得倚其有幅效值餓的復(fù)夕數(shù)形路式為由于電場僅有y分量，且與變量y無關(guān)，即。那么又知麥克梅斯韋云方程爪的復(fù)萌數(shù)形冒式瞬時罵形式(r,t)復(fù)數(shù)歸形式(r)1.投波動飄方程從電侍磁場面基本寨方程稻組推旅導(dǎo)電登磁波腔動方趣程：1）2）因此膽，無焦源區(qū)斬域中挑的E國或H其可以稼通過桶波動愈方程裂得到寇。討論前提：脫離激勵源；6.墊6淹波動葉方程洽、北功率趕流和港坡因過亭矢長量取電別磁場賺基本議方程狼的第退1、劃第2舞方程紗的微寶分形氣式依據(jù)拉矢量踩恒等莖式又得2.死功率掀流與妻坡因裙亭矢鋒量很顯般然，迅上式麥是電任磁場榨的功盒率平牽衡方襖程，渣它的民每一忌項都盾有其地明確褲的物箱理意象義：魚右邊下第一彩項是朵每秒昂電場運能量右和磁庸場能朗量的刮增加壘量，癥第二用項是課變?yōu)楸斫苟鷵軣岬你@功率所，根偷據(jù)能濤量守哭恒，錦等式毀左邊吐的面血積積學(xué)分應(yīng)氏是穿慈過閉瘋合面尊S進送入體既積內(nèi)奏的功襪率。陡通常帝稱之伏為坡固印亭播定理衫，它鞏表示嘗：“空間拳中由玩于媒懲質(zhì)的森熱耗攀和電刑荷運葛動導(dǎo)賊致的誼功率辨損耗應(yīng)，以丙及由弱該空數(shù)間向幻玉外輸桐送的號功率催，由龍單位周時間較內(nèi)場慈能的姑減少分以及荷外源跟所作欲的功臟來補焦償。鏟”包圍V區(qū)域虛內(nèi)對譯上式靠兩端鞠作體曠積分雜：表示致單位蛙時間