解直角三角形

28.2解直角三角形（第3課時(shí)）（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系A(chǔ)BabcC在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到的一些關(guān)系：回顧與思考鉛直線水平線視線視線仰角俯角在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.仰角和俯角回顧與思考指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角,叫做方位角.如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA東西北南方位角例5如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01海里）？解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA合作探究解直角三角形有廣泛的應(yīng)用，解決問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，例如，當(dāng)我們要測(cè)量如圖所示大壩的高度h時(shí)，只要測(cè)出仰角a和大壩的坡面長(zhǎng)度l，就能算出h=lsina，但是，當(dāng)我們要測(cè)量如圖所示的山高h(yuǎn)時(shí)，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，這是由于不能很方便地得到仰角a和山坡長(zhǎng)度l化整為零，積零為整，化曲為直，以直代曲的解決問(wèn)題的策略與測(cè)壩高相比，測(cè)山高的困難在于；壩坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎樣解決這樣的問(wèn)題呢？hhααll拓廣與探究我們?cè)O(shè)法“化曲為直，以直代曲”．我們可以把山坡“化整為零”地劃分為一些小段，圖表示其中一部分小段，劃分小段時(shí)，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出這段坡長(zhǎng)l1，測(cè)出相應(yīng)的仰角a1，這樣就可以算出這段山坡的高度h1=l1sina1.在每小段上，我們都構(gòu)造出直角三角形，利用上面的方法分別算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我們?cè)佟胺e零為整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h(yuǎn).hαl以上解決問(wèn)題中所用的“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的做法，就是高等數(shù)學(xué)中微積分的基本思想，它在數(shù)學(xué)中有重要地位，在今后的學(xué)習(xí)中，你會(huì)更多地了解這方面的內(nèi)容．1.海中有一個(gè)小島A，它的周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏到30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？BADF解：由點(diǎn)A作BD的垂線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設(shè)DF=x,AD=2x則在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)練習(xí)30°60°2.如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：（1）坡角a和β;（2）壩頂寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)（精確到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°例4.海中朋有一就個(gè)小宿島A，它新的周賞圍8海里拋范圍億內(nèi)有六暗礁垃，漁古船跟劈燕蹤魚(yú)挽群由煉西向氏東航腰行，制在B點(diǎn)測(cè)露得小夜島A在北渣偏東60支°方向競(jìng)上，框航行12海里來(lái)到達(dá)D點(diǎn)，膜這時(shí)蹄測(cè)得糞小島A在北劈燕偏東30罷°方向鍛上，爛如果剃漁船粘不改僚變航圾線繼做續(xù)向咽東航縫行，膊有沒(méi)招有觸常礁的矛危險(xiǎn)秀？BADF60餃°1230協(xié)°BADF解：盤(pán)由點(diǎn)A作BD的垂薯線交BD的延獅長(zhǎng)線誤于點(diǎn)F，垂產(chǎn)足為F，∠AF困D=9削0°由題差意圖近示可館知∠DA罷F=3隨0°設(shè)DF=x,AD=2x則在Rt結(jié)△AD倡F中，掃根據(jù)圈勾股忍定理在Rt猛△AB饅F中，解得x=610態(tài).4修>蓄8沒(méi)有蟲(chóng)觸礁院危險(xiǎn)30縫°60詠°在平疤地上店一點(diǎn)C，測(cè)劇得山翼頂A的仰藏角為30犧°，向端山沿橫直線動(dòng)前進(jìn)20米到D處，港再測(cè)書(shū)得山朗頂A的仰瓣角為45史°，求叢山高AB？解：亡根據(jù)孫題意真，得AB⊥BC，∴鐮∠AB貴C＝90狀°∵∠AD房誠(chéng)B＝45頓°，∴AB＝BD∴BC＝CD＋BD＝20＋AB在Rt舞△AB玩C中，訪∠C＝30筋°經(jīng)典剩例題撐賞析1ABCD如圖傭，水易庫(kù)的安橫截跡面是銀梯形伴，壩潑高23璃m，斜減坡AB的坡束高度符，斜漏坡CD的坡跡度i‘=1幕:1冊(cè),求斜擊坡AB的長(zhǎng)息及坡嗎角a和壩暴底寬AD，BC權(quán)=6（精魯確到0.斤1m）解：旦作BE⊥AD，CF⊥AD，垂起足分測(cè)別為E、F，則BE＝23繪m在Rt肥△AB烈C中，∴α=3漸0°∴AB=2DE=4栽6(指m)ABCDαi'=1:1EF經(jīng)典縫例題震賞析2在Rt怖△CF灰D中，∴FD=CF=2慌3(貞m)答：仗斜坡AB長(zhǎng)4忍6m歷，坡荷角α等于葬30°，壩占底寬AD約為揪68灑.8團(tuán)mABCDαi'=1:1EF如圖豬，△AB無(wú)C中，欲∠C＝90沒(méi)°，AB＝10，綁，D是BC上一秩點(diǎn)，是且∠DA碎C＝30蹦°，求BD的長(zhǎng)趕和S△A鵝BD設(shè)AC＝4k，AB＝5k，BC＝3k，5k＝10躁,k=2AC=8沾,BC=6蝕,ABCD經(jīng)典笛例題棉賞析3解：如圖軌，線眠段AB、CD表示應(yīng)甲、工乙兩丟幢樓村的高員．從過(guò)甲樓現(xiàn)底部B處測(cè)暴得乙吩樓頂風(fēng)部C的仰決角是45術(shù)°，從遲乙樓桌頂部C處測(cè)阿得甲相樓頂做部A的俯營(yíng)角是30怖°.已知清甲、撫乙艘兩樓洽間的塔距離BD＝60諸m，求猛甲、義乙兩么樓的疲高（萄精確漿到1m）解:作AE⊥CD，垂出足是E，AE＝BD＝60，ABCDE經(jīng)典挽例題筒賞析4問(wèn)題夕：要想扶使人勾安全池地攀秩上斜筐靠在教墻面供上的舉梯子癢的頂?shù)露?，愉梯子屋與地低面所眉成的晃角a一般才要滿宇足50棍°≤a≤7嚼5°扮.現(xiàn)有簽一個(gè)癥長(zhǎng)6m的梯牲子，像問(wèn)：（1）使鴉用這興個(gè)梯薄子最探高可場(chǎng)以安墨全攀撥上多耽高的倒墻（岡精確繡到0.勻1m）？（2）當(dāng)照梯子殖底端寶距離富墻面2.艙4m時(shí)，我梯子劍與地?zé)裘嫠舫傻膬S角a等于決多少捉（精航確到1°）？賊這時(shí)留人是背否能案夠安頸全使?fàn)T用這拒個(gè)梯裹子？這樣危的問(wèn)護(hù)題怎魚(yú)么解匠決問(wèn)題準(zhǔn)（1）可適以歸籍結(jié)為矮：在Rt儲(chǔ)△AB含C中，晚已知吃∠A＝75律°，斜駝邊AB＝6，求秘∠A的對(duì)桃邊BC的長(zhǎng)蹄．問(wèn)題備（1）當(dāng)警梯子價(jià)與地沃面所漠成的爐角a為75芽°時(shí)，障梯子糾頂端神與地態(tài)面的岡距離鳥(niǎo)是使考用這駐個(gè)梯現(xiàn)子所副能攀廊到的棉最大體高度罷．因此油使用朱這個(gè)卸梯子登能夠程安全琴攀到巷墻面饞的最急大高金度約者是5.蜜8m所以BC≈6錄×0負(fù).9塊7≈騾5.殖8由計(jì)雙算器知求得伶s叛in青75墻°≈星0.巷97由店得ABαC對(duì)于份問(wèn)題烤（2），壞當(dāng)梯寒子底烏端距鳥(niǎo)離墻壯面2.轎4m時(shí)，答求梯悄子與鄭地面固所成邊的角a的問(wèn)鄭題，贏可以戒歸結(jié)此為：朗在Rt飽△AB晴C中，愁已知AC＝2.鐮4，斜涉邊AB＝6，求描銳角a的度氣數(shù)由于利用昏計(jì)算錦器求來(lái)得a≈6想6°因此喬當(dāng)梯警子底墓墻距躁離墻夜面2.化4m時(shí)，更梯子窯與地偷面所成載的角摟大約獅是66封°由50棚°＜66笑°＜75握°可知拒，這傾時(shí)使堡用這毒個(gè)梯稿子是練安全栽的．ABCα歸納利用過(guò)解直梨角三波角形述的知?jiǎng)抛R(shí)解紡決實(shí)誘際問(wèn)坊題的究一般雁過(guò)程利是：（1）將疏實(shí)際