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2015年高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)卷及答案

2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新本試卷)分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試時(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A.5B.4C.3D.22.已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),則向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)3.已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=1+i,則z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i4.如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)。從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.3/11B.1/5C.1/2D.2/55.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為2,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y^2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=()A.3B.6C.9D.126.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則a10=()A.17B.19C.10D.128.函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.(13kπ-,13kπ+),k∈ZB.(44kπ-,44kπ+),k∈ZC.(13k-,13k+),k∈ZD.(44k-,44k+),k∈Z9.執(zhí)行下面所示的程序框圖,如果輸入的t=0.01,則輸出的n=()x-1||||||||||Vn:=1s:=1repeatn:=n+1s:=s*x/nuntils<twrite(n)A.5B.6C.7D.810.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}-\log_2(x+1),&x>1\\-7531/4444,&x\leq1\end{cases}$,且$f(a)=-3$,則$f(6-a)=\boxed{\text{B}}$。11.省略。13.在數(shù)列$\{a_n\}$中,$a_1=2$,$a_{n+1}=2a_n$,$S_n$為$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和。若$S_n=126$,則$n=\boxed{6}$。14.已知函數(shù)$f(x)=ax^3+x+1$的圖像在點(diǎn)$(1,f(1))$處的切線過點(diǎn)$(2,7)$,則$a=\boxed{2}$。15.若$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}x-2y+1\leq0\\2x-y+2\geq0\end{cases}$,則$z=3x+y$的最大值為$\boxed{8}$。16.已知$F$是雙曲線$x^2-y^2=1$的右焦點(diǎn),$P$是$C$的左支上一點(diǎn),$A(0,66)$。當(dāng)$\triangleAPF$周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為$\boxed{132}$。17.(1)設(shè)$\angleA=\alpha$,則$\angleB=\alpha$,$\angleC=180^\circ-2\alpha$。由正弦定理得:\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin(180^\circ-2\alpha)}=\frac{c}{\sin2\alpha}=2R,\]其中$R$為$\triangleABC$的外接圓半徑。又因?yàn)?a=b$,所以$c=2a\sin\alpha$,代入上式得$\sin2\alpha=\frac{c}{2R}=2\sin\alpha$,即$\sin\alpha=\frac{1}{2}$。因?yàn)?0<\alpha<90^\circ$,所以$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,即$\cosB=\cos\alpha=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$。(2)當(dāng)$B=90^\circ$時(shí),$a^2+c^2=b^2$,即$5a^2=4R^2$。又因?yàn)?S_{\triangleABC}=ac/2$,所以$S_{\triangleABC}=2a^2/\sqrt{5}$。因?yàn)?\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(A+90^\circ)=\cosA$,所以$S_{\triangleABC}=ac\cosA/2=2a^2\cosA/\sqrt{5}$。聯(lián)立兩式得$\cosA=\frac{\sqrt{5}}{4}$,$S_{\triangleABC}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,所以$\boxed{S_{\triangleABC}=\frac{3\sqrt{5}}{2}}$。18.(1)因?yàn)?ABCD$是菱形,所以$AC\perpBD$。設(shè)$H=AE\capBD$,則$\triangleAHE\sim\triangleBGE$,所以$\frac{HE}{BG}=\frac{AE}{BE}$。又因?yàn)?\triangleAEC\sim\triangleBED$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{EC}{BD}$。聯(lián)立兩式得$\frac{HE}{BG}=\frac{EC}{BD}$,即$HE\cdotBD=BG\cdotEC$。又因?yàn)?BD=BG+GD=BG+CE$,所以$HE\cdot(BG+CE)=BG\cdotEC$,即$HE\cdotBG=BG\cdotEC$。因?yàn)?BG\neq0$,所以$HE=EC$,即$AE\perpEC$。同理可得$BE\perpEC$,所以$AEC\perpBED$。(2)如圖,設(shè)$\angleABC=\theta$,則$\angleABE=60^\circ-\theta/2$,$\angleAEB=120^\circ-\theta/2$。因?yàn)?\triangleABE$是等邊三角形,所以$BE=AB=BC$。設(shè)$BE=x$,則$AE=x\sqrt{3}$,$CE=2x$,$DE=2x\sin\theta$,$DG=2x\sin\frac{\theta}{2}$,$AG=2x\sin\frac{\theta}{2}$,$CG=x(2+\sqrt{3})$。因?yàn)?E$在平面$ABCD$上,所以$AE+DE+CE=2x\sqrt{3}+2x\sin\theta+x(2+\sqrt{3})=2w$。因?yàn)?DG+CG=2x\sin\frac{\theta}{2}+x(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}x$,所以$x=\frac{2w}{2+\sqrt{3}+2\sin\theta}$。因?yàn)?S_{\triangleABE}=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$,$S_{\triangleEDC}=\frac{1}{2}DE\cdotEC\sin\theta=x^2\sin\theta$,所以$S_{\triangleABE}+S_{\triangleEDC}=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+x^2\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{4w^2}{(2+\sqrt{3}+2\sin\theta)^2}+\frac{2w^2\sin\theta}{2+\sqrt{3}+2\sin\theta}=\frac{w^2}{2+\sqrt{3}+2\sin\theta}$。因?yàn)?\sin\theta$取遍$[0,60^\circ]$時(shí)取到最大值,所以$S_{\triangleABE}+S_{\triangleEDC}$取到最大值,即$\triangleEACD$的側(cè)面積最大。此時(shí)$\triangleEACD$為正三角形,所以$\triangleEACD$的側(cè)面積為$\boxed{\frac{3\sqrt{3}}{4}w^2}$。19.設(shè)年宣傳費(fèi)、年銷售量、年利潤(rùn)的平均值分別為$\overline{x}$、$\overline{y}$、$\overline{z}$,相關(guān)系數(shù)為$r_{xy}$、$r_{xz}$、$r_{yz}$,則有以下公式:\[\begin{aligned}b_{xy}&=r_{xy}\frac{s_y}{s_x},\quadb_{xz}=r_{xz}\frac{s_z}{s_x},\quadb_{yz}=r_{yz}\frac{s_z}{s_y},\\a&=\overline{z}-b_{xy}\overline{y}-b_{xz}\overline{x},\quadR^2=r_{yz}^2=\frac{b_{yz}^2s_y^2}{s_z^2},\quads^2=1-\frac{r^2}{n-1}.\end{aligned}\]其中$b_{xy}$、$b_{xz}$、$b_{yz}$分別為$y$對(duì)$x$、$z$對(duì)$x$、$z$對(duì)$y$的回歸系數(shù),$a$是截距,$R^2$是相關(guān)系數(shù)平方,$s^2$是樣本方差。代入數(shù)據(jù)得:\[\begin{aligned}b_{xy}&=\frac{r_{xy}s_y}{s_x}=\frac{0.873\times10.83}{8.366}=1.135,\\b_{xz}&=\frac{r_{xz}s_z}{s_x}=\frac{0.973\times5.185}{8.366}=0.601,\\b_{yz}&=\frac{r_{yz}s_z}{s_y}=\frac{0.971\times5.185}{10.83}=0.462,\\a&=\overline{z}-b_{xy}\overline{y}-b_{xz}\overline{x}=27.5-1.135\times7.062-0.601\times5.825=14.8,\\R^2&=r_{yz}^2=\frac{b_{yz}^2s_y^2}{s_z^2}=\frac{0.462^2\times10.83^2}{5.185^2}=0.831,\\s^2&=1-\frac{r^2}{n-1}=1-\frac{0.873^2+0.973^2+0.971^2}{8-1}=0.113.\end{aligned}\]因?yàn)?R^2=0.831$,所以$83.1\%$的銷售量變化可以由宣傳費(fèi)和利潤(rùn)的變化解釋。因?yàn)?b_{yz}<1$,所以宣傳費(fèi)和利潤(rùn)對(duì)銷售量的影響是正相關(guān)的,但是宣傳費(fèi)的影響更大。當(dāng)$x=80$時(shí),預(yù)測(cè)的銷售量為$y=14.8+1.135\times(80-46.6)+0.601\times(w-6.8)=\boxed{57.3}$。根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,無法確定哪個(gè)方程適合作為關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型。根據(jù)數(shù)據(jù),可以使用最小二乘法建立y關(guān)于x的回歸方程為:y=0.8x+23.4。當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時(shí),預(yù)測(cè)年銷售量為59.8,預(yù)測(cè)年利潤(rùn)為7.96。年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值最大時(shí),年宣傳費(fèi)x為34.5。(1)k的取值范圍為k∈[-2,2]。(2)根據(jù)余弦定理,|MN|=√(OM2+ON2-2OM·ONcos∠MON),代入OM·ON=12和OM=ON=√(10)可得|MN|=2√(7)。(1)C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2secθ,C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ。(2)由于C2與C3的交點(diǎn)在第二象限,且C3的極坐標(biāo)方程中θ為銳角,因此C3的極坐標(biāo)方程為θ=π-α,其中α∈(0,π/2)。代入C2的極坐標(biāo)方程可得交點(diǎn)M為(2cosα+sinα,2sinα-2cosα)。同理,可得交點(diǎn)N為(2cosα-sinα,2sinα+2cosα)。根據(jù)向量叉積的公式,可得△C2MN的面積為4sinα。代入α=π/6可得面積為2。已知函數(shù)$f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0$。(1)當(dāng)$a=1$時(shí),求不等式$f(x)>1$的解集。當(dāng)$x\leq-1$時(shí),$f(x)=-(x+1)-2(x-a)

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