新北師大版9.1基本計數(shù)原理排列與組合學案

第一節(jié)基本計數(shù)原理、排列與組合【考試要求】“類”和“步”，并能利用兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題.3.理解排列、組合的概念及排列數(shù)與組合數(shù)公式，并能用其解決一些簡單的實際問題．1．計數(shù)原理原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理定義完成一件事，可以有n類辦法，在第1類辦法中有m1種方法，在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱“加法原理”)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有N＝m1·m2·…·mn種方法．(也稱“乘法原理”)區(qū)別各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才能做完這件事與組合排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．組合：一般地，從n個不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素為一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．定義從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))．組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素的所有組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))．公式排列數(shù)公式：Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]，組合數(shù)公式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)性質(zhì)Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝n(n－1)(n－2)·…·2·1，記作n！規(guī)定：①Aeq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝1；②0?。?規(guī)定：Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝1；Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))；Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))備注n，m∈N＋，并且m≤nn，m∈N＋，并且m≤n[常用結(jié)論]1．易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)．2．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準確分步．(3)排列、組合混合問題要先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題倍縮法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化．[思考辨析]判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．()(2)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()(4)若組合數(shù)公式Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))，則x＝m成立．()(5)排列定義規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況．也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不再取了．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√[對點查驗]1．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標，縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是()A．12 B．8C．6 D．4C分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×C.2．從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是()A．12 B．24C．64 D．81B4本不同的課外讀物選3本分給3位同學，每人一本，則不同的分配方法種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))B.3．(多選題)已知Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(3))－eq\f(1,2)Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋0?。?，則m的可能取值是()A．0 B．1C．2 D．3CD因為Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(3))－eq\f(1,2)Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋0?。?，所以Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(3))－eq\f(1,2)×6＋1＝4，所以Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(3))＝6，其中m∈N，m≤3，而Aeq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))＝1，Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3，Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6，所以mCD.4．4名考生在三道選做題中任選一道進行做答，則這三道題都有人選做的方法為．答案36解析4個人做三道題目，每題至少一人，則必有一個題目有兩個人做，因此要先將四個人分成三組，然后再排列，方法數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36.5．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法種數(shù)為．答案30解析分兩種情況：(1)A類選修課選1門，B類選修課選2門，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種不同的選法；(2)A類選修課選2門，B類選修課選1門，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種不同的選法．所以不同的選法共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝18＋12＝30(種).考點一基本計數(shù)原理及應(yīng)用1．(2022·北京東城模擬)算盤是中國古代的一項重要發(fā)明，迄今已有2600多年的歷史．現(xiàn)有一算盤，取其兩檔(如圖一)，自右向左分別表示十進制數(shù)的個位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下四珠，上撥一珠記作數(shù)字1(如圖二算盤表示整數(shù)51).若撥動圖一的兩枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為()A．6 B．8C．10 D．15B撥動兩枚算珠可分為以下三類：(1)在個位上撥動兩枚，可表示2個不同整數(shù)．(2)同理在十位上撥動兩枚，可表示2個不同整數(shù)．(3)在個位、十位上分別撥動一枚，由分步乘法計數(shù)原理易得，可表示2×2＝4個不同整數(shù)．所以，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共可表示2＋2＋4＝8個不同整數(shù)．故選B.2．(2022·安徽合肥一中模擬)某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個新節(jié)目需要加進去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有種．()A．165 B．286C．990 D．1716D第一步：10個節(jié)目空出11個位置，加入1個新來的節(jié)目，所以加入一個新節(jié)目有11種方法，第二步：從排好的11個節(jié)目空出的12個位置中，加入第2個新節(jié)目，有12種方法，第三步：從排好的12個節(jié)目空出的13個位置中，加入第3個新節(jié)目，有13種方法，所以由分步乘法計數(shù)原理得，加入3個新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有11×12×13＝1716(種).3.(2022·廣東省深圳市普通中學質(zhì)量評估)現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的五個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．420種 B．780種C．540種 D．480種B依題意可知，完成涂色任務(wù)可以使用5種，4種，或3種顏色，將區(qū)域標號如圖．①若用5種顏色完成涂色，則Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120(種)方法；②若用4種顏色完成涂色，顏色有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))種選法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))×4×Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝480(種)；③若用3種顏色完成涂色，顏色有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種選法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且2，4同色，故有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×3×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝180(種).所以不同的著色方法共有120＋480＋180＝780(種).故選B.4．(2022·上海卷)已知有1、2、3、4四個數(shù)字組成無重復數(shù)字，則比2134大的四位數(shù)的個數(shù)為.答案17解析千位為3和4時，組成的四位數(shù)都比2134大，有2Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝12個，千位為2時，百位為3或4的四位數(shù)都比2134大，有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝4個，千位為2時，百位為1，只有2143比2134大，有1個，則組成的四位數(shù)比2134大的一共有17個．思維升華利用基本計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標準是什么．(4)分類要做到不重不漏．考點二排列問題與組合問題(1)(2022·山東濟寧高二期末)某中學為了更好地培養(yǎng)學生勞動實踐能力，舉辦了一次勞動技術(shù)比賽．根據(jù)預賽成績，最終確定由甲、乙等5名同學進入決賽，決出第1名到第5名的名次．決賽后甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有得到冠軍．”對乙說：“你和甲都不是最差的．”從這兩個回答分析，甲、乙等5人的決賽名次排列情況可能有()A．18種 B．36種C．54種 D．72種C由題意可知，甲既不是第1名，也不是第5名，乙不是第5名，所以甲的名次可能是2，3，4，第5名可能為丙，丁，戊，剩余的三個人全排，即可得到甲、乙等5人的決賽名次的可能情況，即有3×3×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝54(種).故選C.(2)(2022·安徽安慶市第二中學模擬)教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市4所高校的校長計劃拜訪當?shù)氐募?、乙兩家企業(yè)，若每名校長拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有()A．8種 B．10種C．14種 D．20種C分兩種情況，第一種：1家企業(yè)接待1名校長，1家企業(yè)接待3名校長，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8(種)方法；第二種：每家企業(yè)均接待2名校長，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝6(種)方法，所以共有8＋6＝14(種).故選C.(3)(2022·吉林三模)為了保障疫情期間廣大市民基本生活需求，市政府準備了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、蘿卜、黃瓜、土豆八種蔬菜，并從中任選五種，以“蔬菜包”的形式發(fā)給市民．若一個“蔬菜包”中不同時含有土豆和蘿卜，且角瓜、黃瓜、辣椒最多只含有兩種，則可以組成種不同的“蔬菜包”．答案27解析當土豆和蘿卜都不含有時，蔬菜包的種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝3；當土豆和蘿卜中只含有一種時，蔬菜包的種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝2(3×3＋3×1)＝24，所以可以組成不同“蔬菜包”種數(shù)為3＋24＝27.思維升華(1)解排列、組合問題要遵循的兩個原則①按元素(位置)的性質(zhì)進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置).(2)兩類含有附加條件的組合問題的方法①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。凇爸辽佟被颉白疃唷焙袔讉€元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法或間接法都可以求解，用直接法分類復雜時，可用間接法求解．對點強化1(1)(2022·福建泉州市城東中學模擬)2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽市某中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為()A．24 B．48C．144 D．244C根據(jù)題意先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，有4個空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，所以不同的放置方式有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝144(種).故選C.(2)(2022·安徽省五校聯(lián)盟質(zhì)檢)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有1人到會，會上任選3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為()A．15 B．30C．35 D．42B甲企業(yè)有2人，其余5家企業(yè)各有1人，共有7人，所以從7人中任選3人共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))種情況，發(fā)言的3人來自2家企業(yè)的情況有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))種，所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＝30(種).故選B.(3)(2022·陜西綏德中學模擬)從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字中，選出3個組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有個．答案48解析根據(jù)題意，分2種情況討論：①若有0，0不能做首位數(shù)字，且剩下兩位數(shù)字加和為奇數(shù)，則必須為一個奇數(shù)一個偶數(shù)組合，此時從5個數(shù)字中選擇一個奇數(shù)一個偶數(shù)與0組成三位數(shù)，共有2×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝24個；②若沒0，則分為兩個偶數(shù)與一個奇數(shù)組合，或三個奇數(shù)組合，兩個偶數(shù)一個奇數(shù)組成三位數(shù)有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝18，三個奇數(shù)組成三位數(shù)有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6，此時共有6＋18＝24個；由分類加法計數(shù)原理可得共有48個．考點三排列組合的綜合問題命題點1相鄰與相間問題(1)(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種B因為丙、丁要在一起，先把丙、丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙、丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：3！×2×2＝24(種)不同的排列方式．故選B.(2)(2022·河南模擬)某晚會上需要安排4個歌舞類節(jié)目和2個語言類節(jié)目的演出順序，要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為()A．72 B．96C．120 D．144D第一步：全排列2個語言類的節(jié)目，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種情況，第二步：從4個歌舞類節(jié)目中選出2個節(jié)目放入2個語言類的節(jié)目之間，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種情況，第三步：再將排好的4個節(jié)目視為一個整體，與其余的兩個歌舞節(jié)目全排列，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種情況，所以N＝Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))D.命題點2分組、分配問題數(shù)學活動小組由12名同學組成，現(xiàn)將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有()A．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種 B．Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))34種C．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))43種 D．Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))43種B法一首先將12名同學平均分成四組，有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))種分法，然后將這四組同學分配到四個不同的課題組，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種分法，并在各組中選出1名組長，有34種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，滿足條件的不同分配方案有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))·34＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))34(種).故選B.法二根據(jù)題意可知，第一組分3名同學有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))種分法，第二組分3名同學有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))種分法，第三組分3名同學有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))種分法，第四組分3名同學有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種分法．第一組選1名組長有3種選法，第二組選1名組長有3種選法，第三組選1名組長有3種選法，第四組選1名組長有3種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，滿足條件的不同分配方案有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))34種．故選B.思維升華(1)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法．(2)對于分堆與分