高中物理解題方法11之9：幾何法（原卷版）

高中物理解題方法之9：幾何法（原卷版）江蘇省特級(jí)教師戴儒京內(nèi)容提要：高考物理學(xué)科能力有一個(gè)是：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力。本文談幾何知識(shí)和方法在物理中的應(yīng)用，包括在力學(xué)和電磁學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：物理能力，數(shù)學(xué)應(yīng)用，幾何知識(shí)，幾何方法。高考大綱（物理）中規(guī)定，高考物理考查的學(xué)科能力有：理解能力推理能力分析綜合能力應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?。?shù)學(xué)知識(shí)，主要有代數(shù)和幾何等幾個(gè)部分，本文談幾何知識(shí)和方法在物理中的應(yīng)用。有一位教科所的物理老師講過(guò)：解物理題就是畫(huà)圖，會(huì)畫(huà)圖就會(huì)解題，不會(huì)畫(huà)圖就不會(huì)解題；畫(huà)圖正確就能解題正確，畫(huà)圖錯(cuò)誤一定解題錯(cuò)誤。此言雖然不太準(zhǔn)確，但也不無(wú)道理。一、相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的幾何關(guān)系例1.如圖所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細(xì)線的一端固定于墻面，另一端跨過(guò)斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上．滑輪左側(cè)的細(xì)線水平，右側(cè)的細(xì)線與斜面平行．A、B的質(zhì)量均為m．撤去固定A的裝置后，A、B均做直線運(yùn)動(dòng)．不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g．求：（1）A固定不動(dòng)時(shí)，A對(duì)B支持力的大小N；（2）A滑動(dòng)的位移為x時(shí)，B的位移大小s；（3）A滑動(dòng)的位移為x時(shí)的速度大小vA.二、力做功中的位移問(wèn)題例2.如圖所示，兩個(gè)半圓柱A、B緊靠著靜置于水平地面上，其上有一光滑圓柱C，三者半徑均為R.C的質(zhì)量為m，A、B的質(zhì)量都為，與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ.現(xiàn)用水平向右的力拉A，使A緩慢移動(dòng)，直至C恰好降到地面.整個(gè)過(guò)程中B保持靜止.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g.求：（1）未拉A時(shí)，C受到B作用力的大小F；（2）動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值μmin；（3）A移動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，拉力做的功W.三、力的合成和分解中的角度問(wèn)題例3.如圖所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度．細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊，另一端繞過(guò)A固定于B．質(zhì)量為m的小球固定在細(xì)線上C點(diǎn)，B、C間的線長(zhǎng)為3l．用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時(shí)BC與水平方向的夾角為53°．松手后，小球運(yùn)動(dòng)到與A、B相同高度時(shí)的速度恰好為零，然后向下運(yùn)動(dòng)．忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：（1）小球受到手的拉力大小F；（2）物塊和小球的質(zhì)量之比M:m；（3）小球向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，物塊M所受的拉力大小T．四、彈力做功與位移的關(guān)系例4.如圖所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端連接一小物塊，O點(diǎn)為彈簧在原長(zhǎng)時(shí)物塊的位置．物塊由A點(diǎn)靜止釋放，沿粗糙程度相同的水平面向右運(yùn)動(dòng)，最遠(yuǎn)到達(dá)B點(diǎn)．在從A到B的過(guò)程中，物塊（A）加速度先減小后增大（B）經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度最大（C）所受彈簧彈力始終做正功（D）所受彈簧彈力做的功等于克服摩擦力做的功五、電場(chǎng)問(wèn)題例1.空間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，在電場(chǎng)中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz，M、N、P為電場(chǎng)中的三個(gè)點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)（0，a，0），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,0,0），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,,）。已知電場(chǎng)方向平行于直線MN，M點(diǎn)電勢(shì)為0，N點(diǎn)電勢(shì)為1V，則P點(diǎn)的電勢(shì)為A.VB.VC.VD.V例2.abc30°勻強(qiáng)電場(chǎng)中有a、b、c三點(diǎn)．在以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°,．電場(chǎng)方向與三角形所在平面平行．已知a、b和c點(diǎn)的電勢(shì)分別為V、V和abc30°A．V、VB．0V、4VC．V、D．0V、V例3.a、b、c、d是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的四個(gè)點(diǎn)，它們正好是一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)。電場(chǎng)線與矩形所在的平面平行。已知a點(diǎn)的電勢(shì)是20V，b點(diǎn)的電勢(shì)是24V，d點(diǎn)的電勢(shì)是4V，如圖。由此可知，c點(diǎn)的電勢(shì)為（）A、4VB、8VC、12VD、24V例4．勻強(qiáng)電場(chǎng)中的三點(diǎn)A、B、C是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度為1，D為AB的中點(diǎn)，如圖所示。已知電場(chǎng)線的方向平行于所在平面，A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為、和，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，一電量為的正電荷從D點(diǎn)移到C點(diǎn)電場(chǎng)力所做的功為，則…（）、、、、例5．圖中A、B、C、D是勻強(qiáng)電場(chǎng)中一正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，已知A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為UA＝15vUB＝3v，UC＝-3V由此可得D點(diǎn)電勢(shì)UD＝________V。例6.（1）靜電場(chǎng)可以用電場(chǎng)線和等勢(shì)面形象描述。a．請(qǐng)根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義和庫(kù)侖定律推導(dǎo)出點(diǎn)電荷Q的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式；b．點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線和等勢(shì)面分布如圖所示，等勢(shì)面S?、S?到點(diǎn)電荷的距離分別為r?、r?。我們知道，電場(chǎng)線的疏密反映了空間區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。請(qǐng)計(jì)算S?、S?上單位面積通過(guò)的電場(chǎng)線條數(shù)之比N1/N2。（2）觀測(cè)宇宙中輻射電磁波的天體，距離越遠(yuǎn)單位面積接收的電磁波功率越小，觀測(cè)越困難。為了收集足夠強(qiáng)的來(lái)自天體的電磁波，增大望遠(yuǎn)鏡口徑是提高天文觀測(cè)能力的一條重要路徑。2016年9月25日，世界上最大的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡FAST在我國(guó)貴州落成啟用，被譽(yù)為“中國(guó)天眼”。FAST直徑為500m，有效提高了人類觀測(cè)宇宙的精度和范圍。a．設(shè)直徑為100m的望遠(yuǎn)鏡能夠接收到的來(lái)自某天體的電磁波功率為P?，計(jì)算FAST能夠接收到的來(lái)自該天體的電磁波功率P?；b．在宇宙大尺度上，天體的空間分布是均勻的，僅以輻射功率為P的同類天體為觀測(cè)對(duì)象，設(shè)直徑為100m望遠(yuǎn)鏡能夠觀測(cè)到的此類天體數(shù)目是N0，計(jì)算FAST能夠觀測(cè)到的此類天體數(shù)目N。電場(chǎng)問(wèn)題小結(jié)：1.已知某些點(diǎn)的電勢(shì)，求另一些（個(gè)）點(diǎn)的電勢(shì)，可考慮用幾何方法，主要是平面幾何方法。2.用幾何方法解物理問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線。3.在用幾何方法解物理問(wèn)題中要重視幾何圖形的物理意義，如電場(chǎng)線和等勢(shì)線或等勢(shì)面。4.沿電場(chǎng)線電勢(shì)降落最陡。5.同一條等勢(shì)線上各點(diǎn)電勢(shì)相等。6.電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直。7.勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線相互平行并距離相等，在電場(chǎng)線上，距離相等，電勢(shì)差也相等；勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)線也相互平行并距離相等的等勢(shì)線間電勢(shì)差相等。六．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例1.【題目】15.（16分）一臺(tái)質(zhì)譜儀的工作原理如圖所示.大量的甲、乙兩種離子飄入電壓力為U0的加速電場(chǎng)，其初速度幾乎為0，經(jīng)過(guò)加速后，通過(guò)寬為L(zhǎng)的狹縫MN沿著與磁場(chǎng)垂直的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，最后打到照相底片上。已知甲、乙兩種離子的電荷量均為+q，質(zhì)量分別為2m和m，圖中虛線為經(jīng)過(guò)狹縫左、右邊界M、N的甲種離子的運(yùn)動(dòng)軌跡.不考慮離子間的相互作用.（1）求甲種離子打在底片上的位置到N點(diǎn)的最小距離x；（2）在答題卡的圖中用斜線標(biāo)出磁場(chǎng)中甲種離子經(jīng)過(guò)的區(qū)域，并求該區(qū)域最窄處的寬度d；（3）若考慮加速電壓有波動(dòng)，在（）到（）之間變化，要使甲、乙兩種離子在底片上沒(méi)有重疊，求狹縫寬度L滿足的條件.例2.如圖所示，真空中四個(gè)相同的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，高為4d，寬為d，中間兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域間隔為2d，中軸線與磁場(chǎng)區(qū)域兩側(cè)相交于O、O′點(diǎn)，各區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等．某粒子質(zhì)量為m、電荷量為+q，從O沿軸線射入磁場(chǎng)．當(dāng)入射速度為v0時(shí)，粒子從O上方處射出磁場(chǎng)．取sin53°=0.8，cos53°=0.6．（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；（2）入射速度為5v0時(shí)，求粒子從O運(yùn)動(dòng)到O′的時(shí)間t；（3）入射速度仍為5v0，通過(guò)沿軸線OO′平移中間兩個(gè)磁場(chǎng)（磁場(chǎng)不重疊），可使粒子從O運(yùn)動(dòng)到O′的時(shí)間增加Δt，求Δt的最大值．例3.如圖，在y>0的區(qū)域存在方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，在y<0的區(qū)域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)氕核11H和一個(gè)氘核21H先后從y軸上y=h點(diǎn)以相同的動(dòng)能射出，速度方向沿x軸正方向。已知11H進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為60°，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O處第一次射出磁場(chǎng)。11H的質(zhì)量為m，電荷量為q不計(jì)重力。求（1）11H第一次進(jìn)入磁場(chǎng)的位置到原點(diǎn)O的距離（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。?）12H第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到原點(diǎn)O的距離例4.一足夠長(zhǎng)的條狀區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其在平面內(nèi)的截面如圖所示：中間是磁場(chǎng)區(qū)域，其邊界與y軸垂直，寬度為l，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于平面；磁場(chǎng)的上、下兩側(cè)為電場(chǎng)區(qū)域，寬度均為，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小均為E，方向均沿x軸正方向；M、N為條形區(qū)域邊界上的兩點(diǎn)，它們的連線與y軸平行。一帶正電的粒子以某一速度從M點(diǎn)沿y軸正方向射入電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后恰好以從M點(diǎn)入射的速度從N點(diǎn)沿y軸正方向射出。不計(jì)重力。（1）定性畫(huà)出該粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡；（2）求該粒子從M點(diǎn)射入時(shí)速度的大??；（3）若該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向恰好與x軸正方向的夾角為，求該粒子的比荷及其從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的時(shí)間。例5.如圖，從離子源產(chǎn)生的甲、乙兩種離子，由靜止經(jīng)加速電壓U加速后在紙面內(nèi)水平向右運(yùn)動(dòng)，自M點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)邊界射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁場(chǎng)左邊界豎直。已知甲種離子射入磁場(chǎng)的速度大小為v1，并在磁場(chǎng)邊界的N點(diǎn)射出；乙種離子在MN的中點(diǎn)射出；MN長(zhǎng)為l。不計(jì)重力影響和離子間的相互作用。求：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；（2）甲、乙兩種離子的比荷之比。例6.如圖所示，在水平線ab下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向豎直向下，ab的上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)中有一內(nèi)、外半徑分別為R、的半圓環(huán)形區(qū)域，外圓與ab的交點(diǎn)分別為M、N。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子在電場(chǎng)中P點(diǎn)靜止釋放，由M進(jìn)入磁場(chǎng)，從N射出，不計(jì)粒子重力。（1）求粒子從P到M所用的時(shí)間t；（2）若粒子從與P同一水平線上的Q點(diǎn)水平射出，同樣能由M進(jìn)入磁場(chǎng)，從N射出，粒子從M到N的過(guò)程中，始終在環(huán)形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，且所用的時(shí)間最少，求粒子在Q時(shí)速度的大小。六、幾何光學(xué)中的幾何方法光學(xué)知識(shí)，在標(biāo)準(zhǔn)課程教科書(shū)中是選修3-4的內(nèi)容，在高考試卷中是選考題之一，大部分學(xué)校和考生不選擇選修3-4，也就不考光學(xué)題，因此是幾乎被高考遺忘的高考題。所以在物理教學(xué)類雜志中，涉及光學(xué)的文章也就少而又少。光學(xué)分為兩部分內(nèi)容：幾何光學(xué)和物理光學(xué)，幾何光學(xué)研究光的反射和折射，以及全反射等，物理光學(xué)研究光的性質(zhì)，也就是光是什么？粒子還是波？其內(nèi)容包括光的干涉、衍射、偏振等。關(guān)于幾何光學(xué)的高考題，離不開(kāi)用數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)和方法去解，包括邊和角，三角形，多邊形等。每年的高考題中，都有幾題。且看近2年的高考題。例1.（1）（5分）如圖，△ABC為一玻璃三棱鏡的橫截面，∠A=30°，一束紅光垂直AB邊射入，從AC邊上的D點(diǎn)射出，其折射角為60°，則玻璃對(duì)紅光的折射率為_(kāi)____。若改用藍(lán)光沿同一路徑入射，則光線在D點(diǎn)射出時(shí)的折射角______（“小于”“等于”或“大于”）60°。例2.如圖，是一直角三棱鏡的橫截面，，，一細(xì)光束從BC邊的D點(diǎn)折射后，射到AC邊的E點(diǎn)，發(fā)生全反射后經(jīng)AB邊的F點(diǎn)射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中點(diǎn)。不計(jì)多次反射。（i）求出射光相對(duì)于D點(diǎn)的入射光的偏角；（ii）為實(shí)現(xiàn)上述光路，棱鏡折射率的取值應(yīng)在什么范圍？例3.如圖，某同學(xué)在一張水平放置的白紙上畫(huà)了一個(gè)小標(biāo)記“·”(圖中O點(diǎn))，然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個(gè)標(biāo)記上，小標(biāo)記位于AC邊上。D位于AB邊上，過(guò)D點(diǎn)做AC邊的垂線交AC于F。該同學(xué)在D點(diǎn)正上方向下順著直線DF的方向觀察。恰好可以看到小標(biāo)記的像；過(guò)O點(diǎn)做AB邊的垂線交直線DF于E；DE=2cm，EF=1cm。求三棱鏡的折射率。(不考慮光線在三棱鏡中的反射)例4.如圖，由透明介質(zhì)構(gòu)成的半球殼的內(nèi)外表面半徑分別為R和.一橫截面半徑為R的平行光束入射到半球殼的內(nèi)表面，入射方向與半球殼的對(duì)稱軸平行，所有的入射光線都能從半球殼的外表面射出。已知透明介質(zhì)的折射率為。求半球殼外表面上有光線射出區(qū)域的圓形邊界的半徑。不考慮多次反射。例5.如圖，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體，O點(diǎn)為球心；下半部是半徑為R、高位2R的圓柱體，圓柱體底面鍍有反射膜。有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入，該光線與OC之間的距離為0.6R。已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行（不考慮多次反射）。求該玻璃的折射率。例6.如圖，一半徑為R的玻璃半球，O點(diǎn)是半球的球心，虛線OO′表示光軸（過(guò)球心O與半球底面垂直的直線）。已知玻璃的折射率為1.5?，F(xiàn)有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光線能從球面射出（不考慮被半球的內(nèi)表面反射后的光線）。求：（i）從球面射出的光線對(duì)應(yīng)的入射光線到光軸距離的最大值；（ii）距光軸的入射光線經(jīng)球面折射后與光軸的交點(diǎn)到O點(diǎn)的距離。總結(jié)：從以上例題可以看出：幾何知識(shí)和方法在解物理題中有廣泛的應(yīng)用，在力學(xué)中，從力的合成和分解，到功和能中的力做功的位移，在電磁學(xué)中，帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，從找圓心求半徑，到求圓心角求時(shí)間，都要用到幾何知識(shí)和幾何方法。更何況還有一部分內(nèi)容就是幾何光學(xué)，關(guān)于光的反射和折射以及全反射題目，更是用幾何知識(shí)和幾何方法解。有的物理題難，不是難在物理上，而是難在數(shù)學(xué)上，特別是幾何上。要搞清楚空間關(guān)系，非要畫(huà)圖不可。畫(huà)了圖，還要寫(xiě)出幾何關(guān)系式，例如三角形邊角關(guān)系公式，三角函數(shù)公式，等等。高中物理解題方法11之1：分析法與綜合法（原卷版）(解析版)高中物理解題方法11之2：隔離法和整體法（原卷版）(解析版)高中物理解題方法11之3：逆向思維法（原卷版）(解析版)高中物理解題方法11之4：辨析法（原卷版）(解析版)高中物