衡水名師押題6套-2023年新高考數(shù)學(xué)衡水押題卷6之02解析版

衡水名師押題2023年新高考數(shù)學(xué)衡水押題卷6之02數(shù)學(xué)解析本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知均為實數(shù)集的子集，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由包含關(guān)系可確定，由并集定義可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：B.2．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計算求解.【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.3．?dāng)?shù)學(xué)來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計數(shù)法就是中國數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1~9這9個數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，能被4整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來后，計算哪些能被4整除即可得概率．【詳解】1根算籌只能表示1，2根根算籌可以表示2和6，3根算籌可以表示3和7，4根算籌可以表示4和8，5根算籌可以表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14，18，41，81，23，27，63，67，32，72，36，76共12個，其中32，72，36，76，共4個可以被4整除，所以所求概率為．故選：A．4．已知復(fù)數(shù)z的實部和虛部均為整數(shù)，則滿足的復(fù)數(shù)z的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】設(shè)，由，可得，則，討論兩種情況即可得答案.【詳解】設(shè)，則因為，所以因為，所以，即.當(dāng)時，，即，有兩組滿足條件，當(dāng)時，或，所以，，但時，不符合題意，故個數(shù)為4，故選：C.5．米勒問題，是指德國數(shù)學(xué)家米勒1471年向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大？）米勒問題的數(shù)學(xué)模型如下：如圖，設(shè)是銳角的一邊上的兩定點，點是邊邊上的一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切時，最大．若，點在軸上，則當(dāng)最大時，點的坐標(biāo)為A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，求出線段的中垂線與線段的中垂線交點的橫坐標(biāo)，即可得到的外接圓圓心的橫坐標(biāo)，由的外接圓與邊相切于點，可知的外接圓圓心的橫坐標(biāo)與點的橫坐標(biāo)相等，即可得到點的坐標(biāo)．【詳解】由于點是邊邊上的一動點，且點在軸上，故設(shè)點的坐標(biāo)為；由于，則直線的方程為：，點為直線與軸的交點，故點的坐標(biāo)為；由于為銳角，點是邊邊上的一動點，故；所以線段的中垂線方程為：；線段的中垂線方程為：；故的外接圓的圓心為直線與直線的交點，聯(lián)立，解得：；即的外接圓圓心的橫坐標(biāo)為的外接圓與邊相切于點，邊在軸上，則的外接圓圓心的橫坐標(biāo)與點的橫坐標(biāo)相等，即，解得：或（舍）所以點的坐標(biāo)為；故答案選A【點睛】本題考查直線方程、三角形外接圓圓心的求解，屬于中檔題6．已知三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上，.若球M的表面積為，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．32【答案】B【分析】先證明面，，進(jìn)而得到三棱錐的體積為，由和基本不等式求出的最大值，即可求解.【詳解】因為三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上，所以，又，，面，故面，又，面，故面，又面，故.球M的表面積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，即，所以，，三棱錐的體積為，要使體積最大，即最大，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故體積的最大值為.故選：B.7．已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于兩點，且，點為線段上靠近的四等分點.若對于線段上的任意一點，都有成立，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合極化恒等式得，從而得，結(jié)合橢圓定義可得在和中由余弦定理建立關(guān)系得離心率.【詳解】取的中點，連接.則有.同理，因此.所以，取的中點，連接，則，由三線合一得，設(shè)，故，解得，則，在和中，由余弦定理得，，解得，故選：.【點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．本題關(guān)鍵是在和中由余弦定理建立關(guān)系式，也可以在和中同樣的方法求解.8．已知函數(shù)的定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先證明為奇函數(shù)，再進(jìn)行合理賦值逐個分析判斷.【詳解】對A：∵為偶函數(shù)，則兩邊求導(dǎo)可得∴為奇函數(shù)，則令，則可得，則，A成立；對B：令，則可得，則，B成立；∵，則可得，則可得兩式相加可得：，∴關(guān)于點成中心對稱則，D成立又∵，則可得，則可得∴以4為周期的周期函數(shù)根據(jù)以上性質(zhì)只能推出，不能推出，C不一定成立故選：C.【點睛】對于抽象函數(shù)的問題，一般通過賦值結(jié)合定義分析運算.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中，正確的命題是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，10的第60百分位數(shù)為5B．若隨機(jī)變量，，則C．若隨機(jī)變量，則取最大值時或4D．某小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績，其中男生成績的平均數(shù)為9，方差為11；女生成績的平均數(shù)為7，方差為8，則該10人成績的方差為10.5【答案】BCD【分析】對于A：直接求出第60百分位數(shù)，即可判斷；對于B：由正態(tài)曲線的對稱性直接求解；對于C：表示出，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于D：由分層隨機(jī)抽樣中方差的計算公式直接求解.【詳解】對于A：數(shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，10一共有7個.因為，所以其第60百分位數(shù)為第5個，為6.故A錯誤；對于B：因為隨機(jī)變量，由正態(tài)曲線的對稱性可得：，所以，所以.故B正確；對于C：因為隨機(jī)變量，所以.所以要使最大，只需最大.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)或4時，最大.故C正確；對于D：由題意可得男生成績的平均數(shù)為9，方差為11，記為.女生成績的平均數(shù)為7，方差為8，記為.所以全部10名學(xué)生的成績的平均數(shù)為.由分層隨機(jī)抽樣中方差的計算公式可得：.故D正確.故選：BCD10．重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨特風(fēng)格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動點P在上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（

）圖1

圖2A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A,B;表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則,由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確；，由于，故，故，故C錯誤；由于，故，而，故，故D正確，故選：ABD11．如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，D是PB的中點，E是CD上的動點，則下列說法正確的是（

）A．若E是CD的中點，則直線AE與PB所成角為B．的周長最小值為C．如果在這個容器中放入1個小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個容器中放入10個完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為【答案】ACD【分析】A選項：連接AD.證明出，即可求出直線AE與PB所成角為；B選項，把沿著CD展開與面BDC同一個平面內(nèi)，利用余弦定理求出，即可判斷；C選項，判斷出小球是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.利用等體積法求解；D選項，判斷出要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，設(shè)小球半徑為，利用幾何關(guān)系求出.【詳解】A選項：連接AD.在正四面體中，D是PB的中點，所以.因為平面，平面，,所以直線平面.因為平面.所以，所以直線AE與PB所成角為.故A選項正確；B選項，把沿著CD展開與面BDC同一個平面內(nèi)，由，，所以，所以，所以的周長最小值為不正確.故B選項錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.由等體積法可得：，所以半徑.故C選項正確；D選項，10個小球分三層（1個，3個，6個）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，設(shè)小球半徑為，四個角小球球心連線是棱長為的正四面體，其高為，由正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體，則，正四面體高為，得.故D選項正確.故選：ACD12．過平面內(nèi)一點P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點為、、不重合，設(shè)直線、分別與y軸交于點A、B，則（

）A．、兩點的縱坐標(biāo)之積為定值 B．直線的斜率為定值C．線段AB的長度為定值 D．面積的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)切線方程的定義，利用分類討論的思想，可得整理切線方程，根據(jù)直線垂直可得切點橫坐標(biāo)的乘積，進(jìn)而可得縱坐標(biāo)的乘積，利用直線斜率公式，等量代換整理，可得其值，利用切線方程，求得的坐標(biāo)，可得答案.【詳解】由函數(shù)，則，設(shè)，，當(dāng)，時，由題意可得，，化簡可得，符合題意；當(dāng)時，由題意可得，，化簡可得，顯然不成立；當(dāng)時，由題意可得，，化簡可得，顯然不成立；對于A，，故A錯誤；對于B，直線的斜率，故B正確；對于C，易知直線，直線，令，則，即，同理可得，，故C正確；對于D，聯(lián)立，整理可得，解得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，所以，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)的值為_______．【答案】【解析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.【詳解】因為，所以，解得，因為，所以.故答案為：.14．的展開式中的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用多項式乘法進(jìn)行運算，再由二項式定理找到通項，再賦值即可求解【詳解】因為，其中展開式的通項為，，令，；令，.所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15．已知，為實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為______．【答案】-1【分析】先由恒成立得出，進(jìn)而，構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】設(shè)，則不等式恒成立等價于成立，顯然當(dāng)時不符合題意．當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴．由得，∴．令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，∴，∴，則，此時，．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于依題意得出，進(jìn)而得出.16．弓琴，是弓琴彈撥弦鳴樂器（如下左圖）.歷史悠久，形制原始，它脫胎于古代的獵弓，也可以稱作“樂弓”，是我國彈弦樂器的始祖.古代有“后羿射十日”的神話，說明上古生民對善射者的尊崇，樂弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.古代傳說將“琴”的創(chuàng)始?xì)w于伏羲，也正由于他是以漁獵為生的部落氏族首領(lǐng).在我國古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”.常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于臺灣原住民中的布農(nóng)、鄒等民族聚居地區(qū).弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正視圖即為一橢圓面，它有多條弦，撥動琴弦，發(fā)音柔弱，音色比較動聽，現(xiàn)有某專業(yè)樂器研究人員對它做出改進(jìn)，安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音強(qiáng)勁悅耳.如下右圖，是一弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對稱建立如圖所示坐標(biāo)系，恰為左焦點，均勻?qū)ΨQ分布在上半個橢圓弧上(在上的投影把線段八等分)，為琴弦，記，數(shù)列前n項和為，橢圓方程為，且，則的最小值為_____【答案】【分析】設(shè)（），由焦半徑公式有，由對稱性得，由題意有成等差數(shù)列，從而可求得，這樣求得后再由基本不等式得最小值．【詳解】設(shè)，得，為等差數(shù)列，=，由題意知的投影把線段八等分,所以,，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：．【點睛】本題是新文化試題，解題關(guān)鍵是理解題意，從諸多信息中提取有用的數(shù)學(xué)信息，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解題．題中橢圓、焦點，提示我們求需用橢圓的焦半徑公式，再結(jié)合對稱性，易求得其和，從而表示出，第二步才聯(lián)想到需要利用基本不等式中“1”的代換求最小值．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)聯(lián)立方程組，計算即可.(2)利用裂項相消法計算即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，成等比數(shù)列，∴，又．聯(lián)立可得，解得，∴．（2），∴數(shù)列的前n項和．18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求A；(2)若D為邊BC上一點，且，試判斷的形狀.【答案】(1)；(2)直角三角形.【分析】（1）利用三角變換得到，即可求出；（2）設(shè)，利用正弦定理，化簡求出，得到，即可證明.【詳解】（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以.（2）設(shè)，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡得，所以，，所以是直角三角形.19．如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點.(1)證明：；(2)若是邊長為2的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，進(jìn)而推出線線垂直，從而得證.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點坐標(biāo)，然后利用已知的二面角的求法，可以求出的長，進(jìn)而可求出三棱錐的體積.【詳解】（1）為中點，面，面面且面面，面，又平面，（2）以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，垂直且過的直線為軸，取的中點，連接，因為為正三角形，所以，由邊長為2，即，，設(shè)，則，又因為設(shè)為面法向量，，令，，平面的法向量，解得，所以，，則20．已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達(dá)定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點M，再由弦長公式及兩點距離公式表示出，進(jìn)而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當(dāng)直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點，此時切線平行無交點．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因為，所以設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設(shè)，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當(dāng)時，即時，取得最大值，為2．【點睛】直線與圓錐曲線問題，一般設(shè)出直線，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出所求的內(nèi)容，進(jìn)而進(jìn)行進(jìn)一步討論.21．某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）.(1)若，當(dāng)時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為Y（單位：元）.（i）請用表示；（ii）設(shè)備升級后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤.【答案】(1)分布列見解析，，(2)（i），（ii）答案見解析【分析】（1）由題意可知，利用二項分布求解即可求得期望，根據(jù)互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）（i）先寫出升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列congestion求出設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤，即為；（ii）分類討論求出與的關(guān)系，做差比較大小即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的可能取值為0，1，2，3；因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，；（2）（i）升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量0設(shè)備運行概率所以升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的期望為；所以產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）利潤（單位：元）21設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為，即；（ii）因為控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中有個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，其概率為；所以，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大，當(dāng)時，，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒有變大，又因為，所以當(dāng)時，設(shè)備可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利