衡水名師押題6套-2023年新高考數(shù)學(xué)衡水押題卷6之02解析版

衡水名師押題2023年新高考數(shù)學(xué)衡水押題卷6之02數(shù)學(xué)解析本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知均為實(shí)數(shù)集的子集，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由包含關(guān)系可確定，由并集定義可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：B.2．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.3．?dāng)?shù)學(xué)來(lái)源于生活，約3000年以前，我國(guó)人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1~9這9個(gè)數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，能被4整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來(lái)后，計(jì)算哪些能被4整除即可得概率．【詳解】1根算籌只能表示1，2根根算籌可以表示2和6，3根算籌可以表示3和7，4根算籌可以表示4和8，5根算籌可以表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14，18，41，81，23，27，63，67，32，72，36，76共12個(gè)，其中32，72，36，76，共4個(gè)可以被4整除，所以所求概率為．故選：A．4．已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，則滿足的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】設(shè)，由，可得，則，討論兩種情況即可得答案.【詳解】設(shè)，則因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，，即，有兩組滿足條件，當(dāng)時(shí)，或，所以，，但時(shí)，不符合題意，故個(gè)數(shù)為4，故選：C.5．米勒問(wèn)題，是指德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒1471年向諾德?tīng)柦淌谔岢龅挠腥?wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)（即可見(jiàn)角最大？）米勒問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下：如圖，設(shè)是銳角的一邊上的兩定點(diǎn)，點(diǎn)是邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切時(shí)，最大．若，點(diǎn)在軸上，則當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出線段的中垂線與線段的中垂線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到的外接圓圓心的橫坐標(biāo)，由的外接圓與邊相切于點(diǎn)，可知的外接圓圓心的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】由于點(diǎn)是邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；由于，則直線的方程為：，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；由于為銳角，點(diǎn)是邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，故；所以線段的中垂線方程為：；線段的中垂線方程為：；故的外接圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得：；即的外接圓圓心的橫坐標(biāo)為的外接圓與邊相切于點(diǎn)，邊在軸上，則的外接圓圓心的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，即，解得：或（舍）所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查直線方程、三角形外接圓圓心的求解，屬于中檔題6．已知三棱錐的頂點(diǎn)都在以PC為直徑的球M的球面上，.若球M的表面積為，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．32【答案】B【分析】先證明面，，進(jìn)而得到三棱錐的體積為，由和基本不等式求出的最大值，即可求解.【詳解】因?yàn)槿忮F的頂點(diǎn)都在以PC為直徑的球M的球面上，所以，又，，面，故面，又，面，故面，又面，故.球M的表面積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，即，所以，，三棱錐的體積為，要使體積最大，即最大，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故體積的最大值為.故選：B.7．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn).若對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，都有成立，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合極化恒等式得，從而得，結(jié)合橢圓定義可得在和中由余弦定理建立關(guān)系得離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，連接.則有.同理，因此.所以，取的中點(diǎn)，連接，則，由三線合一得，設(shè)，故，解得，則，在和中，由余弦定理得，，解得，故選：.【點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．本題關(guān)鍵是在和中由余弦定理建立關(guān)系式，也可以在和中同樣的方法求解.8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先證明為奇函數(shù)，再進(jìn)行合理賦值逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)A：∵為偶函數(shù)，則兩邊求導(dǎo)可得∴為奇函數(shù)，則令，則可得，則，A成立；對(duì)B：令，則可得，則，B成立；∵，則可得，則可得兩式相加可得：，∴關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)則，D成立又∵，則可得，則可得∴以4為周期的周期函數(shù)根據(jù)以上性質(zhì)只能推出，不能推出，C不一定成立故選：C.【點(diǎn)睛】對(duì)于抽象函數(shù)的問(wèn)題，一般通過(guò)賦值結(jié)合定義分析運(yùn)算.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題中，正確的命題是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，10的第60百分位數(shù)為5B．若隨機(jī)變量，，則C．若隨機(jī)變量，則取最大值時(shí)或4D．某小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績(jī)，其中男生成績(jī)的平均數(shù)為9，方差為11；女生成績(jī)的平均數(shù)為7，方差為8，則該10人成績(jī)的方差為10.5【答案】BCD【分析】對(duì)于A：直接求出第60百分位數(shù)，即可判斷；對(duì)于B：由正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性直接求解；對(duì)于C：表示出，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D：由分層隨機(jī)抽樣中方差的計(jì)算公式直接求解.【詳解】對(duì)于A：數(shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，10一共有7個(gè).因?yàn)?，所以其?0百分位數(shù)為第5個(gè)，為6.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)殡S機(jī)變量，由正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可得：，所以，所以.故B正確；對(duì)于C：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以.所以要使最大，只需最大.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)或4時(shí)，最大.故C正確；對(duì)于D：由題意可得男生成績(jī)的平均數(shù)為9，方差為11，記為.女生成績(jī)的平均數(shù)為7，方差為8，記為.所以全部10名學(xué)生的成績(jī)的平均數(shù)為.由分層隨機(jī)抽樣中方差的計(jì)算公式可得：.故D正確.故選：BCD10．重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨(dú)特風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛(ài)．古人曾有詩(shī)贊曰：“開(kāi)合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)，偏稱(chēng)游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連接OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）圖1

圖2A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A,B;表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則,由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確；，由于，故，故，故C錯(cuò)誤；由于，故，而，故，故D正確，故選：ABD11．如圖所示，有一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體容器，D是PB的中點(diǎn)，E是CD上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若E是CD的中點(diǎn)，則直線AE與PB所成角為B．的周長(zhǎng)最小值為C．如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個(gè)容器中放入10個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)：連接AD.證明出，即可求出直線AE與PB所成角為；B選項(xiàng)，把沿著CD展開(kāi)與面BDC同一個(gè)平面內(nèi)，利用余弦定理求出，即可判斷；C選項(xiàng)，判斷出小球是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.利用等體積法求解；D選項(xiàng)，判斷出要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)面相切，設(shè)小球半徑為，利用幾何關(guān)系求出.【詳解】A選項(xiàng)：連接AD.在正四面體中，D是PB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面?所以直線平面.因?yàn)槠矫?所以，所以直線AE與PB所成角為.故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，把沿著CD展開(kāi)與面BDC同一個(gè)平面內(nèi)，由，，所以，所以，所以的周長(zhǎng)最小值為不正確.故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.由等體積法可得：，所以半徑.故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，10個(gè)小球分三層（1個(gè)，3個(gè)，6個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)面相切，設(shè)小球半徑為，四個(gè)角小球球心連線是棱長(zhǎng)為的正四面體，其高為，由正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體，則，正四面體高為，得.故D選項(xiàng)正確.故選：ACD12．過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點(diǎn)為、、不重合，設(shè)直線、分別與y軸交于點(diǎn)A、B，則（

）A．、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值 B．直線的斜率為定值C．線段AB的長(zhǎng)度為定值 D．面積的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)切線方程的定義，利用分類(lèi)討論的思想，可得整理切線方程，根據(jù)直線垂直可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積，進(jìn)而可得縱坐標(biāo)的乘積，利用直線斜率公式，等量代換整理，可得其值，利用切線方程，求得的坐標(biāo)，可得答案.【詳解】由函數(shù)，則，設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率，故B正確；對(duì)于C，易知直線，直線，令，則，即，同理可得，，故C正確；對(duì)于D，聯(lián)立，整理可得，解得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)的值為_(kāi)______．【答案】【解析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.【詳解】因?yàn)椋?，解得，因?yàn)?，所?故答案為：.14．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用多項(xiàng)式乘法進(jìn)行運(yùn)算，再由二項(xiàng)式定理找到通項(xiàng)，再賦值即可求解【詳解】因?yàn)?，其中展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，令，；令，.所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.15．已知，為實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】-1【分析】先由恒成立得出，進(jìn)而，構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】設(shè)，則不等式恒成立等價(jià)于成立，顯然當(dāng)時(shí)不符合題意．當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴．由得，∴．令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴，∴，則，此時(shí)，．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于依題意得出，進(jìn)而得出.16．弓琴，是弓琴?gòu)棑芟银Q樂(lè)器（如下左圖）.歷史悠久，形制原始，它脫胎于古代的獵弓，也可以稱(chēng)作“樂(lè)弓”，是我國(guó)彈弦樂(lè)器的始祖.古代有“后羿射十日”的神話，說(shuō)明上古生民對(duì)善射者的尊崇，樂(lè)弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.古代傳說(shuō)將“琴”的創(chuàng)始?xì)w于伏羲，也正由于他是以漁獵為生的部落氏族首領(lǐng).在我國(guó)古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”.常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于臺(tái)灣原住民中的布農(nóng)、鄒等民族聚居地區(qū).弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正視圖即為一橢圓面，它有多條弦，撥動(dòng)琴弦，發(fā)音柔弱，音色比較動(dòng)聽(tīng)，現(xiàn)有某專(zhuān)業(yè)樂(lè)器研究人員對(duì)它做出改進(jìn)，安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音強(qiáng)勁悅耳.如下右圖，是一弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對(duì)稱(chēng)建立如圖所示坐標(biāo)系，恰為左焦點(diǎn)，均勻?qū)ΨQ(chēng)分布在上半個(gè)橢圓弧上(在上的投影把線段八等分)，為琴弦，記，數(shù)列前n項(xiàng)和為，橢圓方程為，且，則的最小值為_(kāi)____【答案】【分析】設(shè)（），由焦半徑公式有，由對(duì)稱(chēng)性得，由題意有成等差數(shù)列，從而可求得，這樣求得后再由基本不等式得最小值．【詳解】設(shè)，得，為等差數(shù)列，=，由題意知的投影把線段八等分,所以,，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是新文化試題，解題關(guān)鍵是理解題意，從諸多信息中提取有用的數(shù)學(xué)信息，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題．題中橢圓、焦點(diǎn)，提示我們求需用橢圓的焦半徑公式，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，易求得其和，從而表示出，第二步才聯(lián)想到需要利用基本不等式中“1”的代換求最小值．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)聯(lián)立方程組，計(jì)算即可.(2)利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，成等比數(shù)列，∴，又．聯(lián)立可得，解得，∴．（2），∴數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求A；(2)若D為邊BC上一點(diǎn)，且，試判斷的形狀.【答案】(1)；(2)直角三角形.【分析】（1）利用三角變換得到，即可求出；（2）設(shè)，利用正弦定理，化簡(jiǎn)求出，得到，即可證明.【詳解】（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所?（2）設(shè)，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡(jiǎn)得，所以，，所以是直角三角形.19．如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，進(jìn)而推出線線垂直，從而得證.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用已知的二面角的求法，可以求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出三棱錐的體積.【詳解】（1）為中點(diǎn)，面，面面且面面，面，又平面，（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，垂直且過(guò)的直線為軸，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，所以，由邊長(zhǎng)為2，即，，設(shè)，則，又因?yàn)樵O(shè)為面法向量，，令，，平面的法向量，解得，所以，，則20．已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達(dá)定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點(diǎn)M，再由弦長(zhǎng)公式及兩點(diǎn)距離公式表示出，進(jìn)而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無(wú)交點(diǎn)．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對(duì)應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因?yàn)椋栽O(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過(guò)的切線方程為，即，同理可得過(guò)的切線方程為.由得設(shè)，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，為2．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線問(wèn)題，一般設(shè)出直線，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出所求的內(nèi)容，進(jìn)而進(jìn)行進(jìn)一步討論.21．某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.(1)若，當(dāng)時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是2元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為Y（單位：元）.（i）請(qǐng)用表示；（ii）設(shè)備升級(jí)后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn).【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，，(2)（i），（ii）答案見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可知，利用二項(xiàng)分布求解即可求得期望，根據(jù)互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）（i）先寫(xiě)出升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的分布列congestion求出設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)，即為；（ii）分類(lèi)討論求出與的關(guān)系，做差比較大小即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3；因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，；（2）（i）升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量0設(shè)備運(yùn)行概率所以升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的期望為；所以產(chǎn)品類(lèi)型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）利潤(rùn)（單位：元）21設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為，即；（ii）因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個(gè)元件，則第一類(lèi)：原系統(tǒng)中至少有個(gè)元件正常工作，其概率為；第二類(lèi)：原系統(tǒng)中恰好有個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有1個(gè)正常工作，其概率為；第三類(lèi)：原系統(tǒng)中有個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，其概率為；所以，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即增加元件個(gè)數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大，當(dāng)時(shí)，，即增加元件個(gè)數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒(méi)有變大，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，設(shè)備可以通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利