專題06 圓錐曲線中的定值問題(教師版)

專題06圓錐曲線中的定值問題一、單選題1．過原點的直線與雙曲線交于A,B兩點，點P為雙曲線上一點，若直線PA的斜率為2，則直線PB的斜率為（）A．4 B．1 C． D．【答案】C【分析】設，，，代入雙曲線的方程，作差，可得，再由直線的斜率公式，結(jié)合平方差公式，計算可得所求值.【詳解】由題意可設，，，則，，即有，即，由，，可得，因為，所以.故選：.二、多選題2．已知橢圓的離心率為，的三個頂點都在橢圓上，設它的三條邊，，的中點分別為，，，且三條邊所在直線的斜率分別，，，且，，均不為0．為坐標原點，則（）A．B．直線與直線的斜率之積為C．直線與直線的斜率之積為D．若直線，，的斜率之和為1，則的值為【答案】CD【分析】由題意可得：．設，，，．，．利用點差法即可得出，，，即可判斷．【詳解】解：橢圓的離心率為，，，故錯；設，，，．，．，，兩式相減可得：．，同理，，故錯，正確．又，故選：CD．【點睛】方法點睛：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、中點坐標公式、點差法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題，處理中點弦問題常用的求解方法：（1）點差法：即設出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點坐標公式即可求得斜率；（2）根與系數(shù)的關系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解3．設是拋物線上兩點，是坐標原點，若，下列結(jié)論正確的為（）A．為定值 B．直線過拋物線的焦點C．最小值為16 D．到直線的距離最大值為4【答案】ACD【分析】由拋物線方程及斜率公式即可判斷A；設直線方程，結(jié)合韋達定理即可判斷B；利用韋達定理求得的最小值，即可判斷C；由直線過定點可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，所以，故A正確；對于B，設直線，代入可得，所以，即，所以直線過點，而拋物線的焦點為，故B錯誤；對于C，因為，當時，等號成立，又直線過點，所以，故C正確；對于D，因為直線過點，所以到直線的距離最大值為4，故D正確.故選：ACD.【點睛】解決本題的關鍵是利用拋物線的方程合理化簡及韋達定理的應用，細心計算即可得解.三、解答題4．已知點到的距離是點到的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關于點對稱，點，求的最大值；（3）若過的直線與第二問中的軌跡交于，兩點，試問在軸上是否存在點，使恒為定值?若存在，求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）138；（3）存在，，.【分析】（1）設點，由題意可得，利用兩點之間的距離公式化簡整理可得.（2）先由的軌跡方程求出點的軌跡方程，利用兩點間距離公式整理從而轉(zhuǎn)化為：線性規(guī)劃問題處理.（3）代入消元，韋達定理，整體思想代入，整理可得解.【詳解】（1）設點，由題意可得，即，化簡可得.（2）設，由(1)得點滿足的方程，又點是點與點的中點，則，代入上式消去可得，即的軌跡為.令，則，可視為直線在y軸上的截距，的最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距，由直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，所以，，所以.因此的最大值為138.（3）存在點，使得為定值.當直線的斜率存在時，設其斜率為，則直線的方程為，由，消去，得，顯然，設，則，，又，，則要使上式恒為定值，需滿足，解得，此時，為定值.當直線的斜率不存在時，，，由可得.所以存在點，使得為定值.【點睛】方法點睛：本題為直線與圓的綜合題，與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略（1）與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．（2）與圓上點有關代數(shù)式的最值的常見類型及解法：①形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點和點的直線的斜率的最值問題；②形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題．5．已知，為橢圓的左?右焦點，點在橢圓上，且過點的直線交橢圓于，兩點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）對于橢圓，問否存在實數(shù)，使得成立，若存在求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，實數(shù).【分析】（1）利用橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長，求出，設出橢圓方程，代入點的坐標求解即可得到橢圓的方程；（2）求出，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設，，利用韋達定理，不妨設，，求出，化簡整理即可求得結(jié)果【詳解】解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可得，，∴的周長為，∴，，∴橢圓的方程為，將代入得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知，得，依題意可知直線的斜率不為0，故可設直線的方程為，由消去，整理得，設，，則，，不妨設，，，同理，所以即，所以存在實數(shù)，使得成立【點睛】關鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理將表示出來，然后代入中可求出的值，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題6．已知橢圓的離心率為，的面積為（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)離心率和面積建立等式求解；（2）分別求出PB直線方程，PA直線方程，得出，即可求出.【詳解】（1）由題：，解得：，所以橢圓方程為；（2）設，PB直線方程，，PA直線方程，，=【點睛】此題考查求橢圓的方程，根據(jù)直線與橢圓的位置關系證明定值問題，關鍵在于準確寫出方程和點的坐標，建立等式求解.7．已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，直線y＝kx交橢圓于P，Q兩點，M是橢圓上不同于P，Q的任意一點，直線MP和直線MQ的斜率分別為k1，k2．（1）證明：k1·k2為定值；（2）過F2的直線l與橢圓交于A，B兩點，且，求|AB|．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）設P（m，n），M（x，y），則Q（-m，-n），則可表示出，進而可得的表達式，又根據(jù)點P，M在橢圓上，利用點差法，即可得證；（2）設直線l的方程為x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓可得關于y的一元二次方程，利用韋達定理，可得的表達式，根據(jù)，可得的關系，即可求出，代入弦長公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：設P（m，n），M（x，y），則Q（-m，-n），則，，則，又，，故，所以為定值．（2）設直線l的方程為x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立消去x，得（3t2＋4）y2＋6ty-9＝0，則有，．又，所以-y1＝2y2，故，解得，所以．【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵設直線x＝ty＋1可簡化計算，聯(lián)立直線與曲線，利用韋達定理，弦長公式等進行求解，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.8．已知雙曲線的方程.（1）求點到雙曲線C上點的距離的最小值；（2）已知圓的切線(直線的斜率存在)與雙曲線C交于A，B兩點，那么∠AOB是否為定值?如果是，求出定值；如果不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，.【分析】（1）設雙曲線上任意一點為，則，利用兩點間的距離公式求出，利用二次函數(shù)求最值即可；（2）設直線的方程為：，利用直線與圓相切可得到，設，直線與雙曲線的方程聯(lián)立消，利用韋達定理得到，再求出，最后利用得出結(jié)論即可.【詳解】（1）設雙曲線上任意一點為，則，，當時，等號成立，即點到雙曲線C上點的距離的最小值為；（2）設直線的方程為：，因為直線與圓相切，所以圓的圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，①設，由消得，，由題意知：，，由韋達定理得，由①得：，則，因為，所以為定值.【點睛】關鍵點睛：求解圓錐曲線中的定值問題，直線與曲線方程聯(lián)立利用韋達定理求解是解題的關鍵.9．已知拋物線的焦點F恰為橢圓的一個頂點，且拋物線的通徑（過拋物線的焦點F且與其對稱軸垂直的弦）的長等于橢圓的兩準線間的距離.（1）求拋物線及橢圓的標準方程；（2）過點F作兩條直線，，且，的斜率之積為.①設直線交拋物線于A，B兩點，交拋物線于C，D兩點，求的值；②設直線，與橢圓的另一個交點分別為M，N.求面積的最大值.【答案】（1）；(2)①②【分析】(1)由拋物線的焦點為橢圓的右焦點可得p，求出拋物線方程，根據(jù)通徑與準線間的距離可求a，c，即可求出橢圓方程；（2）①設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)關系及弦長公式可求出弦長，代入即可計算求解②設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)關系，得出弦長，同理可得另外一條弦長，根據(jù)三角形面積公式表示出面積，換元后求最值即可.【詳解】(1),右頂點為，即拋物線的焦點,，故拋物線方程為，因為拋物線的通徑的長等于橢圓的兩準線間的距離，所以，，，橢圓的標準方程為：(2)①設，代入消元得：，設，，，又，同理可得②仍設，代入橢圓方程消元得：，即，，，同理得，，（當且僅當時，等號成立），令，則，,對于，在上是增函數(shù)，當時，即時，，，面積的最大值為.【點睛】關鍵點點睛：本題求解過程中，需要熟練運用弦長公式，以及類比的思想的運用，在得到三角形面積后，利用換元法，化簡式子，求最值是難點，也是關鍵點，題目較難.10．設拋物線，為的焦點，過的直線與交于兩點.（1）設的斜率為，求的值；（2）求證：為定值.【答案】（1）5；（2）證明見解析.【分析】（1）求出直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線，由即可求解；（2）設直線方程為，由韋達定理表示出，即可得出定值.【詳解】（1）依題意得，所以直線的方程為.設直線與拋物線的交點為，，由得，，所以，.所以.（2）證明：設直線的方程為，直線與拋物線的交點為，，由得，，所以，.因為.所以為定值.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解.11．已知圓，動圓與圓相外切，且與直線相切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程.(2)已知點，過點的直線與曲線交于兩個不同的點（與點不重合），直線的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）是，.【分析】(1)根據(jù)題意分析可得到直線的距離等于到的距離，由拋物線的定義可知，的軌跡為拋物線，其方程為；(2)設直線的方程為，點，直線的斜率分別為和，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理得和，根據(jù)斜率公式得和，利用和化簡即可得到定值.【詳解】(1)設直線的距離為，因為動圓與圓相外切，所以，所以到直線的距離等于到的距離，由拋物線的定義可知，的軌跡為拋物線，其焦點為，準線為：，所以拋物線的方程為.(2)設直線的方程為，即因為與點不重合，所以設直線的斜率分別為和，點聯(lián)立消去并整理得，則，，由，解得或，且.可得，同理可得，所以，故直線的斜率之和為定值.【點睛】關鍵點點睛：利用斜率公式轉(zhuǎn)化為兩個點的縱坐標之和與縱坐標之積，再根據(jù)韋達定理代入化簡是解題關鍵，本題考查了運算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.12．已知橢圓經(jīng)過點，且右焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過且斜率存在的直線交橢圓于，兩點，記，若的最大值和最小值分別為，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)焦點坐標得出的值，由，將點代入橢圓的方程，解出，即可得出橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為，將其代入橢圓方程，由韋達定理以及向量的數(shù)量積公式得出，利用判別式法得出，最后由韋達定理得出的值．【詳解】（1）由橢圓的右焦點為，知，即，則，．又橢圓過點，∴，又，∴．∴橢圓的標準方程為．（2）設直線的方程為，，由得，即∵點在橢圓內(nèi)部，∴∴由韋達定理可得：（*）則將（*）代入上式得：，即，，則∴，即由題意知，是的兩根∴．【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓相交題型，本題中直線方程代入橢圓方程整理后應用韋達定理求出，，然后表示出，得到等量關系，由其，得到關于t的不等式，即可求出，考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力，屬于較難題．13．已知橢圓C：()的離心率為，短軸一個端點到右焦點F的距離為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F的直線l交橢圓于A?B兩點，交y軸于P點，設，，試判斷是否為定值？請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，定值為.【分析】（1）由題意可得，，，可求得橢的圓方程；（2）設直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立整理得：，設，，由一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得，再根據(jù)向量的坐標運算表示出，，代入計算可求得定值.【詳解】（1）由題可得，又，所以因此橢圓方程為（2）由題可得直線斜率存在，設直線l的方程為，由消去y，整理得：，設，，則，又，，則，，由可得，所以同理可得，所以所以，為定值.【點睛】關鍵點點睛：該題考查直線與橢圓的定值問題，關鍵在于聯(lián)立方程組，得出交點的坐標的關系，將目標條件轉(zhuǎn)化到交點的坐標上去，屬于中檔題目.14．如圖，在平面直角坐標系中，已知，分別是橢圓E：的左、右焦點，A，B分別橢圓E的左、右頂點，且．（1）求橢圓E的離心率；（2）已知點為線段的中點，M為橢圓E上的動點（異于點A、B），連接并延長交橢圓E于點N，連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連接PQ，設直線MN、PQ的斜率存在且分別為、，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1);(2)【分析】(1)借助題設條件運用向量的相等建立方程得求解；(2)借助題設條件運用直線與橢圓的位置關系聯(lián)立坐標方程求解.【詳解】（1）,化簡得,橢圓E的離心率（2）存在滿足條件的常數(shù).設,因為點為線段的中點,,從而,左焦點,故橢圓的方程為.則直線的方程為,代入橢圓方程整理得,.,從而,故點.同理,點.因為三點、、共線，所以,從而.從而,故,從而存在滿足條件的常數(shù).【點晴】本題是一道考查直線與橢圓的位置關系的綜合問題.本題第二問的求解過程中,先將的方程設為,然后代入消去變量建立了以其交點橫坐標為主元的二次方程,通過研究坐標之間的關系式,再借助題設條件,求出,.最后借助三點、、共線,探究出了方程,屬于難題.15．設橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設左、右頂點分別為、，點在橢圓上（異于點、），求的值；（3）過點作一條直線與橢圓交于兩點，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點？若是，求出該定點的坐標，否則說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）是，.【分析】（1）由題意，列出所滿足的等量關系式，結(jié)合橢圓中的關系，求得，從而求得橢圓的方程；（2）寫出，設，利用斜率坐標公式求得兩直線斜率，結(jié)合點在橢圓上，得出，從而求得結(jié)果；（3）設直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，結(jié)合韋達定理，得到，結(jié)合直線的方程，得到直線所過的定點坐標.【詳解】（1）由題意可知，，又，所以，所以橢圓的標準方程為：.（2）,設，因為點在橢圓上，所以，，又，.（3）設直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，所以，所以，又直線的方程為：，令，則，所以直線恒過，同理，直線恒過，即直線與交于定點.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關橢圓的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合橢圓中的關系，建立方程組求得橢圓方程；（2）根據(jù)斜率坐標公式，結(jié)合點在橢圓上，整理求得斜率之積，可以當結(jié)論來用；（3）將直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，結(jié)合直線方程，求得其過的定點.16．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-2，1)，P是動點，且（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）過A作斜率為1的直線與軌跡C相交于點B，點T(0，t)(t>0)，直線AT與BT分別交軌跡C于點設直線的斜率為k，是否存在常數(shù)λ，使得t=λk，若存在，求出λ值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在滿足條件．【分析】（1）設的坐標，可得直線，，的斜率，由題意可得的軌跡的方程；（2）由題意可得直線的方程，與軌跡的方程聯(lián)立求出的坐標，進而求出直線，的方程，分別與曲線聯(lián)立求出，的坐標，求出直線的斜率的表達式可得與的關系，進而可得常數(shù)的值滿足條件．【詳解】解：（1）設，由題意可得，，，而．所以，整理可得：，所以動點的軌跡的方程為：；（2）由題意直線的方程為：，即，代入曲線中可得，解得或，所以可得，直線的方程為：，代入拋物線的方程：，所以，所以，所以，所以，，直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立，所以，所以，，所以，，由題意可得，所以，由題意，所以．所以存在滿足條件．【點睛】求軌跡方程的主要方法有直接法、相關點代入法、消參法等，軌跡方程求完后，要記得驗證，是否要挖去不符合條件的點.17．已知P為圓：上一動點，點坐標為，線段的垂直平分線交直線于點Q.（1）求點Q的軌跡方程；（2）已知，過點作與軸不重合的直線交軌跡于兩點，直線分別與軸交于兩點.試探究的橫坐標的乘積是否為定值，并說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，理由見解析.【分析】（1）由中垂線可知，所以Q點的軌跡為橢圓；（2）設兩點的坐標，利用直線方程用兩點坐標表示的橫坐標；再把直線代入橢圓方程消元，韋達定理，整理的橫坐標的乘積可得結(jié)論.【詳解】由已知線段的垂直平分線交直線于點Q.得，,又P為圓：上一動點，所以，點的軌跡為以為焦點，長軸為4的橢圓橢圓方程：設，則直線方程:，令，得，同理可得由題設直線：，代入方程整理得，且，，故（定值）【點睛】利用已知的幾何條件求軌跡方程是常用的求軌跡的方法；運用韋達定理及整體思想求特定的量是直線與圓錐曲線中常見的處理策略.18．已知在平面直角坐標系中，圓與軸交于，兩點，點在第一象限且為圓外一點，直線，分別交圓于點，，交軸于點，．（Ⅰ）若直線的傾斜角為60°，，求點坐標；（Ⅱ）過作圓的兩條切線分別交軸于點，，試問是否為定值？若是，求出這個定值：若不是，說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）定值為1.【分析】（Ⅰ）由題可得直線的方程為，由為正三角形，可得直線方程為，聯(lián)立直線方程即可求出P的坐標；（Ⅱ）設，切線與軸交點為，可得切線方程為，利用相切得出，可得，利用共線得，，則可求出，進而得出定值.【詳解】（Ⅰ）由題可知，直線的傾斜角為60°，則直線的方程為，，故為正三角形，則直線的傾斜角為，故直線方程為，為直線BD和直線AC交點，聯(lián)立方程，解得，；（Ⅱ）設，切線與軸交點為，則切線方程為，即，又O到切線的距離為1，則，整理得，則是方程的兩根，，由P，C，Q共線得，解得，同理可得，，，，即.【點睛】關鍵點睛：第一問的關鍵是將點P的坐標轉(zhuǎn)化為直線BD和AC的交點坐標，通過求兩直線方程可求出；第二問的關鍵是將的坐標全部轉(zhuǎn)化為與P的坐標有關，通過求來得出結(jié)果.19．在平面直角坐標系xOy中，有三條曲線：①；②；③.請從中選擇合適的一條作為曲線C，使得曲線C滿足：點F(1，0)為曲線C的焦點，直線y=x-1被曲線C截得的弦長為8.（1）請求出曲線C的方程；（2）設A，B為曲線C上兩個異于原點的不同動點，且OA與OB的斜率之和為1，過點F作直線AB的垂線，垂足為H，問是否存在定點M，使得線段MH的長度為定值?若存在，請求出點M的坐標和線段MH的長度；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；【分析】（1）利用焦點以及弦長排除①②，從而可得，進而求出拋物線.（2）、的斜率存在且不為，不可能是斜率為的直線，設方程：，與拋物線聯(lián)立，設，，利用韋達定理求出，再將、方程聯(lián)立，求出交點，過點，觀察兩個定點，，由，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可證出.【詳解】（1）對于②，，故排除②；假設①為曲線C，則有，解得，將直線代入，整理可得，解得，此時弦長為，故排除①；所以曲線C為③，則，解得，所以曲線C的方程為.（2）易知、的斜率存在且不為，不可能是斜率為的直線，設方程：，代入，可得，，設，，則，，且，解得，聯(lián)立、方程，即，解得，，已知過點，不妨猜測可能為，則，此時不滿足為定值，觀察兩個定點，，由于，故在以為直徑的圓上，的中心為圓心，圓心到的距離恒為.中點為，，所以定點M，線段MH的長度為定值，且.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)焦點以及弦長確定曲線C，解題的關鍵是求出直線過點，圍繞以及焦點，進行求解，考查了考生的計算求解能力.20．如圖，點為橢圓的左頂點，過的直線交拋物線于，兩點，點是的中點．（Ⅰ）若點在拋物線的準線上，求拋物線的標準方程：（Ⅱ）若直線過點，且傾斜角和直線的傾斜角互補，交橢圓于，兩點，（i）證明：點的橫坐標是定值，并求出該定值：（ii）當?shù)拿娣e最大時，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）點的橫坐標為定值，證明見詳解；（ii）【分析】（Ⅰ）根據(jù)點A在拋物線的準線上，可得，進而可得拋物線的標準方程：（Ⅱ）（i）設的方程為，設，，與橢圓聯(lián)立，利用點C是AB的中點得到，計算可得點的橫坐標為定值；（ii）設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用點C是AB的中點可得，根據(jù)三角形的面積公式以及基本不等式可求的面積最大值，由取等號的條件解得的值【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，點A在拋物線的準線上，則，即所以拋物線的標準方程為；（Ⅱ）（i）證明：因為過A的直線和拋物線交于兩點，所以的斜率存在且不為0，設的方程為，其中m是斜率的倒數(shù)，設，，聯(lián)立方程組，整理得，且，因為C是AB的中點，所以，所以，，，所以點的橫坐標為定值；（ii）因為直線的傾斜角和直線的傾斜角互補，所以的斜率和的斜率互為相反數(shù).設直線的方程為，，即，聯(lián)立方程組整理得，，所以，，.因為點C是AB中點，所以，因為到的距離，，所以.令，則，當且僅當，時等號成立，所以，.【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查橢圓中的定值問題及面積最值問題，考查學生計算能力與分析能力，是一道中檔題.21．已知橢圓：()的左右焦點分別為，焦距為2，且經(jīng)過點.直線過右焦點且不平行于坐標軸，與橢圓有兩個不同的交點，，線段的中點為.（1）點在橢圓上，求的取值范圍；（2）證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由橢圓定義求得，然后可得，從而得橢圓方程，然后設點，計算可得范圍；（2）設直線的方程為()代入橢圓方程得，設，，可得段線的中點的坐標，然后計算可得定值．【詳解】解：（1）因為焦距，則，所以左焦點，右焦點則所以，所以，所以橢圓方程為.設點，則因為，所以的取值范圍為：（2）設直線的方程為()聯(lián)立消去得其中：，，不妨設，，為線段的中點則，所以，所以所以為定值.【點睛】方法點睛：直線與橢圓相交中的定值問題，解題方法是“設而不求”的思想方法，即設交點，，設直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并消元后應用韋達定理得，代入中可化簡得定值．22．已知橢圓的離心率為，點分別是的左?右?上?下頂點，且四邊形的面積為.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知是的右焦點，過的直線交橢圓于兩點，記直線的交點為，求證：點在定直線上，并求出直線的方程.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）利用橢圓的離心率、四邊形的面積求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）設，求得，設直線的方程為，代入，化簡后寫出根與系數(shù)關系，進而求得，由此判斷出點在定直線上.【詳解】（1）設橢圓的半焦距長為，根據(jù)題意，解得.故.（2）由（1）知，設，由①，②，兩式相除得，又故，故，于是③，由于直線經(jīng)過點，設直線的方程為，代入整理，得，把代入③，，得，得到，故點在定直線上.【點睛】要求橢圓的標準方程，也即要求得，可根據(jù)已知條件列方程組來求解.解決直線與橢圓的位置關系的問題，求解出根與系數(shù)關系是重要的步驟.23．已知橢圓的左、右頂點分別為，，離心率為，過點作直線交橢圓于點，（與，均不重合）.當點與橢圓的上頂點重合時，.（1）求橢圓的方程（2）設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）解方程.①，②即得解；（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程組得，得到韋達定理，再利用韋達定理化簡即得證.【詳解】（1）當點與橢圓的上頂點重合時，有，所以.①又因為離心率，②由①②解得，，所以的方程為.（2）由題意，設直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設，，則，.由（1）得，，所以，，.【點睛】方法點睛：定值問題：在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關，這就構(gòu)成了定值問題，定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù).24．已知橢圓C：的離心率為，過焦點且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長為2．（1）求橢圓C的方程；（2）已知點，，過點A的任意一條直線與橢圓C交于M，N兩點，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由題意得，可求出，即可得到橢圓的方程；（2）過，分別作軸的垂線段，，易得，要證明，只需證明，即證，只需證明，設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，表示出直線、直線的斜率，進而可證明.【詳解】（1）橢圓中，令，得，因為過焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，所以，根據(jù)離心率為，得，由，解得，，所以橢圓的方程為．（2）證明：要證明，只需證明，過，分別作軸的垂線段，，易得：，所以只需證明，所以只需證明，只需證明．當直線的斜率不存在時，易得．當直線的斜率存在時，不妨設斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立消去y，得，設，，則，，直線的斜率，直線的斜率，.綜上所述，．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求橢圓的方程，及橢圓中等式關系的證明，解題關鍵是將等式關系轉(zhuǎn)化為.本題第二問中，過，分別作軸的垂線段，，可得到，即可將轉(zhuǎn)化為，進而只需證明，即證明.考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．25．已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點F的距離為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于P點，設，試判斷是否為定值？請說明理由．【答案】（1）；（2）是定值-4，理由見解析.【分析】（1）由題意可得，，，可求得橢的圓方程.（2）設直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立整理得：，設，，由一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得，再根據(jù)向量的坐標運算表示出，，代入計算可求得定值.【詳解】（1）由題可得，又，所以，，因此橢圓方程為，（2）由題可得直線斜率存在，設直線的方程為，由消去，整理得：，設，，則，又，，則，，由可得，所以，同理可得，所以，所以，為定值-4.【點睛】本題考查直線與橢圓的定值問題，關鍵在于聯(lián)立方程組，得出交點的坐標的關系，將目標條件轉(zhuǎn)化到交點的坐標上去，屬于中檔題.四、填空題26．已知A、B分別是雙曲線的左右頂點，M是雙曲線上異于A、B的動點，若直線MA、MB的斜率分別為，始終滿足，其中，則C的離心率為______．【答案】【分析】設出的坐標，利用直線的斜率的乘積，結(jié)合已知條件，推出斜率乘積，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可.【詳解】設，由M是雙曲線上異于A、B的動點，若直線MA、MB的斜率分別為，則，又，則，由，得，因為，所以，可得顯然不成立；則，所以，所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：求雙曲線離心率的值的常用方法：由或的值，得；列出含有的齊次方程，借助消去，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程求解；27．在平面直角坐標系中，，分別為橢圓的左、右焦點，，分別為橢圓的上、下頂點，直線與橢圓的另一個交點為，若的面積為，則直線的斜率為______.【答案】【分析】由橢圓的性質(zhì)結(jié)合三角形面積可得，進而可得，由直線斜率公式化簡可得、，運算即可得解.【詳解】設，則，由題意，，所以，所以，所以，所以直線的斜率，設點，則，即，所以，又，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了橢圓性質(zhì)的應用及直線與橢圓的綜合應用，考查了運算求解能力，屬于中檔題.新高考數(shù)學培優(yōu)專練共39講（附解析版）目錄如下。全套39講（附解析）word版本見：高考高中資料無水印無廣告word群559164877新高考數(shù)學培優(yōu)專練01圓錐曲線中的弦長問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學培優(yōu)專練02圓錐