分塊對(duì)角矩陣求逆

分塊對(duì)角矩陣求逆分塊對(duì)角矩陣是一種很常見的矩陣形式，它由若干個(gè)對(duì)角塊矩陣拼接而成，因此其對(duì)角線上的元素為一個(gè)子矩陣，非對(duì)角線上的元素均為零。分塊對(duì)角矩陣的求逆是一個(gè)重要的問題，在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，包括線性代數(shù)、數(shù)值分析、計(jì)算機(jī)科學(xué)等。下面就來詳細(xì)講解一下分塊對(duì)角矩陣求逆相關(guān)的知識(shí)。

一、分塊對(duì)角矩陣的表示和性質(zhì)

分塊對(duì)角矩陣可以表示為：

$$D=\begin{bmatrix}D_1&&\\&\ddots&\\&&D_n\end{bmatrix}$$

其中$D_1,...,D_n$是對(duì)角矩陣。可以看出，$D$的對(duì)角線元素是$D_1,...,D_n$中各自對(duì)角線元素的拼接，即：

$$D_{ii}=D_i,\i=1,2,...,n$$

此外，分塊對(duì)角矩陣有如下的性質(zhì)：

1.分塊對(duì)角矩陣的逆也是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣；

2.分塊對(duì)角矩陣的行列式等于各個(gè)對(duì)角塊矩陣的行列式之積，即：

$$\det(D)=\prod_{i=1}^n\det(D_i)$$

3.分塊對(duì)角矩陣的轉(zhuǎn)秩等于每個(gè)對(duì)角塊矩陣的轉(zhuǎn)秩構(gòu)成的對(duì)角矩陣，即：

$$D^T=\begin{bmatrix}D_1^T&&\\&\ddots&\\&&D_n^T\end{bmatrix}$$

二、分塊對(duì)角矩陣求逆的方法

下面介紹兩種求解分塊對(duì)角矩陣求逆的方法。

1.基于逆的求解方法

我們考慮通過計(jì)算$D_i$的逆矩陣$D_i^{-1}$來求$D$的逆矩陣$D^{-1}$。因?yàn)?D_i$是對(duì)角矩陣，所以有：

$$D_i^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{d_{i1}}&&\\&\ddots&\\&&\frac{1}{d_{in_i}}\end{bmatrix}$$

其中$d_{ij}$表示$D_i$的第$i$個(gè)對(duì)角線元素。因此，$D^{-1}$可以寫成：

$$D^{-1}=\begin{bmatrix}D_1^{-1}&&\\&\ddots&\\&&D_n^{-1}\end{bmatrix}$$

不難看出，$D^{-1}$也是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣，且$D_i^{-1}$的對(duì)角線元素為$d_{ij}^{-1}$。

這種方法的時(shí)間復(fù)雜度是$O(n^3)$，主要是計(jì)算每個(gè)對(duì)角塊矩陣的逆矩陣需要$O(n_i^3)$的時(shí)間。

2.基于分塊LU分解的求解方法

我們知道，對(duì)于普通矩陣$A$，可以通過分塊LU分解求得其逆矩陣。類似地，我們可以將分塊對(duì)角矩陣分解為：

$$D=PLU$$

其中，$P$是行置換矩陣，$L$是下三角矩陣，$U$是上三角矩陣。由于$D$為分塊對(duì)角矩陣，$P$和$L$也是分塊對(duì)角矩陣，而$U$是一個(gè)非對(duì)角塊矩陣。因此，$D^{-1}$可以表示為：

$$D^{-1}=U^{-1}L^{-1}P^{-1}$$

進(jìn)一步地，我們可以通過求解$U^{-1}$和$L^{-1}$來得到$D^{-1}$。

具體來說，我們可以先對(duì)每個(gè)對(duì)角塊矩陣$D_i$進(jìn)行LU分解，得到：

$$D_i=P_iL_iU_i$$

其中，$P_i$是行置換矩陣，$L_i$是下三角矩陣，$U_i$是上三角矩陣。由于$D_i$是對(duì)角矩陣，$P_i$和$L_i$也是對(duì)角矩陣，而$U_i$是一個(gè)非對(duì)角塊矩陣。于是，我們可以得到：

$$D_i^{-1}=U_i^{-1}L_i^{-1}P_i^{-1}$$

進(jìn)而，得到分塊對(duì)角矩陣$D^{-1}$：

$$D^{-1}=\begin{bmatrix}D_1^{-1}&&\\&\ddots&\\&&D_n^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}U_1^{-1}&&\\&\ddots&\\&&U_n^{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}L_1^{-1}&&\\&\ddots&\\&&L_n^{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_1^{-1}&&\\&\ddots&\\&&P_n^{-1}\end{bmatrix}$$

此時(shí)，$U_i^{-1}$和$L_i^{-1}$都可以通過簡(jiǎn)單向前/向后代替求解得到。不難看出，這種方法的時(shí)間復(fù)雜度為$O(\sum_{i=1}^nn_i^3)$。

三、總結(jié)

分塊對(duì)角矩陣是一種重要的矩陣形式，其逆矩陣的求解是一個(gè)經(jīng)典的問題。本文介紹了兩種方法來求解分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣，即