2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)以及答案解析(全國(guó)2卷)

2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)以及答案解析(全國(guó)2卷).設(shè)集合A={xIxλ2-5x+6>0},B={xlx-l<O},則A∩B=OAo(-∞91)Bo(-2,1)Co(-3,-1)Do(3,+∞)解析：將xzκ2-5x+6=0化為(x-2)(x-3)>0,得至Uχ∈G∞,2)U(3,+∞),將X-IVO化為XV1,得到B={xlxvl},所以A∩B=(-∞,l)o.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于OAo第一象限B。第二象限C。第三象限D(zhuǎn)。第四象限解析：實(shí)部為-3,虛部為2,所以該點(diǎn)位于第二象限。.已知lz-3l=2,lz+(3+ti)l=l,則IZl=OAo-3Bo-2Co2Do3解析：將IZ-引=2化為lz-3l八2=4,得到(z-3)(z-3*)=4,其中z*為Z的共軻復(fù)數(shù)，將lz+(3+ti)l=l化為lz+(3+ti)l八2二1,得到(z+(3+ti))(z*+(3-ti))=l,將Z展開(kāi)得到z=x+yi,代入兩式，化簡(jiǎn)得至Uxλ2+yλ2-6x+4=0和X八2+(y+t)八2=4,聯(lián)立兩式，解得x=l,y=-2-t,代入IZl八2=x八2+y八2,得到lzl=2.4.2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就。實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行。L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上。設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為乂2,地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：M1M2∕(M1+M2)(R+r)^2=G(M1+M2)∕r^2.設(shè)α=GM2∕R^2，由于ɑ的值很小，因此在近似計(jì)算中α≈3α^3,則r的近似值為()A。RB。R/3C。R/9D。3R解析：將方程化簡(jiǎn)得到M3-3aA3rA2-3RaA3r-2M1RA2aA3=0，由于α的值很小，所以r≈Ro.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分。7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()A。中位數(shù)B。平均數(shù)C。方差D。極差解析：去掉最高分和最低分后，中位數(shù)和平均數(shù)都可能發(fā)生變化，方差和極差都會(huì)發(fā)生變化，唯獨(dú)中位數(shù)不變。.若a>b,則(a+b)(a-b)<a^2-b^2.解析：將左邊化簡(jiǎn)得到(a+b)(a-b)=a^2-b^2+ab-ba=a^2-b^2,所以(a+b)(a-b)<a^2-b^2..沒(méi)有明顯的格式錯(cuò)誤或問(wèn)題段落。.小幅度改寫每段話：A。比較大小的四個(gè)式子，分別是ln(a-b)o0.3a。O.lal。Ibl。.平面α與β平行的充要條件是：α內(nèi)有兩條相交直線與β平行。.若拋物線y^2=2px(po0)的焦點(diǎn)是橢圓χ^2∕4+y^2∕9=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則P=8..下列函數(shù)中，以f(x)=lcos(2x)為周期且在區(qū)間(-π∕2.π∕2)單調(diào)遞增的是f(x)=Sinlxlo10.已知α∈(0.π∕2),且2sin^2α=cos2α+1,則Sina=1/2..設(shè)F為雙曲線C：x^2∕a^2-y^2∕b^2=1(a。0.bo0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x^2+y^2=a^2交于P,Q兩點(diǎn)。若IPQI=IOFI,則C的離心率為2/3..設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0.1]時(shí)，f(x)=x(x-1)o若對(duì)任意x∈(-∞om],都有f(x)≥-1/2,則m的取值范圍是(-1.+∞)o填空題：.經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98..若f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)X<0時(shí)，f(x)=-eaxo若f(ln2)=8,則a=-4.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。若b=6,a=2c,則4ABC的面積為6√3.16.該半正多面體共有30個(gè)面，其棱長(zhǎng)為2∕√3.23.已知$出乂)=反也反+反-21(乂也)$。1)當(dāng)$2=1$時(shí)，求不等式$f(x)<0$的解集；2)當(dāng)$乂\山(-\山仕丫,1)$時(shí)，$f(x)<0$,求$a$的取值范圍。1)當(dāng)$2=1$時(shí)，$f(x)=lx-1lx+lx-2l(x-1)$。當(dāng)$x0$，$lx-2l0$，$lx-2l>0$，$f(x)>0$。綜上所述，$f(x)<0$的解集為$(-\infty,1)$。2)當(dāng)$乂\山(-\山仕丫,1)$時(shí)，$f(x)=lx-alx+lx-2l(x-a)2$時(shí)，$lx-al>0$，$lx-2l0$。綜上所述，$a\in(1,2]$。3.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可以得到a3=-1，b3=-1，因此C選項(xiàng)正確。lal=l-1l=1，與b不相等，因此排除D選項(xiàng)。因此答案為Co.對(duì)于選項(xiàng)A,α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行，因此α與β要么相交，要么平行；對(duì)于選項(xiàng)B,α內(nèi)有兩條相交直線與β平行，因此α與β要么相交，要么平行；對(duì)于選項(xiàng)C,a,β平行于同一條直線，因此α與β要么相交，要么平行；對(duì)于選項(xiàng)D,α,β垂直于同一平面，因此α與β要么相交，要么平行。因此答案為B。.根據(jù)拋物線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)列出方程，可以得到3p-p=64，解得p=8.因此答案為Do.對(duì)于選項(xiàng)A,f(x)=sinlxl不是周期函數(shù)，因此排除；對(duì)于選項(xiàng)B,f(x)=coslxl是周期為2π的函數(shù)，因此排除；對(duì)于選項(xiàng)C,f(x)=lsin2xl?區(qū)間［0,π∕2］單調(diào)遞增，在區(qū)間［π∕2,π］單調(diào)遞減，因此排除；對(duì)于選項(xiàng)D,f(x)=lcos2xl在區(qū)間［0,π∕4］單調(diào)遞增，在區(qū)間［π∕4,π∕2］單調(diào)遞減，在區(qū)間［π∕2,3π∕4］單調(diào)遞增，在區(qū)間［3π∕4,π］單調(diào)遞減。因此答案為Do.根據(jù)二倍角的三角函數(shù)公式,可以化簡(jiǎn)已知式,得到4sinacosα=2cos2α，結(jié)合角的范圍可以得到sina>0,cosα>0,因此CoSa=2sinαo根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以得到sin2a+cos2a=sin2a+(2sina)2=5sin2a=1,因此解得Sina=±1∕√5.因?yàn)閍∈(0,π∕2),所以sina>0，因此答案為B。.根據(jù)題意畫(huà)出圖形，可以求出PQ的長(zhǎng)度為√(a2-c2),由于IPQi=IOFI，因此可以列出2a-ea=c,代入?2=Η2上2,可以得到e=√(1-b2∕a2)。因此答案為A。點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，需要根據(jù)給定條件推導(dǎo)出函數(shù)的解析式，并結(jié)合圖像進(jìn)行分段討論。改寫時(shí)可以將公式整理得更加清晰，例如將分段的解析式單獨(dú)列出來(lái)，方便閱讀。因?yàn)?f(x+1)=2f(x)$，所以$f(x)=2f(x-1)$。根據(jù)這個(gè)遞推式，可以得到以下分段解析式：當(dāng)$x\in(-\infty,1]$時(shí)，$f(x)=x(x-1)\in[-\infty,0]$；當(dāng)$x\in(1,2]$時(shí)，$x-1\in(0,1]$，所以$f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)\in[-\infty,0]$；當(dāng)$x\in(2,3]$時(shí)，$x-1\in(1,2]$，所以$f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3)\in[-1,0]$。當(dāng)$x\in(2,3]$時(shí)，由$4(x-2)(x-3)=0$解得$x=2$或$x=3$。如果對(duì)任意$x\in(-\infty,m]$,都有$f(x)\geq-1$,那么$m\leq3$。因此選項(xiàng)B正確。點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，需要根據(jù)給定條件列出方程并解出未知數(shù)的值。改寫時(shí)可以將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，例如將“對(duì)任意$x$”轉(zhuǎn)化為$\forallX$。根據(jù)奇函數(shù)的定義，對(duì)于任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。因此$f(-\ln2)=-f(\ln2)$，而已知$f(-\ln2)=-8$，所以$f(\ln2)=8$。又因?yàn)?f(x)=-ae\ax}$，所以$f(\ln2)=-ae^{-a'ln2}=-a/2$。因此$a=-3$，答案為$-3$。點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的基本知識(shí)，需要根據(jù)給定條件列出方程并解出未知數(shù)的值。改寫時(shí)可以將公式整理得更加簡(jiǎn)潔，例如將面積公式的三角函數(shù)表達(dá)式合并。根據(jù)余弦定理，有*b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$。代入已知條件$b=6$、$a=2c$和$B=\pi/3$，得至U$i2=12$。根據(jù)三角形的面積公式$S_{\triangleABC}=ac?sinB=c^2?sin8/2$,代入已知條件，得到$S_{\triangleABC}=6$。因此答案為$6$。.分析：本題講述了一個(gè)半正多面體，其中中間層為正八棱柱，共有26個(gè)面，棱長(zhǎng)為中間層正八棱柱的棱長(zhǎng)加上兩個(gè)棱長(zhǎng)的cos45倍。解答：該半正多面體共有8+8+8+2=26個(gè)面，設(shè)其棱長(zhǎng)為X,則x+x*cos45=-1,解得x=-1.故答案為26.點(diǎn)評(píng)：本題考查了球內(nèi)接多面體，屬于中檔題。.分析：本題要求證明BE垂直于平面EB1C1,并求出二面角BEC1的正弦值。解答：證明：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C1垂直于平面人8人181，因此B1C1垂直于8￡；又因?yàn)锽E垂直于EC1，所以BE垂直于平面EB1C1.解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=AIE=1，因?yàn)锽E垂直于平面EB1C1，所以BE垂直于￡81，因此AB=1，所以E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，C(0,0,0)。因?yàn)锽C垂直于EB1，所以EB1垂直于面EBC，所以取平面EBC的法向量為(-1,0,1)，設(shè)平面ECC1的法向量為(x,y,z)，由點(diǎn)E在平面ECC1上得到方程x+y+z=2.又因?yàn)锽C垂直于EC1,所以EC1垂直于平面EBC,所以平面EBC的法向量也是平面EB1C1的法向量，即(0,-1,1),所以(x,y,z)與(0,-1,1)垂直，又因?yàn)閤+y+z=2所以(x,y,z為(1,-1,0)。因此cos=-1∕√6,所以sin=√(1-1∕6)=√5∕√6.點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題。.分析：本題要求求出比賽雙方平了10:10后，甲獲勝第2個(gè)球的概率，以及甲獲勝第4個(gè)球且比賽結(jié)束的概率。解答：設(shè)雙方10:10平后的第k個(gè)球甲獲勝為事件Ak(k=1,2,3.)。則P(X=2)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3A4)+。其中P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A3)，P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A4)+P(A1)P(A3)P(A4)+P(A2)P(A3)P(A4)，以此類推。因此P(X=2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+。=P(AI)P(A2)/(1-P(A1))。P(X=4且甲獲勝)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A3)P(A4)+P(A2)P(A3)P(A4)。因此P(X=4且甲獲勝)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)∕P(A1A2A3)+P(A1)P(A3)∕P(A1A3)+P(A2)P(A3)/P(A2A3)+P(A1)P(A2)P(A4)/P(A1A2)+P(A1)P(A4)/P(A1A4)+P(A2)P(A4)/P(A2A4)+P(A3)P(A4)/P(A3A4)。點(diǎn)評(píng)：本題考查了概率計(jì)算的基本方法，考查了條件概率、乘法原理等知識(shí)，屬于中檔題。x,x)處的斜率為1,與曲線y=lnx的切線斜率相同，因此兩個(gè)曲線在點(diǎn)(1，0)處相切，證畢．點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)的求法以及曲線的切線方程,是中檔題．需要注意格式錯(cuò)誤和表述不清晰的地方,進(jìn)行適當(dāng)?shù)母膶懞托拚?。剔除下面文章的格式錯(cuò)誤,刪除明顯有問(wèn)題的段落,然后再小幅度的改寫每段話。21．【分析】(1)利用直接法不難得到方程；2)⑴設(shè)P(x,y)，則Q(-χ,-y),E(x,),利用直線QE的方程與橢圓方程聯(lián)立求得G點(diǎn)坐標(biāo)，去證PQ,PG斜率之積為-1；打)利用S=函數(shù)可得最值.解答】解：(1)由題意得，y=x+1∕x，代入已得數(shù)據(jù)，并對(duì)換元，利用“對(duì)號(hào)”整理得曲線C的方程：x^3-2x^2+x-2=0,???曲線C是焦點(diǎn)在X軸上不含長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓；2)(i)設(shè)P(x,y)，則Q(-x,-y),E(x,),G(xG,yG),.,?直線QE的方程為：y=x,與x^2∕4+y^2=1得y=√(1-x^2∕4),聯(lián)立消去y,得x^2+4y^2=4,Λy=√(4-x^2)∕2,把y代入x+1/x,得kPG=-1∕2x,JkPQxkPG=-I,???PQ⊥PG,故△PQG為直角三角形；ii)S=1∕2×PQ×PG,設(shè)PG=x,PQ=y,??.丫二1僅，利用“對(duì)號(hào)”函數(shù)f(t)=2t+1∕t在［2,+∞)的單調(diào)性可知，f(t)單調(diào)遞增，f(2)=5,故S=5∕2,(此時(shí))x=2,y=1∕2,故^PQG面積的最大值為5/2.點(diǎn)評(píng)】此題考查