矩陣的初等變換及線性方程組習題

關(guān)于矩陣的初等變換及線性方程組習題第1頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三第三章矩陣的初等變

換與線性方程組第2頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三（第行的倍加到第行上，記作）.一、內(nèi)容提要（一）初等變換定義1

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:（i）對調(diào)兩行（對調(diào)兩行，記作）；

（ii）以數(shù)乘某一行中的所有元素（第行乘，記作)（iii）把某一行所有元素的倍加到另一行對應(yīng)的元素上去；

第3頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三（記號：“”換為“”）矩陣與列等價；記作；

若矩陣經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣，則稱陣與等價；記作；

矩陣與行等價；記作；

若矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣，則稱矩定義2

若矩陣經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣，則稱注（1）將定義中“行”改為“列”，稱為矩陣的初等列變換；（2）初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．第4頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三（二）初等矩陣1．定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為

2．三種初等矩陣，，.

行列式：，，.

逆矩陣：,,.作用：“左乘變行，右乘變列．”初等矩陣．

第5頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三（三）矩陣的秩

1．定義設(shè)矩陣中有一個不等于的階子式，且所有

階子式（如果存在的話）全為,則稱為的最高階非零子式．數(shù)稱為矩陣的秩，記為.

規(guī)定：零矩陣的秩為．

2．性質(zhì)（1）.（2）.（3）若，則.（4）若可逆，則.第6頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三3．求法（1）定義法；（四）線性方程組的解1．有非零解；2．有解，；即（1）當時，有唯一解；（2）當時，有無窮多解；（3）當時，無解．3．通解的求法:初等行變換法．（2）利用初等行變換化為與之等價的行階梯形

矩陣．非零行的行數(shù)就是的秩．

第7頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三

存在可逆陣、，使．（五）一些重要結(jié)論1．可逆（為初等矩陣，）．2．逆矩陣的求法．第8頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三二、典型例題舉例

（一）填空題【例1】給矩陣左乘一個初等方陣，相當于對施行一次相應(yīng)的

；給矩陣右乘一個初等方陣，相當于對施行一次相應(yīng)的

.分析本題是考查初等方陣的性質(zhì)．解初等行變換；初等列變換．第9頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三【例2】

，

，

.分析本題是考查初等方陣的定義及性質(zhì)．解；；．【例3】設(shè)矩陣，,則逆矩陣

.分析本題可利用初等行變換法求逆矩陣．

解．第10頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三可知，的任何階子式均為，故此時，所以分析本題是考查矩陣和伴隨矩陣秩之間的關(guān)系．由

解．【例4】設(shè)4階方陣A

的秩為2，則其伴隨矩陣的秩為

.

注與的秩的一般關(guān)系是

.【例5】設(shè)是矩陣，的秩，而，分析本題是考查矩陣秩的性質(zhì)．因，所以可逆，解．

.

從而第11頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三【例6】已知矩陣的秩為，矩陣的秩為，則的秩為

.

分析本題是考查列乘行形式的矩陣秩的性質(zhì)．因，

，故與均至少有一個非零元，所以也至少有一個非零元，從而；又的各行元素對應(yīng)成比例，

所以的任何階子式均為，故.可見.解．注一般結(jié)論：設(shè)，均為非零列矩陣，則.第12頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三分析本題是考查初等方陣的性質(zhì)及逆．由于與

互為逆矩陣，所以，故應(yīng)選.

..【】..解選.【例2】設(shè)，是3階初等方陣，則等于

.

.

.

.【】

【例1】設(shè)A是n

階方陣，則下列各式中正確的是（二）選擇題第13頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三知應(yīng)選.矩陣的第三行，故應(yīng)選.分析本題是考查初等方陣的性質(zhì)．由于為用乘解選.【例3】設(shè)線性方程組有唯一解，則必有.

.

..

【】

分析本題是考查線性方程組有唯一解的條件．由解選.【例4】設(shè)為矩陣,為矩陣，若方程組

.

.

.

.

【】

有無窮多解，則必有第14頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三

知應(yīng)選.分析本題是考查線性方程組有無窮多解的條件．由：

解選.第15頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三（三）計算題【例1】求矩陣的逆矩陣．分析本題A為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求逆陣.

解第16頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三

所以第17頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三首元所在列的原矩陣中尋找A的最高階非零子式．將A

化為行階梯形矩陣，則與之等價的行階梯形矩陣的非零

行的行數(shù)就是A的秩．另外，可在階梯形矩陣中非零行非零

【例2】求矩陣的秩，并求一最高階的非子式．分析

本題中A

為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求秩—

解因所以

因，所以即為一個最高階的非零子式.第18頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三【例3】設(shè)矩陣與滿足，其中

（1）求；（2）求.

分析本題為常規(guī)的解矩陣方程題型．一般方法是先將矩陣

解（1）由，得；因

所以

方程化為基本型，再用初等行變換法求未知矩陣．（2）因，所以.第19頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三【例4】求解齊次線性方程組

分析本題為解齊次線性方程組題．一般方法

①將系數(shù)矩陣作初等行變換化為行最簡形；

②由判斷解的情況；

③由最簡形得同解方程組；

④選擇非自由未知數(shù)，寫出通解．

解因

同解方程組為

第20頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三通解為，

【例5】設(shè)非齊次線性方程組.問取何值

時，方程組有解；在方程組有解時，求出其通解．

第21頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三分析本題為解含參數(shù)的非齊次線性方程組題，是個很重要

的典型題．一般方法

①將增廣矩陣作初等行變換化為行最簡形；

②由與的關(guān)系判斷解的情況，由此得相應(yīng)的取值；

③由最簡形得同解方程組；

④選擇非自由未知數(shù)，寫出通解．

解因

所以，當，即時，方程組才有解，此時

第22頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三同解方程組為，通解為

第23頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三【例6】設(shè)，，求.（教材P78,習題6）

解由可得，因

由上述結(jié)果可知可逆，且

第24頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三【例7】求解非齊次線性方程組

.

(教材P.79,習題14(3))

解所以，故原方程組有無窮多解

.第25頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三且同解方程組為,

令，，則得通解

第26頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三【例8】問取何值時，非齊次線性方程組（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個解？

（教材P.80,習題16）第27頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三解法1

對增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣

可見（1）當且時，