教育的目的讀書(shū)筆記

那首先，從這本書(shū)的整體上來(lái)看，懷特海在第一章首先提出了他所認(rèn)為的教育應(yīng)該是什么，之后，從人的身心發(fā)展的角度給出了教育應(yīng)當(dāng)遵循的三個(gè)節(jié)奏，之后，解釋了文學(xué)課程、科學(xué)課程和技術(shù)課程這三種主要的教育形式之間的關(guān)系。最后，介紹了數(shù)學(xué)課程以及大學(xué)的作用?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)課程這一章正是從具體的應(yīng)用的層面，講了學(xué)校的數(shù)學(xué)課程到底應(yīng)該教會(huì)學(xué)生什么，要安排怎樣的教學(xué)內(nèi)容，是懷特海教育理念的具體體現(xiàn)。這一章總的來(lái)說(shuō)是圍繞著這樣三個(gè)問(wèn)題展開(kāi)的。為什么要進(jìn)行教育改革？怎樣進(jìn)行教育改革？（也就是數(shù)學(xué)課到底應(yīng)該涵蓋哪些內(nèi)容）實(shí)施教育改革中可能存在的一些問(wèn)題。接下來(lái)，我們就通過(guò)一些具體的例子來(lái)看看懷特海認(rèn)為的數(shù)學(xué)課程是怎樣的。一、為什么要進(jìn)行教育改革首先，懷特海反思了他當(dāng)時(shí)所處的教育背景，他認(rèn)為：就這門科目的教育用途來(lái)說(shuō)，我們必須承認(rèn)，到目前為止，在普通的受教育人群中，數(shù)學(xué)水平還是處于一個(gè)令人悲哀的低水準(zhǔn)上。正是由于他看到了這一點(diǎn)，所以才有了希望實(shí)施教育改革的想法，希望提出自己所理想中的數(shù)學(xué)課程。至于為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的情形，懷特海也給出了自己的想法：讓這門學(xué)科對(duì)于學(xué)生而言，成為一種快樂(lè)的真正理由，也就是阻礙它作為一種有用的教育工具的原因，即，來(lái)自一般原理的互相影響的大量推論，它們的錯(cuò)綜復(fù)雜性，它們與作為論點(diǎn)的概念之間明顯的距離，各種各樣的方法，它們純粹的抽象性質(zhì)，這種抽象性質(zhì)作為數(shù)學(xué)的禮物，帶來(lái)永恒的真理。舉個(gè)例子，歐幾里得的《幾何原本》實(shí)際上也就是從最開(kāi)始的很簡(jiǎn)單的公理出發(fā)的，非常簡(jiǎn)單一目了然的，但是由它們出發(fā)卻推出來(lái)了四百多個(gè)命題，如果我們?cè)倏匆豢此玫降倪@一系列推論，就很難想象它和最原始的概念到底有怎樣的聯(lián)系了。也就是說(shuō)“它們與作為論點(diǎn)的概念之間有明顯的距離”。不僅如此，就拿數(shù)字來(lái)說(shuō)，它也是數(shù)學(xué)家用很長(zhǎng)的時(shí)間通過(guò)一步步抽象得到的最終的純粹的符號(hào)表達(dá)，一旦數(shù)學(xué)進(jìn)入了高度抽象的階段，它就脫離了原有的實(shí)際背景，也就顯得相當(dāng)?shù)厣願(yuàn)W。二、如何進(jìn)行教育改革第二點(diǎn)，也是這一章的核心內(nèi)容。如何進(jìn)行教育改革。對(duì)象首先，我們要明確懷特海說(shuō)的理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)課程的實(shí)施對(duì)象。他考慮的是“所有學(xué)生的自由教育”，而不是“職業(yè)化研究”?；氐轿覀儎倓傉f(shuō)到數(shù)學(xué)的深?yuàn)W性。他認(rèn)為數(shù)學(xué)的深?yuàn)W性并不是不好，而是說(shuō)“除了一些被精心挑選出來(lái)的人之外，它們對(duì)教育的影響是不幸的?！币簿褪钦f(shuō)，喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生是非常享受其中的，但是對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，強(qiáng)迫他們?nèi)ッ靼灼渲械纳願(yuàn)W原理是一件很痛苦的事情。我們也沒(méi)有必要這樣做。我們的目的不是要去培養(yǎng)出來(lái)一個(gè)數(shù)學(xué)家，而是一門針對(duì)于所有人的基礎(chǔ)課程。舉個(gè)例子，之前馬老師也說(shuō)到過(guò)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，實(shí)際上學(xué)習(xí)完學(xué)校的數(shù)學(xué)課程以后，將來(lái)只會(huì)有百分之一的學(xué)生去從事和數(shù)學(xué)有關(guān)的職業(yè)，所以，數(shù)學(xué)的有些深?yuàn)W的定理或者結(jié)論，他們將來(lái)也許根本不會(huì)接觸到，比方說(shuō)，如果你是一名廚師，那你會(huì)一邊做飯一邊想想正弦定理嗎？不存在的。讓學(xué)生學(xué)習(xí)這門語(yǔ)言，是為了更好地生活，看待世界可以多一種角度。目標(biāo)也就是說(shuō)，我們所要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)是：學(xué)生能夠通曉抽象思維，能夠認(rèn)識(shí)到它是如何應(yīng)用于特殊而具體的環(huán)境，應(yīng)該知道怎樣在合乎邏輯的調(diào)查研究中使用一般的方法。改革的方向明確了懷特海所針對(duì)的對(duì)象和所希望實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)以后，我們來(lái)看看他認(rèn)為的改革的方向是什么。從整體的方向來(lái)說(shuō)，懷特海認(rèn)為：無(wú)論是在觀念的傳授上，還是在能力的培養(yǎng)中，要與現(xiàn)代的思想相關(guān)，這里所說(shuō)的是在受教育人群中廣泛流行的思想。也就是說(shuō)，我們所做的改革要和當(dāng)前的社會(huì)背景相關(guān)，要與時(shí)俱進(jìn)。舉個(gè)例子，在我們老師生活的年代，數(shù)學(xué)中還要求學(xué)生去手動(dòng)開(kāi)平方，比方說(shuō)根號(hào)2不能用計(jì)算器而是要手算，但是隨著現(xiàn)在的科學(xué)技術(shù)發(fā)達(dá)了，這樣根本就沒(méi)必要，因此也就取消了這個(gè)內(nèi)容。具體地來(lái)說(shuō)，就數(shù)學(xué)這一門課程，懷特海的主要觀點(diǎn)是：“數(shù)學(xué)，若想在普通教育中有用，就必須經(jīng)歷一個(gè)嚴(yán)格的選擇和適應(yīng)的過(guò)程。向青年展示這門科學(xué)，必須摒棄其深?yuàn)W的一面。直面數(shù)學(xué)，它必須直接而簡(jiǎn)練地探討一些具有深遠(yuǎn)意義的一般概念?！币簿褪钦f(shuō)，如果把數(shù)學(xué)比作一棵大樹(shù)的話，我們所要教給學(xué)生的是大樹(shù)的枝干，而不是周圍的這一些細(xì)枝末節(jié)。懷特海認(rèn)為，他所指出的數(shù)學(xué)的核心概念和思想對(duì)所有的學(xué)生來(lái)說(shuō)都是必要的訓(xùn)練，它是一切哲學(xué)思維的基礎(chǔ)。也就是說(shuō)不管你將來(lái)從事什么職業(yè)，你都要掌握這些最基礎(chǔ)的知識(shí)。普通的對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有特別興趣的學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能夠掌握一些一般的方法，只需要學(xué)習(xí)它的核心枝干，而對(duì)數(shù)學(xué)特別感興趣希望深入研究的同學(xué)，可以去深入地關(guān)注它周圍的枝枝葉葉。具體地來(lái)說(shuō)，可以分為以下幾點(diǎn)：知識(shí)&智慧知識(shí)是一些結(jié)果性的內(nèi)容，智慧是掌握知識(shí)的方法。兩者缺一不可。舉個(gè)例子，證明正弦定理的方法有很多，比方說(shuō)傳統(tǒng)法和向量法，如果沒(méi)有一定的知識(shí)基礎(chǔ)，就不知道怎么證明。但是，哪一種方法可以更簡(jiǎn)單地證明出來(lái)呢？這就是智慧的體現(xiàn)。它體現(xiàn)了在解決實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，如何去選用合適的方法去運(yùn)用知識(shí)。要讓學(xué)生擁有智慧，一昧的增加知識(shí)是沒(méi)有作用的。知識(shí)有再多又有什么用呢？學(xué)習(xí)知識(shí)是為了去應(yīng)用，否則再多的知識(shí)也將毫無(wú)價(jià)值。所以，我們?cè)诮虒W(xué)當(dāng)中要教會(huì)學(xué)生的實(shí)際上是如何運(yùn)用知識(shí)去解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)。過(guò)程性教學(xué)&結(jié)果性教學(xué)那么，在傳授必要的數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，應(yīng)該怎么教學(xué)呢？比方說(shuō)，在正弦定理的教學(xué)中，如果說(shuō)學(xué)生學(xué)習(xí)完了這一節(jié)的內(nèi)容以后，你去問(wèn)他學(xué)到了什么，結(jié)果他所記得的就只是正弦定理的結(jié)論，那又有什么用呢？數(shù)學(xué)的結(jié)論千千萬(wàn)萬(wàn)，僅僅記住了結(jié)論毫無(wú)價(jià)值，對(duì)我們將來(lái)的學(xué)習(xí)生活沒(méi)有任何作用。在這里，正弦定理的教學(xué)其實(shí)蘊(yùn)含了很多數(shù)學(xué)的思想方法，比方說(shuō)從最開(kāi)始的直角三角形的結(jié)論推廣到一般的時(shí)候的特殊到一般的思想，在證明正弦定理的過(guò)程中，展現(xiàn)的分類和轉(zhuǎn)化的思想，這些將要比正弦定理本身更有利用價(jià)值。學(xué)生將來(lái)走入社會(huì)以后，可能會(huì)面對(duì)一系列陌生的問(wèn)題，這時(shí)候，他可能會(huì)想到，我以前遇到過(guò)類似的問(wèn)題嗎？轉(zhuǎn)化的思想就起了重要的作用。所以，在教學(xué)的過(guò)程中，我們要關(guān)注的不是一個(gè)個(gè)知識(shí)性的結(jié)果，而是要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，為將來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。形式&本質(zhì)過(guò)分地注重形式化會(huì)有損于學(xué)生對(duì)知識(shí)本身的理解。舉個(gè)例子，數(shù)學(xué)歸納法。記得在高中的練習(xí)上，最常見(jiàn)的好像就是類似于這種，給出一個(gè)關(guān)于n的根本不知道從哪得到的等式，讓我們?nèi)プC明。那怎么辦呢？下意識(shí)地就去套用數(shù)學(xué)歸納法的步驟，1成立，n成立，通過(guò)各種變形推導(dǎo)n+1也是成立的。給人的感覺(jué)好像就是，我已經(jīng)知道了這個(gè)命題了，然后去用數(shù)學(xué)歸納法去驗(yàn)證一下，好像就是數(shù)學(xué)歸納法是事后裝模做樣的工作。但是實(shí)際上完全不是這樣。華羅庚在《數(shù)學(xué)歸納法》書(shū)里面就指出了，數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上蘊(yùn)含的思想是“1即n，n即1”的想法，它不是事后的驗(yàn)證工作，而可以用它來(lái)發(fā)現(xiàn)新的命題。比方說(shuō)，當(dāng)我們有了一個(gè)特殊的結(jié)論以后，它相當(dāng)于就是1，然后，可以用特殊到一般的思想考慮將它推廣到一般性的結(jié)論，當(dāng)我們有了一般性的結(jié)論以后，雖然可能有無(wú)數(shù)個(gè)，但在我的眼中，它只是一個(gè)1而已。用在證明當(dāng)中，也就是從n到n+1的推導(dǎo)思想常常和1到2所用的方法是類似的，只是數(shù)字變大了，但是方法是一樣的，又有什么關(guān)系呢？比方說(shuō)，看帽子顏色的例子，或者是這樣棋盤(pán)填方塊的例子，都展現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法的巧妙。再舉個(gè)例子，函數(shù)的定義。我們都知道，高中的函數(shù)定義和初中的函數(shù)定義是有區(qū)別的，可能有的老師會(huì)這樣來(lái)引入：判斷y=1是函數(shù)嗎？這樣的問(wèn)題如果說(shuō)用初中的變量說(shuō)，就沒(méi)辦法判斷，那老師就說(shuō)了，初中的概念不嚴(yán)謹(jǐn)，所以我們來(lái)學(xué)習(xí)新的函數(shù)的概念。那么問(wèn)題來(lái)了，既然說(shuō)初中的概念不嚴(yán)謹(jǐn)，解決不了這樣的問(wèn)題，那干嘛還會(huì)出現(xiàn)在課本中呢？直接給嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x不就得了嗎？實(shí)際上，我們可以回顧一下函數(shù)定義的演變歷史：時(shí)間數(shù)學(xué)豕函數(shù)的定義1673年來(lái)布尼茨函數(shù)表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量的縱坐標(biāo).1748年歐拉變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是由這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的.1755年函數(shù)的變量定義：如果某變量，以如下的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù).（現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教科書(shū)采用的定義）1821年柯西變量：依次取許多互不相同的數(shù)值的量叫做變量?定義了自變量與因變量.函數(shù)：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值也可隨之而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)稱之為“自變數(shù)”其他各變數(shù)稱為函數(shù)1851年黎曼函數(shù)的對(duì)應(yīng)定義：假定Z是一個(gè)變量，如果，對(duì)它的每一個(gè)數(shù)值，都有未知量W的一個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù).(現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書(shū)采用的定義)1939年布爾巴基學(xué)派函數(shù)的關(guān)系定義：如果定義在X,Y上的關(guān)系F滿足：對(duì)于每一個(gè)X€X，都存在唯一的y€Y，使得(x,y)€F側(cè)稱F為函數(shù).最開(kāi)始是萊布尼茨提出的函數(shù)定義，從定義中我們也可以看到，函數(shù)是結(jié)合了圖象進(jìn)行的，相當(dāng)直觀，后來(lái)就是歐拉給出的變量說(shuō)定義，從兩個(gè)變量的相互關(guān)聯(lián)給出函數(shù)的定義，接下來(lái)，柯西做了一些補(bǔ)充，現(xiàn)在的高中教材采用的是黎曼的函數(shù)的對(duì)應(yīng)定義，最后是布爾巴基學(xué)派給出的關(guān)系定義。我們可以從這其中的變化看到，函數(shù)的定義由最初的直觀逐漸一步步抽象成為符號(hào)化的定義。數(shù)學(xué)家們都需要這么長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)抽象，又怎么能指望學(xué)生可以一步抽象到位呢？所以，教材中就采用了這樣兩種函數(shù)的定義方式，幫助學(xué)生一步步地抽象出它的概念。在函數(shù)的教學(xué)當(dāng)中，我們也應(yīng)該遵循學(xué)生的身心發(fā)展，從浪漫階段出發(fā)，用生活中大量的實(shí)際問(wèn)題來(lái)引入，逐漸走入精確階段，最后再回歸實(shí)際生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型，而不應(yīng)該糾結(jié)于這樣沒(méi)有意義的概念辨析。微觀&宏觀懷特海的觀點(diǎn)是：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的不是盲目堆積特殊數(shù)學(xué)定理，而是最終認(rèn)識(shí)到，之前多年的學(xué)習(xí)說(shuō)明了數(shù)字、數(shù)量和空間的關(guān)系，這些關(guān)系才是最重要的。換句話說(shuō)，也就是教會(huì)學(xué)生見(jiàn)樹(shù)也要見(jiàn)林，二者缺一不可。關(guān)于這一點(diǎn)，我們可以繼續(xù)剛剛函數(shù)的定義的例子。實(shí)際上，初中的函數(shù)定義的變量說(shuō)是一種動(dòng)態(tài)的定義，是從宏觀上來(lái)把握函數(shù)的變化趨勢(shì)，而高中的函數(shù)則逐漸進(jìn)入精確階段，通過(guò)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)刻畫(huà)集合間元素的對(duì)應(yīng)法則，是一種微觀層面上的描述。我們不能夠說(shuō)微觀和宏觀哪一種更好，只能說(shuō)各有千秋。比方說(shuō)，當(dāng)我們說(shuō)到變化趨勢(shì)的時(shí)候，我們就是從宏觀的角度來(lái)考察，一次函數(shù)是一條直線，二次函數(shù)有升有降，指數(shù)函數(shù)是爆炸性增長(zhǎng)等等，就像“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”一樣，宏觀的層面能讓我們對(duì)這個(gè)函數(shù)有一個(gè)整體的把握。但是，有些時(shí)候僅僅有宏觀也是不夠的。比方說(shuō)狄利克雷函數(shù)，它在有理數(shù)的時(shí)候取值是1，無(wú)理數(shù)的時(shí)候取值是0，它經(jīng)常作為數(shù)學(xué)分析中的反例出現(xiàn)。只是靠宏觀很難想象，那我們只有進(jìn)行微觀的靜態(tài)描述，比方說(shuō)它在任意一個(gè)點(diǎn)處都沒(méi)有極限等等。微觀和宏觀的把握用我之前看到的一句話來(lái)描述就是：“入乎其內(nèi)，故能寫(xiě)之，出乎其外，故能觀之?！眰€(gè)性發(fā)展當(dāng)然，我們這里說(shuō)的是針對(duì)于所有學(xué)生的數(shù)學(xué)教育，但是，每一位學(xué)生都有不同的個(gè)性，我們?cè)鯓幽軌蛟诮虒W(xué)中關(guān)注到不同人的個(gè)性發(fā)展呢？也就是課標(biāo)當(dāng)中說(shuō)到的“要讓不同的人有不同的發(fā)展?！边@里，懷特海給出了自己的想法，怎么引導(dǎo)那些更聰明的學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展?！昂翢o(wú)疑問(wèn)，在一定程度上，它需要對(duì)整體所作的工作有一個(gè)一般的勘漏過(guò)程，不過(guò)分地拘泥于細(xì)節(jié)，以便突出最初應(yīng)用的一般概念，以及這些概念在進(jìn)一步研究時(shí)存在的可能的重要性?！币簿褪钦f(shuō)，要對(duì)整體所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行一個(gè)檢查，歸納概念的本質(zhì)內(nèi)涵，進(jìn)一步提出新的問(wèn)題。這里懷特海提出了兩種方法4.1明顯進(jìn)入一個(gè)的課題舉個(gè)例子，我們大學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)了很多數(shù)學(xué)內(nèi)容，比方說(shuō)泛函分析、實(shí)變函數(shù)、解析幾何、點(diǎn)集拓?fù)涞鹊龋鋵?shí)我們?cè)趯W(xué)習(xí)完了以后可以回過(guò)頭來(lái)思考一下，這些內(nèi)容之間的聯(lián)系是什么，能不能提出一個(gè)新的問(wèn)題。實(shí)際上我們可以發(fā)現(xiàn)，泛函分析和點(diǎn)集拓?fù)洚?dāng)中都涉及到了距離這個(gè)概念。喜歡鉆研的學(xué)生可能會(huì)在學(xué)習(xí)距離的時(shí)候，通過(guò)歸納的方式來(lái)思考距離的本質(zhì)，比方說(shuō)通過(guò)查閱資料以后可以進(jìn)一步理解甚至歸納出距離的本質(zhì)定義，也就是正定性、對(duì)稱性和三角不等式，如此一來(lái)可以逐步建立距離空間也就是度量空間的定義，進(jìn)入到泛函分析中去，如果再進(jìn)一步推廣到一般，就是點(diǎn)集拓?fù)洚?dāng)中的拓?fù)淇臻g。4.2數(shù)學(xué)史懷特海提出，另外一種歸納概念的方式是利用數(shù)學(xué)史。舉個(gè)例子，復(fù)數(shù)的引入，可以通過(guò)回顧歷史上數(shù)系的擴(kuò)充來(lái)讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，數(shù)系的每一次擴(kuò)張的必要性和應(yīng)用價(jià)值。讓數(shù)學(xué)的課堂不再僅僅有科學(xué)知識(shí)，而更具有人文情懷。邏輯推理懷特海認(rèn)為，數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容一方面是抽象概念的學(xué)習(xí)，另一重要的方面就是學(xué)會(huì)邏輯思維。并且，也由于“代數(shù)的思維領(lǐng)域更為模糊，而空間對(duì)世間萬(wàn)物來(lái)說(shuō)都是非常清楚的事情”，他利用幾何這一知識(shí)，來(lái)說(shuō)明他的觀點(diǎn)。在他看來(lái)，幾何的學(xué)習(xí)可以按照以下幾個(gè)階段來(lái)進(jìn)行。當(dāng)然，并不是一定要按照這個(gè)階段。它們分別是：全等、相似、三角原理、解析幾何、投影幾何從整體上來(lái)理解可以說(shuō)，幾何是關(guān)注了幾何圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變的量。全等保持了距離和角度的不變，相似保持了角度不變，距離可變，相似中又涉及到三角中的一些問(wèn)題，而后，利用幾何代數(shù)化又可以進(jìn)一步研究解析幾何，最后，如果距離和角度都可以改變，就是投影幾何，但是這其中也會(huì)有不變的量——交比。最后一點(diǎn)，就是在改革的