導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性【知識(shí)導(dǎo)圖】【例題精講】一、一次型導(dǎo)數(shù)1、標(biāo)準(zhǔn)一次型例1：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1）；（2）.【分析】求出，分別令，，即可解出的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間.【詳解】（1）,令，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）的定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間和，遞減；在區(qū)間，遞增.所以的減區(qū)間為：和，增區(qū)間為.變式訓(xùn)練：1．已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1），時(shí)，，的單調(diào)增區(qū)間為，時(shí)，，的單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.2、指數(shù)一次型例2：已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】，令，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.3、對(duì)數(shù)一次型例3：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1）.（2）【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由得，令，即，得，從而，令，即，得，此時(shí)為增函數(shù)，又，得增區(qū)間為，令，即，得，此時(shí)為減函數(shù)，減區(qū)間為.二、二次型導(dǎo)數(shù)1、標(biāo)準(zhǔn)二次型例1、設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】，令，則或，列表如下：－31＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增∴的增區(qū)間為；減區(qū)間為；變式訓(xùn)練：1．設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【分析】求得，根據(jù)和的解集，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！驹斀狻坑珊瘮?shù)，可得，令，即，解得或；令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，2．已知函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間；【詳解】的定義域?yàn)椋?，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；3.已知，函數(shù)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】當(dāng)時(shí)，，則令，得；令，得；所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．2、高次函數(shù)型例2.已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值.【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可求解單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?令，得或，或，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,，單調(diào)遞減區(qū)間為，3、指、對(duì)數(shù)二次型例3.已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，，解得.（2）由（1）可知：，.由解得，或，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增；由解得，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減.例4.已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】定義域，，令，即，解得當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間，，單調(diào)減區(qū)間，．例5.已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，令，則即由，得，由，得或，則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．變式訓(xùn)練：1．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，故，所以恒成立，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為三、綜合型1、三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)型例1.（1）設(shè)函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，，所以，令，則或，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上遞增，在上遞減,在上遞增，例2．（1）已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）由，得，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2），函數(shù)定義域?yàn)镽，則且，令，，在上單調(diào)遞增，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：，令則.

當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

所以，，所以，在上單調(diào)遞增.

故的單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)遞減區(qū)間.變式訓(xùn)練：1.（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知.若時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，令，則，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以恒成立.由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.2.已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；【詳解】當(dāng)時(shí)，，，設(shè)又，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.3.已知函數(shù)．討論在上的單調(diào)性；【詳解】，，則；，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．【鞏固練習(xí)】1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，則令，得，即（），此時(shí)單調(diào)遞增；令，得，即（），此時(shí)單調(diào)遞減，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（），單調(diào)遞減區(qū)間（）．2．已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間【詳解】當(dāng)，定義域?yàn)?，，在上單調(diào)遞減，又所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.3．（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】當(dāng)，則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；4．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間．5．已知函數(shù)，其圖象在處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．(1)求a的值；(2)討論的單調(diào)性；【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，，則，所以函在處的切線(xiàn)方程為，又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得；（2）由（1）知；，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞增；6．已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間.【詳解】，令，易得或，令，易得，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是.7．已知函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間；【詳解】由定義域?yàn)橛至?，顯然在單調(diào)遞減，且；∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減8．已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和．9．已如函數(shù).當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】，，則，設(shè)，則恒成