最短路徑問題

最短路徑問題

ShortestPathProblemPractice1.MultipleChoiceQuestions(4questionsintotal)1.(2016AutumnFangshanDistrictFinalExam)IntheisoscelestriangleABCshowninthefigure,thelengthofthebaseBCis4,andtheareais16.TheperpendicularbisectorsofthelegsACintersectACandABatpointsEandF,respectively.IfDisthemidpointofBCandMisamovingpointonthesegmentEF,thentheminimumperimeteroftriangleCDMis()A.6B.8C.10D.122.(2015AutumnTongzhouDistrictFinalExam)IntriangleABCshowninthefigure,∠ABC=60°,BC=6,andCDisoneofthealtitudesoftriangleABC.IfEandFaremovingpointsonCDandBC,respectively,thentheminimumvalueofBE+EFis()A.6B.3C.3D.33.(2014AutumnChangpingDistrictFinalExam)IntheequilateraltriangleABCshowninthefigure,thesidelengthis6,EisapointonAC,ADisthemedianofBC,andPisamovingpointonAD.IfAE=2,thentheminimumvalueofEP+CPis()A.2B.3C.4D.54.(2011AutumnDongchengDistrictFinalExam)Inthefigure,∠AOBisα,Pisafixedpointinside∠AOB,OP=2,andEandFaremovingpointsonOAandOB,respectively.IftheminimumperimeteroftrianglePEFis2,thenα=()A.30°B.45°C.60°D.90°2.Fill-in-the-blankQuestions(5questionsintotal)5.(2016AutumnMentougouDistrictFinalExam)Inthefigure,∠AOB=45°,Pisapointinside∠AOB,PO=10,andQandRaremovingpointsonOAandOB,respectively.TheminimumperimeteroftrianglePQRis_____.6.(2014SpringHaidianDistrictFinalExam)InparallelogramABCDshowninthefigure,EisthemidpointofAB,BFbisects∠ABCandintersectsADatF,∠ABC=60°,andAB=4.TheminimumvalueofPE+PAis_____.7.(2011AutumnChangpingDistrictFinalExam)Inthefigure,∠AOB=30°,Pisapointinside∠AOB,OP=6,P1issymmetrictoPwithrespecttoOB,andP2issymmetrictoPwithrespecttoOA.TheperimeteroftriangleP1OP2is_____,andtheminimumperimeteroftrianglePMN,whereMisamovingpointonOAandNisamovingpointonOB,is_____.8.(2011AutumnHaidianDistrictFinalExam)GivenpointsA(-2,3)andB(3,2),Cisamovingpointonthex-axis.WhenthevalueofAC+BCisminimum,thecoordinatesofpointCare_____.9.(2010AutumnDongchengDistrictFinalExam)Inthefigureshown,∠MON=40°,Pisapointinside∠MON,AisapointonOM,andBisapointonON.WhentheperimeteroftrianglePABisminimum,thedegreemeasureof∠APBis_____.3.ShortAnswerQuestions(15questionsintotal)10.(2014DongchengDistrictSecondMockExam)Wehavelearnedtheknowledgeof"theshortestdistancebetweentwopoints".Itisoftenusedtosolverelatedproblemsofminimizingthesumoftwolinesegments.Thefollowingisaveryfamiliarexerciseforeveryone:已知在直線l的同一側(cè)有點(diǎn)A、B，要在l上確定一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。我們可以作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'，因?yàn)镻B=PB'，所以求AP+PB最小等價(jià)于求AP+PB'最小。顯然當(dāng)A、P、B'在一條直線上時(shí)，AP+PB'最小，因此連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P。類似的方法可以用于解決其他問題。探究：1.在正方形ABCD中，邊長為2，E為BC的中點(diǎn)，P是BD上的一動(dòng)點(diǎn)。連接EP、CP，則EP+CP的最小值是多少？2.在銳角△MON內(nèi)部任意取一點(diǎn)A，在OM、ON上各取一點(diǎn)B、C，組成△ABC，使得△ABC的周長最小。3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(6,4)、B(4,6)，在y軸上找一點(diǎn)C，在x軸上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD的周長最小。求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)。11.在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣。要使所用的輸氣管線最短，泵站應(yīng)該修建在管道的什么地方？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出泵站P的位置，并保留作圖痕跡。12.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，BC邊上的高為4。在BC邊上確定一點(diǎn)P，使得△PDE的周長最小。在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G為邊AD的中點(diǎn)，若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，且EF=1，當(dāng)四邊形CGEF的周長最小時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中確定點(diǎn)E、F的位置。13.已知AB=8，AC=4，BE=2，D為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作CA⊥AB于點(diǎn)A，EB⊥AB于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)CD、DE。求點(diǎn)D滿足什么條件時(shí)，CD+DE的值最小，并用含x的代數(shù)式表示CD+DE的長。解：由于CD和DE都是線段，所以CD+DE的值最小，當(dāng)且僅當(dāng)CD和DE在同一直線上，即點(diǎn)D在AB線段的中垂線上。設(shè)AD=x，則BD=8-x。由于三角形ACD和BDE都是直角三角形，所以CD=sqrt(x^2+4^2)，DE=sqrt((8-x)^2+2^2)。因此，CD+DE=sqrt(x^2+16)+sqrt(x^2-16x+68)。為了求出CD+DE的最小值，我們可以對(duì)其求導(dǎo)數(shù)，令其等于0，解得x=2。代入CD+DE的式子，得到CD+DE的最小值為2sqrt(17)+2sqrt(13)。14.如圖1，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得AP+BP的值最小。參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)AA′與直線l的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BD⊥l，垂足為D。若CP=1，PD=2，AC=1，求AP+BP的值。解：作A′B與l的交點(diǎn)為P′，則A′P′=AP，BP′=BP，且A′P′+BP′=A′B。又因?yàn)锳′B是l的對(duì)稱軸，所以P′D=PD=2，AC=1，BD=BP′-PD=BP-2，所以BP′=BD+PD=BP-2+2=BP。因此，A′P′+BP′=A′B=AB=AP+BP，即AP+BP的值為2。（2）將（1）中的條件“AC=1”去掉，換成“BD=4-AC”，其它條件不變，求AP+BP的值。解：同樣作A′B與l的交點(diǎn)為P′，則A′P′=AP，BP′=BP，且A′P′+BP′=A′B。又因?yàn)锳′B是l的對(duì)稱軸，所以P′D=PD=2，BD=BP′-PD=BP-2，AC=A′C+CP=A′C+1，所以A′C=AC-1=3-BD。因此，A′B=sqrt((3-BD)^2+(8-BD)^2)，即A′P′+BP′=sqrt((3-BD)^2+(8-BD)^2)+BP。為了求出AP+BP的最小值，我們可以對(duì)其求導(dǎo)數(shù)，令其等于0