導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性2分類討論的標準確定技巧1

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性2：分類討論的標準確定【知識導(dǎo)圖】【例題精講】一、求導(dǎo)后參數(shù)混合型導(dǎo)函數(shù)符號主要由其表達式中所含的一次函數(shù)或二次函數(shù)確定.類型1、無限制條件下的直接因式分解型例1．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【分析】求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，令即分類討論的標準：零點a是否在定義域(0,+∞)內(nèi)及零點的大小關(guān)系,即臨界值為.

【詳解】函數(shù)的定義域是．由已知得，．①當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；③當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；④當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．綜上，①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增；

④當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．類型2、有限制條件下的間接因式分解型例2．已知函數(shù)．討論當(dāng)時，單調(diào)性．【分析】求出的定義域和導(dǎo)數(shù)，因為因式的正負決定導(dǎo)數(shù)的正負，由的對稱軸在定義域內(nèi)，考慮即得為臨界值，所以分和兩種情況討論在相應(yīng)區(qū)間上的符號從而可求出的單調(diào)性.【詳解】由題意可知對于二次函數(shù)．當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，二次函數(shù)有2個大于零的零點，分別是，，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時在單調(diào)遞減當(dāng)時在單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減．二、求導(dǎo)后參數(shù)獨立型題型:f(x)=g(x)?ax,求導(dǎo)后f'(x類型1、求導(dǎo)后參數(shù)直接獨立型討論f(x)=2ln?【詳解】由已知,得f'因為x∈[1,2],所以1(1)當(dāng)a?2時,f'(x)?0(2)當(dāng)a?52時,f'((3)當(dāng)2<a<52時,其中x1=a?a所以f(x)在1,類型2、求導(dǎo)后參數(shù)間接獨立型討論函數(shù)f(【分析】f'(x)=ax?1(在確定f'(x)?0,及f'(x即f'(【詳解】由已知得f'(x由于x((1)當(dāng)a?0時,xf'(x)<0,即(2)當(dāng)a?14時,xf'(x(3)當(dāng)0<a<1其中x1=由于x1x2所以f(x)在0,變式訓(xùn)練：1.討論函數(shù)f(【詳解】:由已知,得f'(x(1)當(dāng)a?0時,f'(x)?0(2)當(dāng)a?1時,f'(x)?0(3)當(dāng)0<a<1時,則所以f(x)在?∞,ln?2.討論函數(shù)f(分析:f'(x)=1x?2a(x+1)2(x>0),所以(討論函數(shù)f(分析:f'(x由于f'(x)與xf'(x)的符號是一致的,所以可以先討論xf'三、二次求導(dǎo)型類型1、對數(shù)型二次求導(dǎo)例1．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【分析】求得，發(fā)現(xiàn)無法直接因式分解，也無法直接判斷導(dǎo)數(shù)的正負，故需要構(gòu)造新函數(shù)來判斷值域的范圍來確定導(dǎo)數(shù)的正負；【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)，可得，①當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.類型2、指數(shù)型二次求導(dǎo)例2．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，函數(shù)，討論在的單調(diào)性；【分析】求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)無法直接因式分解，也無法直接判斷導(dǎo)數(shù)的正負，故需要構(gòu)造新函數(shù)來判斷值域的范圍來確定導(dǎo)數(shù)的正負?！驹斀狻恳驗椋栽谟卸x，，設(shè)，則.當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時時，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【鞏固練習(xí)】1．（2023春·山東青島·高二青島市即墨區(qū)第一中學(xué)統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【分析】先求，然后對進行分類討論，根據(jù)單調(diào)性、極值點等知識求得的取值范圍.【詳解】依題意，的定義域為R，求導(dǎo)得，令，得或，若，，，遞增；，，遞減；，，遞增，若，則，在R上單調(diào)遞增，若，，，遞增；，，遞減；，，遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【分析】（1）分類討論含參函數(shù)的單調(diào)性即可；【詳解】解法一：的定義域為，則由得即①當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由令，則此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.解法二：的定義域為，①當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得，由得此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.3．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知.討論的單調(diào)性；【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，，考慮是否在定義域內(nèi)，所以分、、、四種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】因為定義域為，所以,若時，則，所以在上單調(diào)遞增，若時，則，所以在上單調(diào)遞增，若時，，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)或時，在，上單調(diào)遞增，若時，，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)或時，在，上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)或時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.4．（2023·全國·高三對口高考）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】求出函數(shù)的定義域，并求出其導(dǎo)函數(shù)，再分類討論確定大于0、小于0的不等式的解集作答.【詳解】解法一：函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，則由得當(dāng)時，即恒成立，函數(shù)在(0,上單調(diào)遞減；當(dāng)時，即恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，其中，由，得由，得或，由，得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；當(dāng)時,的遞增區(qū)間是，無遞誡區(qū)間.解法二：函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在(0,上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，有，，當(dāng)，即有時，，恒成立，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即有時，令，解得，由，即，得或，由，即，得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；當(dāng)時,的遞增區(qū)間是，無遞誡區(qū)間.5．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中為非零常數(shù)．討論的極值點個數(shù)，并說明理由；【詳解】由已知，的定義域為，則由得，由得，知在上單調(diào)遞增，故①當(dāng)時，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點；②當(dāng)時，令，∵，∴在上單調(diào)遞減，，所以存在唯一的，使得，∴當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，在上有且僅有一個極值點，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極值點；當(dāng)時，函數(shù)只有一個極值點6．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.討論的單調(diào)區(qū)間；【分析】先求出函數(shù)的定義域，從而根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)符號在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系即可求出所求區(qū)間．【詳解】的定義域為，若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間7．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.討論的單調(diào)性；【詳解】（1）依題意.若，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，.若，令，，令，解得或.①若，則.②若，則.③若且，令，得，.若，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；若，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.綜上所述：若，則在R上單調(diào)遞增；若，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則在R上單調(diào)遞減；8．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得對任意恒成立，令，分、兩種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；【詳解】（1）因為定義域為，則，當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，令，解得；所