六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題-第八單元數(shù)學(xué)廣角-數(shù)與形（原卷版）

六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列之

第八單元數(shù)學(xué)廣角一數(shù)與形（原卷版）

編者的話：

《六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列》是基于教材知識點和常年考點

考題總結(jié)和編輯而成的，其優(yōu)點在于選題典型,考點豐富，變式多樣。

本專題是第八單元數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形。本部分內(nèi)容主要是數(shù)、

形規(guī)律的類題型，以數(shù)字'數(shù)列'圖形、算式等形式為主，進(jìn)行規(guī)律

探索?？荚嚩嘁蕴羁?、選擇等題型為主，題目具有一定的探索性和抽

象性，其中自主探索類題目難度稍大，綜合性較強(qiáng)，建議作為重點部

分進(jìn)行講解，共劃分為十三個考點，歡迎使用。

【考點一】整數(shù)列規(guī)律。

【方法點撥】

數(shù)列中數(shù)字的規(guī)律一般要通過觀察分析數(shù)的變化規(guī)律，得出數(shù)變大或變小的趨

勢，再分析這個數(shù)具體變化了多少，最后綜合分析得出結(jié)論。

【典型例題】

根據(jù)規(guī)律在下面的括號里填上合適的數(shù)。

(1)1,3,5,7,(),(),13,15o

(2)2,5,8,11,(),(),20o

(3)50,44,38,(),(),20o

【對應(yīng)練習(xí)1】

找規(guī)律：

(1)1、4、7、10、13、16、19、()；

(2)1、2、4、7、11、16、22、29、()；

(3)2、3、5、8、13、21、34、55、()；

(4)5、5、7、10、9、15、11、20、()、()；

(5)1、4、9、16、25、36、49、64、()。

【對應(yīng)練習(xí)21

找規(guī)律

(1)2、6、10、14、18、22、26、()；

(2)0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、()；

(3)0、2、2、4、6、10、16、26、()；

(4)1、2、4、8、16、32、64、()；

(5)70、71、72、61、74、51、76、41、()、()；

(6)1、8、27、64、125、()；

(7)1、6、16、31、51、76、()；

(8)1、4、5、9、14、23、37、60、()；

(9)67、66777、66677777、66667777777、()；

(10)7.7、77.07、777.007、7777.0007、()。

【考點二】分?jǐn)?shù)列規(guī)律。

【方法點撥】

數(shù)列中數(shù)字的規(guī)律一般要通過觀察分析數(shù)的變化規(guī)律，得出數(shù)變大或變小的趨

勢，再分析這個數(shù)具體變化了多少，最后綜合分析得出結(jié)論。

【典型例題1】

一列分?jǐn)?shù)的前5個是夕/、3根據(jù)這5個分?jǐn)?shù)的規(guī)律可知，第6個

26

分?jǐn)?shù)是0

【典型例題2】

Y，|,,請問:是這組數(shù)的第（）個數(shù)。

JL4乙JJJO

A.12B.13C.14

D.17

【對應(yīng)練習(xí)1】

在:，I，］，17……這列分?jǐn)?shù)中，第1。個分?jǐn)?shù)是（）。

ZJo1114

【對應(yīng)練習(xí)21

找規(guī)律：［6814

9'T649

【考點三】等差數(shù)列基本題型。

【方法點撥】

1.等差數(shù)列：在數(shù)列中，人們把如1、2、3、4、5、6、7、8、9這樣的一串?dāng)?shù)

叫做“等差數(shù)列”。

2.公差：等差數(shù)列是指在一串?dāng)?shù)中，從第二項開始，后面一項與前面一項的差

相等的數(shù)列，這個相等的差叫做“公差”。

3.首項：這數(shù)列的第一項叫首一項。

4.末項：最后一項叫末項。

5.等差數(shù)列通用公式：

（1）等差數(shù)列的和=（首項+末項）X項數(shù)《2

（2）項數(shù)=（末項-首項）+公差+1

（3）末項=首項+公差X（項數(shù)一1）

【典型例題1】判斷等差數(shù)列。

在下面的括號填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)。

（1）1、4、7、10、（）、（）、19

（2）2、3、5、（）、12、（）、23

（3）0、2、4、（）、8、10、（）

判斷上面的數(shù)列是不是等差數(shù)列，如果是，請直接說出首項、末項、項數(shù)及公差;

如果不是，說明為什么。

【典型例題2】求末項。

有一個數(shù)列1、5、9、13…，問這個數(shù)列的第30項是多少?

【對應(yīng)練習(xí)】

一個等差數(shù)列:4、7、10、13…，求此數(shù)列第81項。

【典型例題3】求項數(shù)。

有一個數(shù)列2、5、8、11…2003、2006o這個數(shù)列共有多少項？

【對應(yīng)練習(xí)】

請你求出數(shù)列2、6、10…2006、2010o這個數(shù)列有多少項?

【典型例題4】求和。

1+5+9+13+17+21+254-29+33

【對應(yīng)練習(xí)】

1+2+3+4+…+120

【考點四】等差數(shù)列在生活實際中的應(yīng)用。

【方法點撥】

等差數(shù)列通用公式:

（1）等差數(shù)列的和=（首項+末項）x項數(shù)+2

（2）項數(shù)=（末項一首項）4■公差+1

（3）末項=首項+公差X（項數(shù)一1）

【典型例題】

一堆粗細(xì)均勻的圓木堆放在一起，最上面有1根，下面每一層都比上一層多1

根，最下層有53根。這堆圓木一共有多少根？

【對應(yīng)練習(xí)1】

屋子里有50個人，每兩個人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？

【對應(yīng)練習(xí)21

A城與B城之間有10座車站（包括A城與B城這兩站），每兩座車站之間的距

離都不相同，車票也不相同，那么往返于A城與B城之間的火車，有多少種不同

的票價？有多少種不同的車票?

【考點五】等差數(shù)列在圖形中的應(yīng)用。

【方法點撥】

等差數(shù)列通用公式：

（1）等差數(shù)列的和=（首項+末項）X項數(shù)+2

（2）項數(shù)=（末項-首項）+公差+1

（3）末項=首項+公差X（項數(shù)一1）

【典型例題】

如下圖，擺1個正方形需4根火柴棒，擺2個正方形需7根火柴棒，擺3個正方

形需10根火柴棒……

照這樣擺下去，擺4個正方形需（）根火柴棒；擺10個正方形需（）

根火柴棒；擺n個正方形需要（）根火柴棒。

【對應(yīng)練習(xí)1】

如圖，如果正方形每個端點各擺一個花盆，n個正方形端點可擺放多少個花盆?

□

n個

【對應(yīng)練習(xí)2]

按下列規(guī)律擺放☆，則第⑤堆☆有多少個？第⑨堆☆有多少個？第n堆☆有多少

個？

【對應(yīng)練習(xí)3]

明明用小棒搭了3間房子（如下圖所示），像這樣搭下去，搭5間房子要用

根小棒；搭n間房子要用根小棒。

AAA

【考點六】等差數(shù)列在較復(fù)雜圖形中的應(yīng)用。

【方法點撥】

等差數(shù)列通用公式：

（1）等差數(shù)列的和=（首項+末項）x項數(shù)+2

（2）項數(shù)=（末項-首項）+公差+1

（3）末項=首項+公差X（項數(shù)一1）

【典型例題】

用邊長為1cm的小正方形搭如下的塔狀圖形，則第n次所搭圖形的周長是（）

cm（用含n的代數(shù)式表示）。

□&曲r1^1!…

第I次第2次第3次第4次…

【對應(yīng)練習(xí)1】

下面每個三角形圖都是由一些相同的小三角形組成的。如果小三角形的邊長是1,

每個三角形的周長分別是多少？如果擺成一個n層的大三角形，它的周長又是多

少？

【對應(yīng)練習(xí)2]

下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的。

uuu

①②

⑴觀察圖形，填寫下表：

圖形_a___金__g2

正方形的個數(shù)___8

圖形的周長___18

⑵推測第n個圖形中，正方形的個數(shù)為周長為（用含n的代數(shù)式

表7F）o

【對應(yīng)練習(xí)3]

觀察下面的點陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律:

（1）在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應(yīng)的等式。

匕巴

①1=F：②1+3=22：

（2）通過猜想，寫出第n個點陣相對應(yīng)的等式。

【考點七】圖形規(guī)律一：數(shù)形結(jié)合。

【方法點撥】

圖形中尋找規(guī)律，還是要把圖形轉(zhuǎn)變成數(shù)，再尋找數(shù)字之間的規(guī)律。

【典型例題1】

????

???????

?????????

??????????

14916

根據(jù)上面圖形與數(shù)的規(guī)律，接著這樣排列下去，如果不畫，你知道第10個數(shù)是

多少嗎？第n個數(shù)呢？

【典型例題2】

準(zhǔn)備若干個邊長為1厘米的等邊三角形，并按下圖所示一個接一個地拼接起來,

然后填下表。

△夕ZSAAZV

三角形個數(shù)123456---n

拼成圖形的周

長（厘米）

回答:

（1）當(dāng)三角形的個數(shù)是10時，所拼成圖形的周長是（）厘米。

（2）當(dāng)三角形的個數(shù)是100時，所拼成圖形的周長是（）厘米。

【典型例題3】

我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝在公元1261年撰寫了《詳解九章算法》，他在這本著作中

畫了一個由數(shù)構(gòu)成的三角形圖，我們把它稱為“楊輝三角”。

1

1331

14641

1S101051

根據(jù)“楊輝三角”每行的和與所在行的關(guān)系列表如下，請將表格填寫完整。

行數(shù)第1行第2行第3行第4行第5行第6行...

和12()()()()......."

規(guī)律后一行的和是前一行和的（）倍。

【典型例題4】

王鵬用小棒擺了四幅樹狀圖，以下是樹狀圖變化的規(guī)律:

IYY

1根3根7根[5根

王鵬按照這個規(guī)律繼續(xù)往下擺，第五幅樹狀圖要擺（）根小棒。

A.23B.31

C.35D.45

【典型例題5】

下圖中的數(shù)是“三角形數(shù)”。先觀察圖形，再完成練習(xí)。

????

::???;:?

:????

13610（）

（1）照樣子畫一畫，并在括號里寫出這個“三角形數(shù)”O(jiān)

⑵第1個“三角形數(shù)”：1；第2個“三角形數(shù)”：1+2；第3個“三角形數(shù)”：

1+2+3；……第n個"三角形數(shù)"：_______o

【典型例題6】

填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，m的值是

()o

【考點八】圖形規(guī)律二：位置變換。

【方法點撥】

圖形位置變換的規(guī)律比較簡單，注意觀察位置的變化就能快速找出規(guī)律。

【典型例題】

找規(guī)律，接下來涂色正確的是（）。

△▲▲▲△△△▲

B.C.

▲▲▲▲▲▲▲▲▲

【對應(yīng)練習(xí)1】

根據(jù)下面圖形的排列規(guī)律，在下面四個圖形中選一個填在橫線上。

【對應(yīng)練習(xí)21

找出下面圖形變化的規(guī)律，在方框中畫出第四幅圖。

△口

【考點九】圖形規(guī)律三：圖形的數(shù)字含義。

【方法點撥】

該類題型注意觀察數(shù)字與圖形的聯(lián)系，找出圖形與數(shù)字的相似點，再把圖形轉(zhuǎn)

換為數(shù)字。

【典型例題】

下面每個圖形都是由△、O、口中的兩個（可以相同）構(gòu)成的。觀察各圖形與它

下面的數(shù)之間的關(guān)系，猜猜最右面圖形下面的"?”表示（）。

D.32

解析：B。

觀察對比圖形可得：這組圖形的規(guī)律是外面圖形表示個位數(shù)字，里面圖形是十

位數(shù)字，由此可以推出：△代表2,。代表3,□代表1,據(jù)此得到最右面圖形

表示的數(shù)字。

【對應(yīng)練習(xí)】

下面的每一個圖形都是由△、口'0中的兩個組成的。觀察各個圖形，根據(jù)圖形

下面的數(shù)找出規(guī)律，畫出表示“23”和“12”的圖形。

△

113221132312

【考點十】圖形規(guī)律四：稍復(fù)雜的圖形探索。

【方法點撥】

圖形中尋找規(guī)律，還是要把圖形轉(zhuǎn)變成數(shù)，再尋找數(shù)字之間的規(guī)律。

【典型例題】

自主探索。

仔細(xì)觀察上面的點子圖，根據(jù)每個圖中點子的排列規(guī)律，想一想，可以怎樣計算

每個圖中點子的總個數(shù)?請你把下表填寫完整。

序號234---

表示點子數(shù)的算式11+4???

點子的總個數(shù)5

觀察表中數(shù)據(jù)，如果用A表示第n個圖形中點子的個數(shù)，A和n之間的關(guān)系可以

表ZF成：A=o

【對應(yīng)練習(xí)】

小華用邊長是1厘米的小正方形擺出了下面的圖形，并依次寫出了每個圖形的周

長的算式，請你根據(jù)規(guī)律將表格填寫完整。

□rFhiIHIi0???

正方形/個14

9()49

周長/厘米/14+64+6X24+6X3()

【考點十一】圖形規(guī)律五：圖形與算式的結(jié)合。

【方法點撥】

該類型題注意算式規(guī)律的變化，可先找出算式的規(guī)律，再通過圖形的變化來驗

證算式的變化。

【典型例題】

根據(jù)下圖的規(guī)律，第8個圖形的正確列式是()。

32-1=842-22=1252-32=16

A.82-62B.92-72C.102-82

【對應(yīng)練習(xí)】

妙算正方形的個數(shù)。

12=()A22=()12+22+32=()

⑴完成上面的填空.

⑵照這樣畫下去，第6個圖形有多少個正方形？

【考點十二】周期規(guī)律。

【方法點撥】

周期問題關(guān)鍵在于找到一個周期是多少，然后再利用周期作除法求出問題。

【典型例題】

運(yùn)動場上插了五顏六色的彩旗,按照兩面黃旗、三面紅旗、一面綠旗的順序排列，

那么第100面彩旗是什么顏色？前100面彩旗中，一共有多少面紅旗？

解析：這是一道典型的余數(shù)周期問題，每6面彩旗為一組（也稱為一個周期），

可以求出100面彩旗中一共有多少組，余數(shù)是多少，就可以知道第100面彩旗

是什么顏色了，余幾，那么就是一組中的第幾面。再求每組有多少面紅旗，余

下部分有幾面紅旗，就能求出紅旗總數(shù)了。

100+6=16（組）...4（面）

16X3+2=50（面）

答：第100面彩旗是紅顏色的，前100面彩旗中，一共有50面紅旗。

【對應(yīng)練習(xí)1】

節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈，再接4盞藍(lán)燈，再接3盞黃燈，

然后又是5盞紅燈，4盞藍(lán)燈，3盞黃燈……這樣排下去。問：

（1）第108盞燈是什么顏色？

（2）前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？

【對應(yīng)練習(xí)21

下面圖形是按規(guī)律排列的，根據(jù)規(guī)律可以判斷第125個圖形是（），前125

個圖形中這個圖形共有（）個。

△口0……

【對應(yīng)練習(xí)3]

循環(huán)小數(shù)0.749的小數(shù)部分第2012位上的數(shù)字是多少？這2012位數(shù)字的總和是

多少？

【考點十三】算式規(guī)律。

【方法點撥】

周期問題關(guān)鍵在于找到一個周期是多少，然后再利用周期作除法求出問題。

【典型例題1】

找規(guī)律，寫得數(shù)。

J1111111

52，6-23112-34

據(jù)上面等式，則：「--------

【對應(yīng)練習(xí)1】

簡便計算。

111

1X4+4X7+7X10

【對應(yīng)練習(xí)21

計算:i+i+i+i+i+i+i+^+i°

【典型例題2】

找規(guī)律，寫結(jié)果。

根據(jù)11311.1711,1.115

根據(jù)：2-4=4'=2-4^8"16=16

1

那1么：J1

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