高等數(shù)學(xué)自學(xué)課件81

一預(yù)備知識(shí)二多元函數(shù)的概念三多元函數(shù)的極限四多元函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)多元函數(shù)的極限及連續(xù)性1.鄰域設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù)，與點(diǎn)距離小于的點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn)的鄰域，記為，

的去心鄰域點(diǎn)一、預(yù)備知識(shí)2.內(nèi)點(diǎn).的內(nèi)點(diǎn)為則稱的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)．如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè).的內(nèi)點(diǎn)屬于.為開(kāi)集則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集例如，即為開(kāi)集．3.邊界注：0.3也可能不屬于的邊界點(diǎn)可能屬于0;2

的外點(diǎn)必定不屬于10;的內(nèi)點(diǎn)必屬于的邊界點(diǎn)．為），則稱可以不屬于，也本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于的點(diǎn)，于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)的邊界．的邊界點(diǎn)的全體稱為EE4.連通集5.區(qū)域連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域．開(kāi)集且該折線上的點(diǎn)都屬于是連通的．，則稱連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)是開(kāi)集．如果對(duì)于設(shè)開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域．例如，例如，有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域．6有界點(diǎn)集、無(wú)界點(diǎn)集無(wú)界點(diǎn)集．為有界點(diǎn)集，否則稱為則稱即，不超過(guò)的距離與使任意的，如果存在正數(shù)的某一定點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)集

例如，7n維空間設(shè)兩點(diǎn)為比如：

當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．

設(shè)為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱元數(shù)組的全體為維空間，而每個(gè)元數(shù)組稱為維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)稱為該點(diǎn)的第個(gè)坐標(biāo).二、多元函數(shù)的概念類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．

設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)DyxP),(，變量z按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱z是變量yx,的二元函數(shù)，記為),(yxfz=（或記為)

z當(dāng)時(shí)，元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念．1多元函數(shù)的定義解所求定義域?yàn)榻馑蠖x域?yàn)槔?

求的定義域．例2求的定義域．

2二元函數(shù)的圖形),(yxfz=

設(shè)函數(shù)),(yxfz=的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意取定的DyxP),(，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz=，這樣，以x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)),,(zyxM，當(dāng)),(yx取遍D上一切點(diǎn)時(shí)，得到一個(gè)空間點(diǎn)集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx=，這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形.

說(shuō)明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.

如二元函數(shù)的圖形是以原點(diǎn)為球心，半徑為的上半個(gè)球面；

而表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的上半個(gè)錐面．三、多元函數(shù)的極限聚點(diǎn)

設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P

是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)P的任何一個(gè)鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集E，則稱P為E

的聚點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明：

邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)．例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．定義1

設(shè)函數(shù)),(yxfz=的定義域?yàn)?,(,000yxPD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e，總存在正數(shù)d，使得對(duì)于適合不等式d<-+-=<20200)()(||0yyxxPP的一切點(diǎn)，都有e<-|),(|Ayxf成立，則稱A為函數(shù)),(yxfz=當(dāng)0xx，0yy時(shí)的極限，

（或)0(),(rAyxf這里||0PP=r）.

記為

說(shuō)明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．證例1求證當(dāng)時(shí)原結(jié)論成立證例2求證當(dāng)時(shí)，所以結(jié)論成立．證其值隨k的不同而變化，故極限不存在．例3證明不存在．?。?）

令),(yxP沿kxy=趨向于),(000yxP，若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在；

確定極限不存在的方法：1（）找兩種不同趨近方式，使存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)),(000yxP處極限不存在．1定義上連續(xù)．在就稱函數(shù)的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么在如果函數(shù)DDyxf)yxf,(),(四、多元函數(shù)的連續(xù)性例4討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例5討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．

設(shè)0P是函數(shù))(Pf的定義域的聚點(diǎn)，如果)(Pf在點(diǎn)0P處不連續(xù)，則稱0P是函數(shù))(Pf的間斷點(diǎn).2間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)的判定（只要滿足下列一條）：（1）函數(shù)在此點(diǎn)處無(wú)定義；（2）函數(shù)在此點(diǎn)處有定義，但無(wú)極限；（3）函數(shù)在此點(diǎn)處有定義，有極限，但極限不等于函數(shù)值．注意：（1）多元函數(shù)的間斷點(diǎn)有可能是一點(diǎn)，也可能形成一條曲線；

（2）多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域．

一般地，求時(shí)，如果是初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點(diǎn)．則在點(diǎn)處連續(xù)，于是解例6求函數(shù)的定義域顯然故