高三復(fù)習(xí)學(xué)案：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

PAGEPAGE4對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一．基礎(chǔ)知識(shí)1．對(duì)數(shù)(1)對(duì)數(shù)的概念如果,那么b叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①零與負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)②③(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)其中a>0,a≠0,M>0,N>0(4)對(duì)數(shù)換底公式：2．對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式：y=x(a>0且a≠1)定義域：(0,+∞) 值域：(0,+∞) 過定點(diǎn)：（1，0）圖象：?jiǎn)握{(diào)性：a>1,在(-∞,+∞)上為增函數(shù)０＜a<1,在(-∞,+∞)上為減函數(shù)值分布：當(dāng)y>0當(dāng)y<0y<0y>03.記住常見對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形及相互關(guān)系二、題型剖析1．對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算題組①指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化⑴將下列指數(shù)式改寫成對(duì)數(shù)式；； ； ； ⑵將下列對(duì)數(shù)式改寫成指數(shù)式；； ； 題組②計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。題組③計(jì)算：①②2．換底公式及應(yīng)用例2（1）已知（2）若思維分析：用換底公式化成相關(guān)數(shù)質(zhì)數(shù)為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，再進(jìn)行代換。3．指對(duì)數(shù)互化例3．已知x,y,z為正數(shù)，滿足①求證：②比較3x、4y、6z的大小思維分析：掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化是解決問題的一個(gè)有效途徑。4．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象0yx例4.圖中的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，已知的取值為、、、四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線、、、的的值依次為【】0yxA．、、、B．、、、C．、、、D．、、、訓(xùn)練：⑴若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過【】A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限高一數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)題選擇題1．若3a=2,則log38-2log36用a（A）a-2（B）3a-(1+a)2（C）5a-2（D）3a-a22.2loga(M-2N)=logaM+logaN,則的值為（）（A）（B）4（C）1（D）4或13．已知x2+y2=1,x>0,y>0,且loga(1+x)=m,loga等于（）（A）m+n（B）m-n（C）(m+n)（D）(m-n)4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的兩根是α、β，則α·β的值是（）（A）lg5·lg7（B）lg35（C）35（D）5.已知log7[log3(log2x)]=0，那么x等于（）（A）（B）（C）（D）6．函數(shù)y=lg（）的圖像關(guān)于（）（A）x軸對(duì)稱（B）y軸對(duì)稱（C）原點(diǎn)對(duì)稱（D）直線y=x對(duì)稱7．函數(shù)y=log(2x-1)的定義域是（）（A）（，1）（1，+）（B）（，1）（1，+）（C）（，+）（D）（，+）8．函數(shù)y=log(x2-6x+17)的值域是（）（A）R（B）[8，+]（C）（-，-3）（D）[3，+]9．函數(shù)y=log(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為（）（A）（1，+）（B）（-，］（C）（，+）（D）（-，］10．函數(shù)y=()+1+2,(x<0)的反函數(shù)為（）（A）y=-（B）（C）y=-（D）y=-11.若logm9<logn9<0,那么m,n滿足的條件是（）（A）m>n>1（B）n>m>1（C）0<n<m<1（D）0<m<n<112.loga，則a的取值范圍是（）（A）（0，）（1，+）（B）（，+）（C）（）（D）（0，）（，+）13．若1<x<b,a=log２bx,c=logax,則a,b,c的關(guān)系是（）（A）a<b<c（B）a<c<b（C）c<b<a（D）c<a<b14.下列函數(shù)中，在（0，2）上為增函數(shù)的是（）（A）y=log(x+1)（B）y=log2（C）y=log2（D）y=log(x2-4x+5)15.下列函數(shù)中，同時(shí)滿足：有反函數(shù)，是奇函數(shù)，定義域和值域相同的函數(shù)是（）（A）y=（B）y=lg（C）y=-x3（D）y=16.已知函數(shù)y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）[2，+)17．已知g(x)=loga(a>0且a1)在（-1，0）上有g(shù)(x)>0，則f(x)=a是（）（A）在（-，0）上的增函數(shù)（B）在（-，0）上的減函數(shù)（C）在（-，-1）上的增函數(shù)（D）在（-，-1）上的減函數(shù)18．若0<a<1,b>1,則M=ab，N=logba,p=ba的大小是（）（A）M<N<P（B）N<M<P（C）P<M<N（D）P<N<M19．“等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件20．已知函數(shù)f(x)=,0<a<b,且f(a)>f(b)，則（）（A）ab>1（B）ab<1（C）ab=1（D）(a-1)(b-1)>0二、填空題1．若loga2=m,loga3=n,a2m+n=。2．函數(shù)y=log(x-1)(3-x)的定義域是。3．lg25+lg2lg50+(lg2)2=。4.函數(shù)f(x)=lg()是（奇、偶）函數(shù)。5．已知函數(shù)f(x)=log0.5(-x2+4x+5),則f(3)與f（4）的大小關(guān)系為。6．函數(shù)y=log(x2-5x+17)的值域?yàn)椤?．函數(shù)y=lg(ax+1)的定義域?yàn)椋?，1），則a=。8.若函數(shù)y=lg[x2+(k+2)x+]的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍是。9．函數(shù)f(x)=的反函數(shù)是。10．已知函數(shù)f(x)=()x,又定義在（-1，1）上的奇函數(shù)g(x)，當(dāng)x>0時(shí)有g(shù)(x)=f-1（x）,則當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=。三、解答題若f(x)=1+logx3,g(x)=2log，試比較f(x)與g(x)的大小。已知函數(shù)f(x)=。（1）判斷f(x)的單調(diào)性；（2）求f-1(x)。已知x滿足不等式2(log2x）2-7log2x+30,求函數(shù)f(x)=log2的最大值和最小值。已知函數(shù)f(x2-3)=lg,(1)f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函數(shù);(4)若f[]=lgx,求的值。設(shè)0<x<1,a>0且a1，比較與的大小。已知函數(shù)f(x)=log3的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求m,n的值。已知x>0,y0,且x+2y=,求g=log(8xy+4y2+1)的最小值。8．求函數(shù)的定義域．9．已知函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．10．已知，求使f(x)>1的x的值的集合．

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)參考答案一、選擇題題號(hào)12345678910答案ABDDCCACAD題號(hào)11121314151617181920答案CADDCBCBBB二、填空題1．122.{x且x}由解得1<x<3且x。3．24．奇為奇函數(shù)。5．f(3)<f(4)設(shè)y=log0.5u,u=-x2+4x+5,由-x2+4x+5>0解得-1<x<5。又u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,∴當(dāng)x(-1,2)時(shí)，y=log0.5(-x2+4x+5)單調(diào)遞減；當(dāng)x[2,5]時(shí)，y=log0.5(-x2+4x+5)單調(diào)遞減，∴f(3)<f(4)6.(-)∵x2-6x+17=(x-3)2+8,又y=log單調(diào)遞減，∴y7.-18.- y=lg[x2+(k+2)x+]的定義域?yàn)镽，∴x2+(k+2)x+>0恒成立，則（k+2）2-5<0,即k2+4k-1<0,由此解得--2<k<-29.y=lgy=,則10x=反函數(shù)為y=lg 10.-log(-x)已知f(x)=()x,則f-1(x)=logx,∴當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=logx,當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,∴g(-x)=log(-x),又∵g(x)是奇函數(shù)，∴g(x)=-log(-x)(x<0)三、解答題f(x)-g(x)=logx3x-logx4=logx.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>g(x);當(dāng)x=時(shí)，f(x)=g(x);當(dāng)1<x<時(shí)，f(x)<g(x);當(dāng)x>時(shí)，f(x)>g(x)。（1）f(x)=，,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=<0,(∵102x1<102x2)∴f(x)為增函數(shù)。（2）由y=得102x=∵102x>0,∴-1<y<1,又x=)。由2（log2x）2-7log2x+30解得log2x3?！遞(x)=log2(log2x-2)=(log2x-)2-,∴當(dāng)log2x=時(shí)，f(x)取得最小值-；當(dāng)log2x=3時(shí)，f(x)取得最大值2。4．（1）∵f(x2-3)=lg,∴f(x)=lg,又由得x2-3>3,∴f(x)的定義域?yàn)椋?，+）。（2）∵f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)。（3）由y=lg得x=,x>3,解得y>0,∴f-1(x)=(4)∵f[]=lg,∴，解得(3)=6。5．∵-。6．由y=log3，得3y=，即（3y-m）x2-8x+3y-n=0.∵x-4(3y-m)(3y-n)0，即32y-(m+n)·3y+mn-16。由0，得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得m=n=5。7．由已知x=-2y>0,,由g=log(8xy+4y2+1)=log(-12y2+4y+1)=log[-12(y-)2+],當(dāng)y=,g的最小值為log8．解：∴∴函數(shù)的定義域是．9．解：∵a是對(duì)數(shù)的底數(shù)∴a>0且a≠1∴函數(shù)u＝2－ax是減函數(shù)∵函數(shù)是減函數(shù)∴a>1(是增函數(shù))∵函數(shù)的定義域是∴定義域是∵函數(shù)在區(qū)間[0，1]上有意義是減函數(shù)∴∴∴1<a<2．10．解：f(x)>1即當(dāng)a>1時(shí)∴解為x>2a－1當(dāng)0<a<1時(shí)∵a－1<2a－1∴解為a－1<x<2a－1∴當(dāng)a>1時(shí)，{x|x>2a－1}當(dāng)0<a<1時(shí)，{x|a－1<x<2a－1}均能使f(x)>1成立．

解析版：【例1】已知是奇函數(shù)（其中，（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）求的反函數(shù)；（4）當(dāng)定義域區(qū)間為時(shí)，的值域?yàn)椋蟮闹?[解析]（1）對(duì)定義域內(nèi)的任意恒成立，，當(dāng)不是奇函數(shù)，，（2）定義域?yàn)?，求?dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，在上都是減函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，上都是增函數(shù)；（另解）設(shè)，任取，，，結(jié)論同上；（3），（4）上為減函數(shù)，命題等價(jià)于，即，解得.[評(píng)析]例1的各個(gè)小題概括了指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的各種常見的基本問題，熟練掌握這些基本問題的解答程序及方法是很重要的能力訓(xùn)練，要認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn).

【例2】對(duì)于函數(shù)，解答下述問題：（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)在內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（4）若函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)a的值；（5）若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)a的值；（6）若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[解答]記，（1）恒成立，， 的取值范圍是；（2）這是一個(gè)較難理解的問題。從“的值域?yàn)镽”，這點(diǎn)思考，“的值域?yàn)镽”等價(jià)于“能取遍的一切值”，或理解為“的值域包含了區(qū)間”的值域?yàn)椤嗝}等價(jià)于，∴a的取值范圍是；（3）應(yīng)注意“在內(nèi)有意義”與定義域的概念是不同的，命題等價(jià)于“恒成立”，應(yīng)按的對(duì)稱軸分類，，的取值范圍是；（4）由定義域的概念知，命題等價(jià)于不等式的解集為，是方程的兩根，即a的值為2；（5）由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)易知：的值域?yàn)椋纱藢W(xué)生很容易得，但這是不正確的.因?yàn)椤啊迸c“的值域?yàn)椤辈⒉坏葍r(jià)，后者要求能取遍的一切值（而且不能多?。?∵的值域是，∴命題等價(jià)于；即a的值為±1；（6）命題等價(jià)于：，即，得a的取值范圍是.[評(píng)析]學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)及解決函數(shù)問題，首先是要非常準(zhǔn)確理解與掌握函數(shù)中的每個(gè)概念，許多函數(shù)的概念都有很深刻的內(nèi)涵，解決問題時(shí)要仔細(xì)揣摩各種概念之間的聯(lián)系與不同，才能作出準(zhǔn)確的解答，并要在學(xué)習(xí)中不斷積累經(jīng)驗(yàn).【例3】解答下述問題：（Ⅰ）設(shè)集合，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值.[解析]而，令，，其對(duì)稱軸，①當(dāng)，即，適合；②當(dāng)，適合；綜上，.（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最大值為9，求實(shí)數(shù)a的值.[解析