陜西省陜西師大附中2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度2．定義運算:.若不等式的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．3．設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，它的前項和為，且、、成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．4．如圖所示是正方體的平面展開圖，在這個正方體中CN與BM所成角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．某市電視臺為調(diào)查節(jié)目收視率，想從全市3個縣按人口數(shù)用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，已知3個縣人口數(shù)之比為，如果人口最多的一個縣抽出60人，那么這個樣本的容量等于（）A．96 B．120 C．180 D．2406．直線上的點到圓上點的最近距離為（）A． B． C． D．17．若，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．8．中，，，，則（）A．1 B． C． D．49．已知過點的直線的傾斜角為，則直線的方程為（）A． B． C． D．10．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，根據(jù)下列頻率分布條形圖（部分）可知，該校女教師的人數(shù)為（）A．93 B．123 C．137 D．167二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，且，則=_______.12．已知等比數(shù)列、、、滿足，，，則的取值范圍為__________．13．若函數(shù)，則__________．14．如圖記錄了甲乙兩名籃球運動員練習(xí)投籃時，進行的5組100次投籃的命中數(shù)，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均數(shù)也相等，則______，_________.15．如圖，在圓心角為，半徑為2的扇形AOB中任取一點P，則的概率為________.16．明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”則尖頭共有__________盞燈．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖．在四棱錐中，，，平面ABCD，且．，，M、N分別為棱PC，PB的中點.（1）證明：A，D，M，N四點共面，且平面ADMN；（2）求直線BD與平面ADMN所成角的正弦值．18．如圖，已知矩形ABCD中，，，M是以CD為直徑的半圓周上的任意一點（與C，D均不重合），且平面平面ABCD.（1）求證：平面平面BCM；（2）當四棱錐的體積最大時，求AM與CD所成的角.19．已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．20．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.21．某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為4萬元，并且每生產(chǎn)1百臺產(chǎn)品需增加投入0.8萬元.已知銷售收入（萬元）滿足（其中是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量，單位：百臺），假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉，請完成下列問題：（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

先根據(jù)圖象確定A的值，進而根據(jù)三角函數(shù)結(jié)果的點求出求與的值，確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可得到結(jié)果．【詳解】由題意，函數(shù)的部分圖象，可得，即，所以，再根據(jù)五點法作圖，可得，求得，故．函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，則只要將的圖象向右平移個單位長度可得的圖象，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

根據(jù)定義可得的解集是空集，即恒成立，再對分類討論可得結(jié)果.【詳解】由題意得的解集是空集，即恒成立.當時，不等式即為，不等式恒成立；當時，若不等式恒成立，則即解得.綜上可知:.故選：B【點睛】本題考查了二次不等式的恒成立問題，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得出與的等量關(guān)系，即可計算出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于、、成等比數(shù)列，則有，所以，，化簡得，因此，.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和中基本量的計算，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項與公差的等量關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

把展開圖再還原成正方體如圖所示:由于BE和CN平行且相等，故∠EBM(或其補角)為所求.再由△BEM是等邊三角形，可得∠EBM=60°,從而得出結(jié)論.【詳解】把展開圖再還原成正方體如圖所示:由于BE和CN平行且相等，故異面直線CN與BM所成的角就是BE和BM所成的角，故∠EBM(或其補角)為所求,再由BEM是等邊三角形，可得∠EBM=60,故選：C【點睛】本題主要考查了求異面直線所成的角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)分層抽樣的性質(zhì),直接列式求解即可.【詳解】因為3個縣人口數(shù)之比為,而人口最多的一個縣抽出60人,則根據(jù)分層抽樣的性質(zhì),有,故選:B.【點睛】本題考查分層抽樣,解題關(guān)鍵是明確分層抽樣是按比例進行抽樣.6、C【解析】

求出圓心和半徑，求圓心到直線的距離，此距離減去半徑即得所求的結(jié)果.【詳解】將圓化為標準形式可得可得圓心為，半徑，而圓心到直線距離為，

因此圓上點到直線的最短距離為，故選：C.【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，求圓心到直線的距離是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù)不等式性質(zhì)確定選項.【詳解】當時，不成立；因為，所以；當時，不成立；當時，不成立；所以選B.【點睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用三角形內(nèi)角和為可求得；利用正弦定理可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點斜式方程求解．【詳解】∵直線的傾斜角為，∵直線的斜率，又直線過點，由直線方程的點斜式可得直線的方程為，即．故選：B．【點睛】本題考查直線的點斜式方程，考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．10、C【解析】.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由的值及，可得的值，計算可得的值.【詳解】解：由，且，由，可得，故，故答案為：.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟練掌握其基本關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12、【解析】

設(shè)等比數(shù)列、、、的公比為，由和計算出的取值范圍，再由可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列、、、的公比為，，，，所以，，，.所以，，故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是利用已知條件求出公比的取值范圍，考查運算求解能力，屬于中等題.13、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式先求，再求即可.【詳解】因為，所以.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)求值問題，解題的關(guān)鍵是將自變量代入相應(yīng)范圍的解析式中，屬于基礎(chǔ)題.14、3.5.【解析】

根據(jù)莖葉圖,將兩組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列,由中位數(shù)和平均數(shù)相等,即可解得的值.【詳解】甲乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,平均數(shù)也相等對于甲組將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列后可知,中位數(shù)為65.所以乙組中位數(shù)也為65.根據(jù)乙組數(shù)據(jù)可得則由兩組的平均數(shù)相等,可知兩組的總數(shù)也相等,即解得故答案為:;【點睛】本題考查了莖葉圖的簡單應(yīng)用,由莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)題意，建立坐標系，求出圓心角扇形區(qū)域的面積，進而設(shè)，由數(shù)量積的計算公式可得滿足的區(qū)域，求出其面積，代入幾何概率的計算公式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖的坐標系，則則扇形的面積為設(shè)若，則有，即；則滿足的區(qū)域為如圖的陰影區(qū)域，直線與弧的交點為，易得的坐標為，則陰影區(qū)域的面積為故的概率故答案為：【點睛】本題考查幾何概型，涉及數(shù)量積的計算，屬于綜合題．16、1【解析】

依題意，這是一個等比數(shù)列，公比為2，前7項和為181，由此能求出結(jié)果．【詳解】依題意，這是一個等比數(shù)列，公比為2，前7項和為181，∴181，解得a1＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查等比數(shù)列的首項的求法，考查等比數(shù)列的前n項和公式，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）先證，再證，即可得證；要證平面ADMN，可通過求證PB垂直于ADMN中的兩條交線來證明（2）求直線BD與平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通過三垂線定理去進行證明【詳解】解：（1）證明因為M，N分別為PC，PB的中點，所以；又因為，所以．從而A，D，M，N四點共面；因為平面ABCD，平面ABCD．所以，又因為，，所以平面PAB，從而，因為，且N為PB的中點，所以；又因為，所以平面ADMN；（2）如圖，連結(jié)DN；由（1）知平面ADMN，所以，DN為直線BD在平面ADMN內(nèi)的射影，且，所以，即為直線BD與平面ADMN所成的角：在直角梯形ABCD內(nèi)，過C作于H，則四邊形ABCH為矩形；，在中，；所以，，，在中，，，，所以.綜上，直線BD與平面ADMN所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理，考查了線面角的求解方法，考查了運算能力及空間想象能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）只證明CM⊥平面ADM即可，即證明CM垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線，或者使用面面垂直的性質(zhì)，本題的條件是平面CDM⊥平面ABCD，而M是以CD為直徑的半圓周上一點，能夠得到CM⊥DM，由面面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）當四棱錐M一ABCD的體積最大時，M為半圓周中點處，可得角MAB就是AM與CD所成的角，利用已知即可求解．【詳解】（1）證明：CD為直徑，所以CMDM，已知平面CDM平面ABCD，ADCD，AD平面CDM，所以ADCM又DMAD=DCM平面ADM又CM平面BCM，平面ADM平面BCM，（2）當M為半圓弧CD的中點時，四棱錐的體積最大，此時，過點M作MOCD于點E,平面CDM平面ABCDMO平面ABCD，即MO為四棱錐的高又底面ABCD面積為定值2，AM與CD所成的角即AM與AB所成的角，求得，三角形為正三角形，，故AM與CD所成的角為【點睛】本題主要考查異面直線成的角，面面垂直的判定定理，屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進行推理.19、（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）最大值；最小值.【解析】

（1）先將函數(shù)化簡整理，得到，由得到最小正周期；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸，即可列式，求出對稱軸；（2）先由，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以最小正周期為：；由得，即單調(diào)遞增區(qū)間是：；（2）因為，所以，因此，當即時，取最小值；當即時，取最大值；【點睛】本題主要考查正弦型三角函數(shù)的周期、對稱軸，以及給定區(qū)間的最值問題，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及輔助角公式即可，屬于?？碱}型.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②聯(lián)立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵