高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)銜接問題的研究

第第頁(yè)高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)銜接問題的研究一、開展高校數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)的必要性

從數(shù)學(xué)的進(jìn)展來(lái)看，問題是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的源泉和動(dòng)力。例如，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特〔D.Hilbert〕在1900年召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講，提出被后人稱為“希爾伯特問題”的23個(gè)數(shù)學(xué)問題。這些問題為數(shù)學(xué)家開展討論指明白方向。一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題的價(jià)值在于其可以激發(fā)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新思維，引發(fā)思想、方法和理論方面的創(chuàng)新。因此，有人將好的數(shù)學(xué)問題比方成會(huì)下蛋的金鵝。事實(shí)上，到目前為止，這23個(gè)問題中的大多數(shù)都已得到完滿解決，促進(jìn)了涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一些關(guān)鍵問題的討論和解決，直接推動(dòng)了代數(shù)、幾何、分析等數(shù)學(xué)分支的進(jìn)展，催生出一系列的相關(guān)創(chuàng)新成果。

從人才培育來(lái)看，具有較強(qiáng)的制造性思維和問題解決力量是創(chuàng)新型人才培育的重要目標(biāo)。理論和實(shí)踐的創(chuàng)新都來(lái)源于對(duì)問題的探究和解決過程，能夠發(fā)覺和提出問題是思維主動(dòng)、具有較強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和力量的一種表現(xiàn)。愛因斯坦曾經(jīng)說過：“只有擅長(zhǎng)發(fā)覺問題和提出問題的人，才能產(chǎn)生創(chuàng)新的沖動(dòng)?！蓖瑫r(shí)，分析問題視角的獨(dú)特性和解決問題的新奇性是評(píng)判創(chuàng)新型人才創(chuàng)新力量凹凸的重要標(biāo)準(zhǔn)。而思維的制造性、問題解決力量是可以利用恰當(dāng)?shù)妮d體通過后天的訓(xùn)練獲得和提高的。數(shù)學(xué)課程就是進(jìn)行這種訓(xùn)練的恰當(dāng)載體，而且?guī)浊甑?教育實(shí)踐也證明白其有效性。有名數(shù)學(xué)教育家波利亞〔G.Pólya〕認(rèn)為數(shù)學(xué)力量是解決問題的才智。

討論性教學(xué)是一種以問題為中心、以提高學(xué)習(xí)者的問題解決力量為目標(biāo)的教學(xué)形式。開展數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)是對(duì)同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練、提高其創(chuàng)新力量和意識(shí)的必定選擇。事實(shí)上，問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維過程中發(fā)揮著重要作用：?jiǎn)栴}情境引發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的抽象思維和形象思維等思維活動(dòng)，進(jìn)而誘發(fā)學(xué)習(xí)者探究和創(chuàng)新等認(rèn)知活動(dòng)的進(jìn)行。在對(duì)數(shù)學(xué)問題的討論過程中，學(xué)習(xí)者要經(jīng)受觀看、比較、分析、歸納、猜測(cè)、概括、構(gòu)造、推斷、推理等多種認(rèn)知過程，要綜合運(yùn)用抽象、規(guī)律、直覺等多種思維力量。因此，這一過程就是學(xué)習(xí)者自身經(jīng)受學(xué)問的獵取、探究、形成和運(yùn)用的過程，就是學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)學(xué)問和力量的自我建構(gòu)過程。在數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)中，老師通過創(chuàng)設(shè)問題探究的討論性教學(xué)情境，啟發(fā)、引導(dǎo)同學(xué)通過對(duì)問題的分析和討論來(lái)主動(dòng)主動(dòng)完成學(xué)問的探究和學(xué)習(xí)。在這一教學(xué)模式下，老師的目標(biāo)由“授人以魚”向“授人以漁”轉(zhuǎn)變，老師的角色由學(xué)問的灌輸者向問題情境的創(chuàng)設(shè)者、學(xué)習(xí)和討論策略的指導(dǎo)者轉(zhuǎn)變；同學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo)由“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，同學(xué)的角色由消極被動(dòng)的接受者向主動(dòng)主動(dòng)的參加者、學(xué)問與力量的自我建構(gòu)者轉(zhuǎn)變。老師與同學(xué)圍繞問題開展質(zhì)疑、驗(yàn)證、商量等多種溝通互動(dòng)，同學(xué)要親歷問題的發(fā)覺、分析和解決全過程。所以，開展以問題為中心的高校數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變，使學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新力量得到更為有效的訓(xùn)練和提高。

二、開展高校數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)的措施

針對(duì)高校數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，并結(jié)合近年來(lái)教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為可以實(shí)行以下措施切實(shí)推動(dòng)高校數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)的開展，更好地服務(wù)于創(chuàng)新型人才培育這一中心目標(biāo)。

〔一〕將數(shù)學(xué)文化融入課程教學(xué)

將數(shù)學(xué)文化有機(jī)融入數(shù)學(xué)課程教學(xué)，以此推動(dòng)數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)的進(jìn)行，主要著眼于以下兩方面。

1.討論性教學(xué)是以問題為中心的教學(xué)方法。老師必需依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}，合理選取素材，創(chuàng)設(shè)一個(gè)開放生動(dòng)的學(xué)習(xí)和探究的問題情境，引導(dǎo)同學(xué)自主地開展學(xué)習(xí)、討論活動(dòng)。而數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)猜測(cè)、數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)名題等是老師開展討論性教學(xué)時(shí)進(jìn)行問題設(shè)計(jì)和討論素材選取的重要來(lái)源。例如，在高等數(shù)學(xué)課程中，利用其次次數(shù)學(xué)危機(jī)的有關(guān)問題和狀況開展微積分相關(guān)概念的討論性教學(xué)。在介紹完無(wú)窮小量、極限、導(dǎo)數(shù)、微分等概念后，向同學(xué)提出一些問題：哪些概念是微積分中的根本性概念？無(wú)窮小量是不是零？在同學(xué)思索和商量的過程中，穿插介紹其次次數(shù)學(xué)危機(jī)中曾經(jīng)消失過的一些謬論、錯(cuò)誤熟悉，讓同學(xué)去辨識(shí)。同時(shí)，還做一些包含錯(cuò)誤的演算演示，讓同學(xué)找出演算中的錯(cuò)誤。比方，在增量為無(wú)窮小的狀況下，直接令其為零。在這樣的討論性教學(xué)中，同學(xué)能夠搞清微積分中諸如無(wú)窮小量、無(wú)窮大量、極限、導(dǎo)數(shù)、微分等重要概念。同時(shí)，他們也能體會(huì)到：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和討論不能陷于形式的計(jì)算和推導(dǎo)，要留意自己數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的嚴(yán)密和扎實(shí)性。事實(shí)上，在這樣的教學(xué)過程中，同學(xué)不僅對(duì)所學(xué)內(nèi)容有了更深的熟悉，而且可以吸取數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)創(chuàng)新中的閱歷和教訓(xùn)。

2.同學(xué)學(xué)習(xí)和討論的自主性是影響討論性教學(xué)成

敗的關(guān)鍵性因素之一。因此，老師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)趣味盎然的教學(xué)情境，以此激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好和探究未知問題的主動(dòng)性，這樣才能保證討論性教學(xué)的順當(dāng)進(jìn)行。而數(shù)學(xué)史料、詩(shī)詞歌賦、數(shù)學(xué)家生公平數(shù)學(xué)文化素材為進(jìn)行上述工作供應(yīng)了重要依托。例如，有名的哥尼斯堡七橋問題將抽象的拓?fù)鋵W(xué)與通俗的生活問題相連，老師可用它進(jìn)行拓?fù)湔n程的討論性教學(xué)，自然地引導(dǎo)同學(xué)熟悉拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展起源并闡述同胚的實(shí)質(zhì)。又如，楊振寧先生寫過一首名為“贊陳氏級(jí)”的詩(shī)[4]：“天衣豈無(wú)縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳?！崩眠@首詩(shī)可以創(chuàng)設(shè)趣味盎然的微分幾何討論性教學(xué)情景：以詩(shī)中提到的歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當(dāng)、陳省身五位數(shù)學(xué)大師生平與奉獻(xiàn)為線索，介紹幾何學(xué)的進(jìn)展史，并將課程的相關(guān)內(nèi)容前后勾連、有效連接；以此詩(shī)的撰寫背景來(lái)闡述幾何與物理殊途同歸、互相促進(jìn)的關(guān)系。數(shù)學(xué)文化是一門涉及數(shù)學(xué)、歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)等的交叉科學(xué)。因此，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)，其重要意義在于：它可以在數(shù)學(xué)與人文科學(xué)之間架設(shè)起一座橋梁，將科學(xué)素養(yǎng)教育與人文素養(yǎng)教育有機(jī)融合。

〔二〕做好數(shù)學(xué)軟件的教學(xué)工作

經(jīng)過多年的進(jìn)展，目前MATLAB、MATHEMATICS等數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)圖形繪制、數(shù)值計(jì)算等方面的功能日益強(qiáng)大和完善，可以關(guān)心數(shù)學(xué)、物理、工程、電子、設(shè)計(jì)等理工科專業(yè)人員快速高效地解決在應(yīng)用和討論中消失的很多問題。比方，利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬是解決工程問題的有效途徑之一。因此，有必要通過恰當(dāng)?shù)姆绞郊訌?qiáng)數(shù)學(xué)軟件使用教學(xué)，這也是開展數(shù)學(xué)討論性教學(xué)的重要組成部分。

數(shù)學(xué)試驗(yàn)課程是進(jìn)行數(shù)學(xué)軟件使用教學(xué)的一個(gè)優(yōu)良平臺(tái)。它讓同學(xué)從問題動(dòng)身，利用數(shù)學(xué)軟件，通過親自動(dòng)手來(lái)體驗(yàn)分析和解決問題的過程，去探究和驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律。限于課時(shí)等緣由，目前數(shù)學(xué)試驗(yàn)的開設(shè)狀況還不夠抱負(fù)。而且，數(shù)學(xué)試驗(yàn)的內(nèi)容選擇過于寬泛，與詳細(xì)課程教學(xué)內(nèi)容的結(jié)合不夠緊密。這都在肯定程度上影響了數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)課程討論性教學(xué)中作用的發(fā)揮。這是在今后的教學(xué)改革和實(shí)踐中要著力解決的問題。

我們可將數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用內(nèi)容以模塊化的形式融入詳細(xì)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中。這是順應(yīng)計(jì)算機(jī)技術(shù)普及趨勢(shì)的必定選擇，也是在數(shù)學(xué)課程中開展討論性教學(xué)的客觀要求。事實(shí)上，陳省身和錢學(xué)森先生在2022世紀(jì)202213年月就指出了數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注計(jì)算機(jī)的深刻影響，提倡數(shù)學(xué)課程教學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的緊密結(jié)合。通過這種化整為零的方式，可以更為有效地組織數(shù)學(xué)課程的討論性教學(xué)，打破了數(shù)學(xué)課程教學(xué)的單調(diào)性，增添數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實(shí)踐性，提升課程的教學(xué)效果。

從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，這種模塊化的教學(xué)方式在學(xué)時(shí)有限的背景下更為行之有效。例如，在線性代數(shù)、最優(yōu)化等課程中，同學(xué)可利用數(shù)學(xué)軟件的數(shù)值計(jì)算功能進(jìn)行例題的計(jì)算和數(shù)值模擬，使其從一些不必要的機(jī)械計(jì)算練習(xí)中解放出來(lái)，能夠有更多的精力關(guān)注理論和方法的學(xué)習(xí)。在解析幾何、微分幾何等幾何類課程中，利用數(shù)學(xué)軟件在圖形繪制方面的強(qiáng)大功能快速而精確地繪制出教學(xué)中所涉及的曲線、曲面等幾何圖形，使課程的討論性教學(xué)更為直觀生動(dòng)，引導(dǎo)同學(xué)開展對(duì)幾何對(duì)象性質(zhì)的探究和驗(yàn)證。利用數(shù)學(xué)軟件也可以賜予一些非幾何課程中的抽象結(jié)論以幾何解釋，關(guān)心同學(xué)從多角度理解課程的教學(xué)內(nèi)容。例如，線性方程組求解是線性代數(shù)中的經(jīng)典內(nèi)容。借助數(shù)學(xué)軟件用對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行討論性教學(xué)：三元一次方程對(duì)應(yīng)于三維空間中的一個(gè)平面，而三元一次方程組求解的問題就相當(dāng)于求各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的平面交點(diǎn)問題。利用MATLAB等數(shù)學(xué)軟件繪制出各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)平面的圖形，讓同學(xué)觀看其交點(diǎn)的狀況，并與計(jì)算結(jié)果相對(duì)比。然后，讓同學(xué)就二元一次方程組、四元一次方程組等狀況作進(jìn)一步商量和驗(yàn)證。同學(xué)感覺這種方式特別新奇、直觀。

〔三〕做好數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)工作

應(yīng)用既是數(shù)學(xué)的歸宿，又是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要來(lái)源。正如有名數(shù)學(xué)教育家弗洛登塔爾所說：“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，并且用于現(xiàn)實(shí)?！比A羅