2021年江西省九江市北大附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2021年江西省九江市北大附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是（） A．的最小正周期是 B．在上單調(diào)遞增C．的圖像關(guān)于對稱 D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱參考答案：B2.實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的最小值為（）A．2 B． C． D．1參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】配方可得2cos2（x+y﹣1）==（x﹣y+1）+x﹣y+1，由基本不等式可得（x﹣y+1）+x﹣y+1≤2，或（x﹣y+1）+x﹣y+1≤﹣2，進(jìn)而可得cos（x+y﹣1）=±1，x=y=，由此可得xy的表達(dá)式，取k=0可得最值．【解答】解：∵，∴2cos2（x+y﹣1）=∴2cos2（x+y﹣1）=，故2cos2（x+y﹣1）=x﹣y+1+，由基本不等式可得（x﹣y+1）+≥2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，∴2cos2（x+y﹣1）≥2，由三角函數(shù)的有界性可得2cos2（x+y﹣1）=2，故cos2（x+y﹣1）=1，即cos（x+y﹣1）=±1，此時(shí)x﹣y+1=1，即x=y，∴x+y﹣1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，故xy=x?x=（）2，當(dāng)k=0時(shí)，xy的最小值，故選：B3.如圖，有一建筑物OP，為了測量它的高度，在地面上選一長度為40m的基線AB，若在點(diǎn)A處測得P點(diǎn)的仰角為30°，在B點(diǎn)處的仰角為45°，且∠AOB=30°，則建筑物的高度為（）A．20m B．20m C．20m D．40m參考答案：D【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【專題】綜合題；方程思想；演繹法；解三角形．【分析】設(shè)旗桿的高度為hm．依題意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，由題意可得，OB=OP=h（m），OA=h，結(jié)合余弦定理，可得AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB可求h．【解答】解：設(shè)旗桿的高度為hm．依題意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，∴OB=OP=h（m），OA=h（m）由余弦定理，可得AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB即1600=3h2+h2﹣3h2，解得h=40（m）∴旗桿的高度為40m．故選D．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)及余弦定理在解實(shí)際問題中的三角形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的三角形問題，屬于解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用．4.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：B5.已知直線x+y﹣5=0與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域?yàn)镸，不等式組所形成的區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)在區(qū)域M中隨機(jī)放置一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域N的概率是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】由題意畫出圖形，求出M、N的面積，結(jié)合幾何概型求得答案．【解答】解：由題意畫出圖形如圖，直線x+y﹣5=0與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域?yàn)镸為三角形AOB及其內(nèi)部區(qū)域，其面積為；不等式組所形成的區(qū)域?yàn)镹為圖中陰影部分，聯(lián)立，解得C（，），其面積為．由幾何概型可得：點(diǎn)落在區(qū)域N的概率是．故選：A．6.已知F1、F2分別是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交叉雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（，2） D．（1，2）參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】確定M，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，進(jìn)而由?＜0，結(jié)合a、b、c的關(guān)系可得關(guān)于ac的不等式，利用離心率的定義可得范圍．【解答】解：設(shè)直線方程為y=（x﹣c），與雙曲線（a＞0，b＞0）聯(lián)立，可得交點(diǎn)坐標(biāo)為P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），∴=（﹣，），=（，），由題意可得?＜0，即＜0，化簡可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e=＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故選：D．7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由，，得，據(jù)此可得：，由，得：

8.若（1﹣2x）2016=a0+a1x+…+a2016x2016（x∈R），則++…+的值為(

)A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2參考答案：C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【專題】二項(xiàng)式定理．【分析】在所給的等式中，令x=0可得a0=1；令x=可得a0+++…+=0，從而求得++…+的值．【解答】解：在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2016中，令x=0可得，（1﹣0×2）2016=a0，即a0=1，在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2016中，令x=可得，（1﹣2×）2011=a0+++…+，即a0+++…+=0，而a0=1，∴++…+=﹣1，故選：C．【點(diǎn)評】此題是個基礎(chǔ)題．此題考查了二項(xiàng)展開式定理的展開使用及靈活變形求值，特別是解決二項(xiàng)式的系數(shù)問題時(shí)，常采取賦值法，屬于中檔題．9.函數(shù)的定義域?yàn)?

)A．(2,+∞)

B．(－1,2)∪(2,+∞)

C．(－1,2)

D．(－1,2]參考答案：C函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.

10.在中，若，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為A．

B．2

C．

D．4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若集合，則實(shí)數(shù)

.參考答案：12.如圖在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是線段BC上的兩點(diǎn)，且，則的取值范圍是___________．參考答案：略13.已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線l：垂直，C的一個焦點(diǎn)到l的距離為1，則C的方程為__________________.參考答案：【知識點(diǎn)】直線的位置關(guān)系和距離公式；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)

H2

H6【答案解析】

解析：雙曲線的一條漸近線與直線l：垂直，雙曲線的漸近線的斜率為，則，①由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，則，，即，②，聯(lián)立①②，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：【思路點(diǎn)撥】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即求參數(shù)。根據(jù)已知可求出漸近線的斜率，得到一個關(guān)于的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合雙曲線的性質(zhì)得到另外一個關(guān)于的方程，聯(lián)立兩個方程，解出參數(shù)即可。14.關(guān)于的二次不等式的解集為，且，則的最小值為___________.參考答案：略15.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是．參考答案：600【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的頻率，再求成績小于60分的學(xué)生數(shù)．【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，得在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的頻率是（0.002+0.006+0.012）×10=0.20∴在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是3000×0.20=600．故答案為：600．16.已知函數(shù)，則________.參考答案：-217.關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），且x2﹣x1=15，則a=

．參考答案：考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），則x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．解答： 解：∵關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為（x1，x2），∴x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的實(shí)數(shù)根，∴△=4a2+32a2＞0．∴x1+x2=2a，x1x2=﹣8a2．∵x2﹣x1=15，∴152==4a2+32a2，又a＞0．解得a=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，以橢圓的2個焦點(diǎn)與1個短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為2。（1）求橢圓的方程；（2）如圖，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長度為，求直線l的方程。參考答案：（1）由橢圓的離心率為，得，

….…….….….….….….….….…2分由得，

….….….….….….…4分，

….….….….….….…5分所以橢圓方程為．

….….….….….….…6分（2）解：設(shè)直線，，，中點(diǎn)．聯(lián)立方程得，.

….….….….…8分．

….….….….…10分所以，點(diǎn)到直線的距離為．.….….…12分由以線段為直徑的圓截直線所得的弦的長度為得，所以，解得，

….….….….….….….….….….….…14分

所以直線的方程為或．….….….….….….….….….…15分19.已知函數(shù)(Ⅰ)求函數(shù)的極值點(diǎn);(Ⅱ)若直線過點(diǎn),并且與曲線相切,求直線的方程.(Ⅲ)設(shè)函數(shù),其中,求函數(shù)在上的最小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))參考答案：略20.已知等差數(shù)列中，，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列的前k項(xiàng)和，求k的值．參考答案：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.從而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝＝2n－n2.進(jìn)而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.

又k∈N*，故k＝7為所求．略21.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其中．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，設(shè)的前項(xiàng)和為．求最小的正整數(shù)，使得．參考答案：（Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意有，解得，從而的通項(xiàng)公式為；(Ⅱ)因?yàn)?，所以．令，解得，故?。?2.（本小題滿分10分）如圖，⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P.求證：（Ⅰ）AD∥EC；