橢圓離心率的變式

橢圓離心率的變式教學宋學倫在教學中我們把包括條件的探究（增加、減少或變更條件）、結(jié)論的探究（結(jié)論是否唯一）、數(shù)與形的探究、引申探究（命題是否可以推廣）等的教學方法我們叫題目的變式教學。我們就以橢圓的離心率的求解為例分析變式教學如何用。圓錐曲線離心率的求解是高考的一個熱點，分離心率的值的求解和取值范圍的求解兩部分。特別是離心率的取值范圍的求解更是一個難點。離心率的確切值的求解求解時若方程給定分別求a,b,c;若不知方程構(gòu)建a,c的齊次式兩邊同時除以a得e的方程，以此解e。X2y若ZABC=90。，則該橢圓的離心率為（）D.示例：如圖A、B、C分別為蒞+十=1（a>b>0）若ZABC=90。，則該橢圓的離心率為（）D.解析：|AB〔2=a2+b2,|BC〔2=b2+c2,|AC|2=(a+c)2.TZABC=90°,.°.|AC|2=|AB|2+|BC〔2,即(a+c)2=a2+2b2+c2,/.2ac=2b2,即b2=ac..°.a/.2ac=2b2,即b2=ac..°.a2—C2=ac.a?—>?c1,解之得e=T于詬，又?.?e>O,.?.e=?答案：A點評：求橢圓的離心率的確切取值時，其法有三：一是通過已知條件列方程組,解出a,c的值；二是由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.變式一：把條件“A、B、C分別為計±=1（a>b>0）的頂點與焦點,x2y2若ZABC=90。"改為"F、F分別為橢圓一+】=1（a>b>0），的左、12 a2b2右焦點，A為橢圓的上頂點，直線A.交橢圓于另一點B.若/卩押=90°”求橢圓的離心率；解：若ZFxAB=90。，貝y^AOF2為等腰直角三角形，所以有OA=OF，即b=c.所以a=\：2c,e=~=2 a2變式二：把條件"A、B、C分別為|+b2=l（a>b>0）的頂點與焦點，若ZABC=90°”改為"橢圓通過A,B兩點，它的一個焦點為點C,且AB=AC=1,ZBAC=900，橢圓的另

個焦點在AB上”，求橢圓的離心率為 解析設(shè)另一個焦點為F,如圖所示，???|ABI=IACI=1,AABC為直角三角形,2+^/2??1+1+冷2=4a，貝Ha= ,設(shè)IFAI設(shè)IFAI=x,.?「x+1=2a,、1—x+^/2=2a.?°?x=^2,?：i+2=4C2,???c=￥，e=a=V6—V3. 答案石—遠變式三：把條件“A、B、C分別為*+b2=l（a〉b〉o）的頂點與焦點，若ZABC=90°“改為“F「F2分別為圓錐曲線的左、右焦點，曲線上存在點P使|PFJ:岸戸：|PF2|=4：3：2,則曲線r的離心率等于（）d.|或2a.2或|解：設(shè)|FiF2|=2c(c>0),由已知|PFJ:|嚇2|:|PF2d.|或2TOC\o"1-5"\h\z8 4|PFx|=|c,|PF2I=|c，且|PFx|>|PF2|,c1

若圓錐曲線為橢圓，則2a=|PF|+|PF|=4c，離心率e=a=2

12 a24 c3若圓錐曲線為雙曲線，則2a=|PF|—|PF|=|c，離心率e=-=2，故選A.1 23 a2離心率的取值范圍的求解解題的關(guān)鍵在于如何建立不等關(guān)系定離心率的取值范圍.示例：橢圓G:-+b-=1（a〉b〉0）的兩焦點為F1Y0）,中0），橢圓上存在點M使FM-嚇=0-求橢圓離心率e的取值范圍;TOC\o"1-5"\h\z解：設(shè)M(x,y),FM-FM=0nx2+y2=c2 ①12a2b27 b2 a2b2 a2b2將y2=b2一x2代入①得x2=a2一 0<x2<a2求得——<e<1a2 2 2點評：藥+br=1（a〉b〉0）中忖＜a，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)

范圍問題中經(jīng)常使用，應給予重視.變式一：把條件“橢圓上存在點m使fm-F2M=0”改為“滿足M-匹=0的點M總在橢圓內(nèi)部”則橢圓離心率的取值范圍是（）A．(0,1)B．(o,2]D．A．(0,1)B．(o,2]D．解析：設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a、b、c,???MF-斫=0,???M點的軌跡是以原點0為圓心，半焦距C為半徑的圓.1又M點總在橢圓內(nèi)部，.??該圓內(nèi)含于橢圓，即cVb,C2<b2=a2-C2.??.e2=￥v2，???0Vev￥.答案：Ca22 2變式二：將條件“橢圓上存在點M使FM?FM=0”改為“橢圓上存在P滿足PF?PF=0且有且只有兩個這樣的點求離心率的值？若這樣的點有且只有四個呢?12解：設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a、b、c，???MF-MF=0,當這樣的點有兩個時m點在橢圓的短軸端點上.1b二c,即a-丟e二￡二至a2當這樣的點有四個時則b<c即a2<2c2所以耳<e<1變式三：把條件“橢圓上存在點M使FM-FM=0”改為“在橢圓上存在點P，滿足IPF|=5|PFl”則橢圓的離心率的取值范圍為( )。12解:V|PFiI=5|PF2I,?|PFiI+|PF2I=6|PF2I=2a，|PF2I=3，|PF」=5-，所以3a-3<2c22所以3<e<1，故橢圓離心率的取值范圍為3<e<1.變式四：把條件“橢圓上存在點M使FM-FM=0”改為“在橢圓上存在點P,滿足ZFPF1212=60。”.求橢圓離心率的范圍？x2y2解：設(shè)橢圓方程^-_+b_=1(a>b>0)，|PF|=m，|PF|=n.a2b2 1 2在APFF中，由余弦定理可知，4c2=m2+n-2mncos60o.12?/m+n=2a,/.m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn:.4c2=4a2-3mn,艮卩3mn=4a2-4c2TOC\o"1-5"\h\zf m+兀、 c ,c1\o"CurrentDocument"又：mn<( )2=a2, 3a2>4a2-4