(完整版)高考文科立體幾何證明專(zhuān)題

(完整版)高考文科立體幾何證明專(zhuān)題

高考文科立體幾何證明專(zhuān)題1.在等邊三角形ABC中，如圖4所示，D和E分別是AB和AC邊上的點(diǎn)，AD和AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G。將ABF沿AF折起，得到如圖5所示的三棱錐ABCF，其中BC=2BF。(1)證明：DE//平面BCF；(2)證明：CF//平面ABF；(3)當(dāng)AD=2時(shí)，求三棱錐FDEG的體積VFDEG。解析：(1)在等邊三角形ABC中，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到AD/DB=AE/EC，即AD=AE，所以DE//BC。又因?yàn)镕是BC的中點(diǎn)，所以AF=BF=CF，所以CF//平面ABF。因此，DE//平面BCF。(2)因?yàn)镕是BC的中點(diǎn)，所以BF=CF，又因?yàn)锳D=AE，所以AD和AE的中垂線經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)F，所以AF是平面ABCD的中垂線，所以CF//平面ABF。(3)由題意可知，PH是PAD中AD邊上的高，所以PH=AD/2=1。又因?yàn)镈F=AB，所以三角形PDF和PAB全等，所以PF=PA=PB=PC，所以PC=2CF=2。根據(jù)勾股定理，可以得到PD=AD=√3。因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以PE=EB=1，所以三角形PED是等邊三角形，所以角PED=60°。根據(jù)正弦定理，可以得到角PDE的正弦值為√3/2，所以角PDE=60°。因此，三棱錐FDEG是一個(gè)正四面體，所以VFDEG=1/3×(√2/4×1×1)3=1/12。2.在四棱錐P-ABCD中，如圖6所示，AB平面PAD，ABCD，PD=AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF=AB，PH為PAD中AD邊上的高。(1)證明：PH平面ABCD；(2)若PH=1，AD=2，F(xiàn)C=1，求三棱錐E-BCF的體積。解析：(1)因?yàn)锳B平面PAD，所以PH垂直于AB。又因?yàn)镻D=AD，所以PH也垂直于PD。所以PH垂直于平面ABCD，即PH平面ABCD。(2)過(guò)B點(diǎn)做BG垂直于平面ABCD，垂足為G。因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以PE=EB=1。又因?yàn)镈F=AB，所以三角形PDF和PAB全等，所以PF=PA=PB=PC，所以PC=2FC=2。因?yàn)锳D=2，所以PD=2。因?yàn)镻H=1，所以PAD的面積為1，所以PD×PH=1，即PD=1/2。因?yàn)镻H平面ABCD，所以PH與BG平行，所以PH/BG=PD/PG，即PG=2。因?yàn)镻E=1，所以PG=√(PE2+EG2)=√(1+EG2)，所以EG=√3。因?yàn)镋B=1，所以BE=√(EB2+EG2)=2。因?yàn)锽F=DC-DF=2-1=1，所以三角形BFC是等腰三角形，所以角BFC=角BCF。因?yàn)榻荁CD=角ABD，所以三角形BCD和三角形ABD相似，所以BD/CD=1/2，即BD=CD/2=√3。因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以PE=EB=1，所以角PED=60°。因?yàn)榻荁FC=角BCF，所以角BFG=60°。因此，三棱錐E-BCF是一個(gè)三棱錐，所以VE-BCF=1/3×BE2×EG=1/3×22×√3=4√3/3。本文是高考文科立體幾何證明專(zhuān)題，其中包括了多個(gè)證明題目。下面對(duì)每個(gè)題目進(jìn)行格式修正和改寫(xiě)：3B題：已知四面體ABCD，其中MN、AN、AM分別是BC、BD、CD的高，AN⊥BD，MN⊥BC，MN=3AN，AN=6AM，證明：ANMN是直二面角。解法：首先可以得到MN∥BD，AN⊥BD，因此AN是BD的中線。又因?yàn)镸N⊥BC，所以ANMN是直角。另外，由于AN=6AM，MN=3AN，可以得到MN=18AM，即ANMN是直二面角。5題：已知四面體ABCD，G是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)G、EG分別與PC、PD交于F、E，AE=2CD，證明：AF∥GE。解法：首先可以得到FG=2CD，AE=2CD，因此FGAE是平行四邊形，即AF∥GE。另外，因?yàn)镚E在平面PEC內(nèi)，所以AF∥平面PCE，又因?yàn)槠矫鍼CE與平面PCD垂直，所以AF⊥CD。綜上所述，AF∥GE。6題：已知四面體ABCD，MN⊥AB，MN在平面MNQ內(nèi)，CC1⊥AB，CC1⊥MN，BC1⊥NQ，PC1在平面ABC1內(nèi)，證明：PC1∥平面MNQ。解法：首先可以得到MN⊥AB，因此MN⊥平面PCC1，又因?yàn)镃C1⊥MN，所以MN是平面PCC1的高。又因?yàn)锽C1∥NQ，AB∥MN，所以平面ABC1∥平面MNQ。綜上所述，PC1∥平面MNQ。證明題：已知四面體ABCD，AD=4，AF和DF分別與平面ABCD交于F、D，證明：DF⊥AF。解