歐拉多面體公式

多面體歐拉公式的歷史、建立過(guò)程和方法古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和柏拉圖學(xué)派,他們發(fā)現(xiàn)了五種正多面體:正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。歐幾里得在《幾何原本》中曾試圖證明只有這五種正多面體,但沒有成功。在很長(zhǎng)的歷史時(shí)期里,這個(gè)問(wèn)題沒有解決。后來(lái),人們逐漸認(rèn)識(shí)到,依靠角度、長(zhǎng)度、面積等幾何量的測(cè)量或計(jì)算,這個(gè)問(wèn)題難以解決,而從多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)的關(guān)系入手,有可能獲得成功。1639年,笛卡兒考察了五種正多面體頂點(diǎn)數(shù)(V)、棱數(shù)(E)和面數(shù)(F)的關(guān)系，采用不完全歸納法，猜測(cè)到:頂點(diǎn)數(shù)與面數(shù)之和減去棱數(shù),是一個(gè)不變量2,也就是:V+F-E=2。后來(lái),他又用一些簡(jiǎn)單的多面體來(lái)驗(yàn)證自己的猜想,但是沒有給出嚴(yán)格的證明,也沒有發(fā)表。1751年,歐拉給出了這一性質(zhì)的一個(gè)證明。后人稱它為多面體歐拉公式。歐拉之所以對(duì)這一性質(zhì)感興趣,是要用它來(lái)做多面體的分類。［1］但歐拉沒有考慮到連續(xù)變換下的不變性。歐拉問(wèn)題的提出：任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和為180度,與三角形的形狀無(wú)關(guān)，進(jìn)而得到任一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)兀，表明凸多邊形的內(nèi)角和由邊數(shù)完全決定，而與形狀無(wú)關(guān)。那么，推廣到空間,對(duì)于由若干個(gè)多邊形圍成的凸多面體,是否也有某種類似的簡(jiǎn)單性質(zhì)呢?歐拉就這樣由類比提出了問(wèn)題。歐拉證明如下：一個(gè)多面體有幾種角呢?每條棱處有一個(gè)由兩個(gè)面組成的二面角;每個(gè)頂點(diǎn)處,有一個(gè)由相交于這個(gè)頂點(diǎn)的各個(gè)面所圍成的角,叫立體角(它的大小等于以立體角頂點(diǎn)為球心的單位球面被這個(gè)立體角的各個(gè)面所截出的球面多邊形的面積的大小)；每個(gè)面多邊形的每一個(gè)內(nèi)角，叫多面體的一個(gè)面角。歐拉首先考察多面體的所有二面角之和(記為工§)及所有立體角之和(記為工?)，看它們是否有某種簡(jiǎn)單的性質(zhì)。歐拉從最簡(jiǎn)單的多面體—四面體開始考察。四面體由四個(gè)三角形圍成(圖1),為了便于計(jì)算，歐拉考察了兩種退化的情形。(1)四面體退化成一個(gè)三角形和它內(nèi)部一點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)所連成的線段(圖2)。（2）四面體退化成一個(gè)平面凸四邊形和它的兩條對(duì)角線（圖（2）四面體退化成一個(gè)平面凸四邊形和它的兩條對(duì)角線（圖3）。圖【 圖2對(duì)于情形（1）（圖2）,三角形三邊處的二面角皆為0內(nèi)部三條線段處的二面角皆為兀，所以工6=3兀.三角形三個(gè)頂點(diǎn)處立體角皆為兀，內(nèi)部頂點(diǎn)處的立體角等于2兀（即半個(gè)單位球面的面積，球面面積為4兀r2），所以工①=2兀。對(duì)于情形（2）（圖3）,四邊形四條邊處的二面角皆為0,兩條對(duì)角線處的二面角皆為兀，所可見四面體的二面角之和與立體角之和都與四面體的形狀有關(guān)，沒有類似于三角形內(nèi)角和定理這樣簡(jiǎn)單的性質(zhì)?多么令人失望啊，然而歐拉并沒有就此止步，因?yàn)檫€有面角和尚未考察呢.記多面體的面角和為工a,歐拉先考察四面體.四面體由四個(gè)三角形圍成，所有面角之和Ya=4兀,與四面體的形狀無(wú)關(guān).這個(gè)結(jié)果對(duì)歐拉是一個(gè)鼓舞.繼續(xù)考察五面體.五面體（一）（圖4）由兩個(gè)三角形和三個(gè)四邊形圍成,所有面角之和工a=2xk+3x(4-2)兀=8兀五面體（二）（圖5）由一個(gè)四邊形和四個(gè)三角形圍成,所有面角之和工a=(4-2)兀+4xk=6兀這兩個(gè)Ea不等，說(shuō)明面角和不能簡(jiǎn)單地由面的個(gè)數(shù)來(lái)決定.歐拉接著又考察了幾個(gè)多面體，看能不能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

立方體（圖6）由六個(gè)正方形圍成,所有面角之和工^=6x（4-2加=12兀正八面體（圖7）由八個(gè)三角形圍成,所有面角之和工a=8xi=8兀五棱柱（圖8）由兩個(gè)凸五邊形和五個(gè)平行四邊形圍成,所有面角之和=2x（5一2）i+5x（4一2）兀=16兀尖頂塔形（圖9）是在立方體上加一個(gè)四棱錐,由五個(gè)正方形和四個(gè)三角形圍成,所有面角之和 =5x（4一2）i+4xn=14n從上述數(shù)據(jù)能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?歐拉發(fā)現(xiàn)雖然它們都不相等，但都小于2Vn（此處v是多面體的頂點(diǎn)數(shù)），且與2Vn的差是一個(gè)常數(shù)2Vn-Ea=4n。將觀察所得材料進(jìn)行歸納,尋找和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，決不是一種簡(jiǎn)單的一眼就能看出的事情，在這里，如何進(jìn)行歸納是能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律的關(guān)鍵?歐拉把觀察所得面角和與ZV二進(jìn)行比較，表現(xiàn)了非凡的創(chuàng)造性,導(dǎo)致了發(fā)現(xiàn).歐拉認(rèn)為上述結(jié)果不像是偶然的巧合，因?yàn)樵诳疾斓亩嗝骟w中，既有規(guī)則的（例如立方體、正四面體和正八面體）也有不規(guī)則的（例如五面體（一）和（二））以及五棱柱和尖頂塔形?于是歐猜想:對(duì)于任意凸多面體有Za=2Vn-4n ⑴即多面體的面角和由它的頂點(diǎn)數(shù)完全決定?注意，這只是一個(gè)猜想.歐拉接著又考察了一些多面體,結(jié)果可以列成下表.名面體F72VrlV*r—工U正十二面體122040jt■J77正二面怵202012rr+2(4丹—4)^2n■Ttt+1(2n—2)sr?；7T所得結(jié)果均支持上述猜想，這些雖然增加了猜想成立的可能性，但歐拉明白這還不是對(duì)一般情形的證明。接下來(lái)，歐拉從另一角度計(jì)算多面體的面角和工Q?設(shè)多面體各個(gè)面多邊形的邊數(shù)分別為S,S,S,…,S此處F是多面體的面的個(gè)數(shù)?于TOC\o"1-5"\h\z12 3 F是乏Z a= (S -2)兀 +(S -2)兀+…+(S -2)兀=(S +S+…+S -2F)兀\o"CurrentDocument"1 2 F 1 2 F其中S+S+…+S二2E。是多面體所有F個(gè)面多邊形的邊數(shù)的總和?在這個(gè)總和中，多1 2 F面體的每一條棱恰好被計(jì)算了兩次(因?yàn)槊恳粭l棱都是相鄰兩個(gè)面的公共邊)?設(shè)多面體的棱數(shù)為E,于是有S+SH HS=2E。1 2 F因此得到=2(E—F)兀 (2)即多面體的面角和由它的棱數(shù)和面數(shù)完全決定?注意，關(guān)系式(2)是經(jīng)過(guò)證明得到的結(jié)論,而不是猜想.歐拉綜合了猜想(1)和事實(shí)(2)(從這兩個(gè)式子中消去)得到V-E+F=2 (3)因此(3)仍然是一個(gè)猜想，尚需要證明.上述發(fā)現(xiàn)公式(3)的過(guò)程，基本上是按照歐拉關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的一篇論文敘述的.歐拉在這篇論文中沒有給出公式的證明?在另一篇論文中，歐拉試圖給出證明，但證明中有一個(gè)很大的漏洞.下面介紹波利亞的書中給出的與前面的討論很接近的一個(gè)證明.注意到，將一個(gè)多面體連續(xù)地變形(例如使多面體變得更傾斜)時(shí)，多面體各面的交線(即棱)和各面的交點(diǎn)(即頂點(diǎn))的位置也會(huì)連續(xù)地變化，但多面體的總體結(jié)構(gòu),即多面體的面、棱和頂點(diǎn)之間的相互關(guān)系不會(huì)改變，于是面數(shù)F,棱數(shù)E及頂點(diǎn)數(shù)F也不會(huì)改變.雖然各個(gè)面角可能會(huì)改變，但前面已經(jīng)證明工a=2兀(E-F),即面角和工a是不會(huì)改變的.下面將多面體連續(xù)地變形到一個(gè)非常極端的情形來(lái)計(jì)算工a(我們對(duì)一般情形的多面體來(lái)證明，但我們心中可以具體想著一個(gè)立方體).以多面體的一個(gè)面為底，將其適當(dāng)擴(kuò)大,擴(kuò)大到使其余F—1個(gè)面向底面的正投影全都落在該底面內(nèi)，然后將該多面體垂直壓向底面?于是多面體被“壓平”為兩個(gè)重疊在一起的多邊形?上下兩塊的外輪廓線互相重合?下面一塊是整塊(即底面)，上面一塊分成F-1個(gè)多邊形，每個(gè)小多邊形都是原來(lái)多面體的一個(gè)面?例如以立方體的一個(gè)面ABCD為底面，壓平后的圖形如圖10.n下面一塊(底面多邊形)的直角和為(m-2)兀?上面一塊的面角和分為兩部分,在邊上m個(gè)頂點(diǎn)處的面角和為(m-2)兀，在內(nèi)部(V—m)個(gè)頂點(diǎn)處的面角和為(V-m)2—于是工a=(m-2)n+(m-2)兀+(V-m)2兀=2Vn-4兀這就證明了前面的猜想(1).再由前面已經(jīng)得到的》a=2兀(E-F),也就證明了猜想(3)V-E+F=2.1811年,法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西利用不變量的思想，重新給出了這個(gè)公式的證明。第一個(gè)歐拉公式的嚴(yán)格證明，由20歲的法國(guó)科學(xué)家柯西給出，大致如下：從多面體去掉一面，通過(guò)把去掉的面的邊互相拉遠(yuǎn)，把所有剩下的面變成點(diǎn)和曲線的平面網(wǎng)絡(luò)。不失一般性，可以假設(shè)變形的邊繼續(xù)保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時(shí)候它們是正常的。但是，點(diǎn)，邊和面的個(gè)數(shù)保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的外部。)重復(fù)一系列可以簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)卻不改變其歐拉數(shù)(也是歐拉示性數(shù))F-E+V的額外變換。1.若有一個(gè)多邊形面有3條邊以上，我們劃一個(gè)對(duì)角線。這增加一條邊和一個(gè)面。繼續(xù)增加邊直到所有面都是三角型。(逐個(gè))除去所有和網(wǎng)絡(luò)外部共享兩條邊的三角形。這會(huì)減少一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊和一個(gè)面。除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個(gè)數(shù)各減一而保持定點(diǎn)數(shù)不變。重復(fù)使用第2步和第3步直到只剩一個(gè)三角形。對(duì)于一個(gè)三角形F=2(把外部數(shù)在內(nèi))，E=3,V=3。所以F-E+V=2。證畢。1813年，瑞士數(shù)學(xué)家呂利埃發(fā)現(xiàn)歐拉公式并非對(duì)任何多面體都成立。例如，一個(gè)正立方體中挖去一個(gè)小立方體，貝y：V+F-E=4如果把小立方體上下都挖通，則:V+F-E=O呂利埃發(fā)現(xiàn)了歐拉公式成立的條件，那就是多面體必須是凸多面體。一個(gè)多面體，如果上面沒有洞”，使得它的表面能連續(xù)地變形為一個(gè)球面，就是凸多面體。1847年，德國(guó)數(shù)學(xué)家施陶特簡(jiǎn)化了多面體歐拉公式的證明,現(xiàn)在一般拓?fù)鋵W(xué)課本上都是用施陶特的證明。后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加萊(1854-1912)又用拓?fù)渌枷胫匦驴疾炝硕嗝骟w的歐拉公式，認(rèn)識(shí)到這一公式是一個(gè)典型的拓?fù)湫再|(zhì)定理。發(fā)現(xiàn)多面體歐拉公式的方法主要是歸納法，還有類比法。拉普拉斯說(shuō)：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！睔w納法是從觀察和實(shí)驗(yàn)得來(lái)的許多個(gè)別的事實(shí)材料中推出一般性結(jié)論的思維方法。歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法。不完全歸納法的步驟是:觀察——?dú)w納——猜想。發(fā)現(xiàn)多面體的面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)和棱數(shù)(E)之間的關(guān)系，就先從觀察入手，拿幾個(gè)多面體來(lái)，數(shù)一數(shù)它們的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)，列成一個(gè)表，例如多面體|們數(shù)(尸丿頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)立方體6812三棱錐446六棱錐7712六棱柱81218在觀察這些特例數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,進(jìn)行歸納,得出猜想:對(duì)于任何多面體來(lái)說(shuō),面數(shù)加頂點(diǎn)數(shù)減棱數(shù)等于2,即:F+V-E=2但是,由于數(shù)據(jù)太少,靠少量數(shù)據(jù)得出的公式難以令人信服?？赡軞W拉還會(huì)通過(guò)多面體的“生成法”進(jìn)一步去考慮這個(gè)問(wèn)題。例如,在四面體或六面體之外,加一個(gè)頂點(diǎn),使它和靠近那一面的各個(gè)頂點(diǎn)聯(lián)起來(lái),作成一個(gè)新的多面體。然后，再考慮F、V、E的變化情況,結(jié)果發(fā)現(xiàn)(F+V)和E的增加數(shù)相同，所以公式中F+V-E的數(shù)值保持不變。一般說(shuō)來(lái)，設(shè)想多面體外增加一點(diǎn)A和靠近它的那一面(例如有n個(gè)頂點(diǎn)的面)的各頂點(diǎn)聯(lián)起來(lái)，這就增加了n個(gè)邊,也就是E增加了數(shù)目n;另一方面,又增加了(n-1)個(gè)面，外加頂點(diǎn)A、(F+V)的數(shù)值也增加了(n-1)+1=n，因此，(F+V)-E總保持不變?？梢韵嘈?歐拉正是通過(guò)觀察——?dú)w納——猜想才得出多面體歐拉公式的。類比法是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似之點(diǎn)后，推測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方法。多面體可以和多邊形類比，正如