二次根式的有關概念及性質(zhì)

二次根式的有關概念及性質(zhì)

二次根式的概念及性質(zhì)一、二次根式的概念：1.二次根式：形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子。2.最簡二次根式：滿足以下兩個條件的二次根式稱為最簡二次根式：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。例如，$\sqrt{4}$含有可開得盡方的因數(shù)4，不是最簡二次根式；而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最簡二次根式。3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就是同類二次根式。例如，$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同類二次根式。4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式。例如，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。二、二次根式的性質(zhì)：1.非負數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個數(shù)，即：$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）。2.非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq0$）。3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于該數(shù)的絕對值，即$\sqrt{a^2}=|a|$。4.非負數(shù)的積的算術(shù)平方根等于各因式的算術(shù)平方根的積，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt$（$a\geq0,b\geq0$）。5.非負數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即$\sqrt{\frac{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}$（$a\geq0,b>0$）。三、例題：例1.求$x$的取值范圍，使得以下各式有意義：(1)$\frac{1}{\sqrt{6-x}}$；(2)$\sqrt{x^2+3}$；(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$；(4)$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$；(5)$\sqrt{4-x^2}$；(6)$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。解：這是一組考察二次根式基本概念的問題，要弄清每一個數(shù)學表達式的含義，根據(jù)分式和根式成立的條件去解，即要考慮到分式的分母不能為零，偶次根號下被開方數(shù)要大于或等于零。(1)$\frac{1}{\sqrt{6-x}}$有意義當且僅當$6-x>0$，即$x\leq6$。(2)$\sqrt{x^2+3}$對于任意實數(shù)$x$都有意義。(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$有意義當且僅當$x<3$且$x\neq-3$。(4)$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$有意義當且僅當$2x-1\geq0$且$x-1\geq0$，即$x\geq\frac{1}{2}$。(5)$\sqrt{4-x^2}$有意義當且僅當$-2\leqx\leq2$。(6)$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$有意義當且僅當$2\leqx\leq5$。例2.寫出下列各等式成立的條件：(1)$\sqrt{3x}=-3x$；(2)$\sqrt{m^2n^2}=mn$；(3)$\sqrt{2a+1}=1+2a$；(4)$\sqrt{a^2b^2}=ab$；(5)$\sqrt{\frac{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}$。解：本題考察算術(shù)平方根的概念及二次根式的性質(zhì)。(1)$\sqrt{3x}=-3x$有意義當且僅當$3x\geq0$且$-3x\geq0$，即$x=0$。(2)$\sqrt{m^2n^2}=mn$對于任意實數(shù)$m,n$都成立。(3)$\sqrt{2a+1}=1+2a$有意義當且僅當$2a+1\geq0$且$1+2a\geq0$，即$a\geq-\frac{1}{2}$。(4)$\sqrt{a^2b^2}=ab$對于任意實數(shù)$a,b$都成立。(5)$\sqrt{\frac{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}$有意義當且僅當$a\geq0$且$b>0$。成立，隱含m≥0，因此有1+2a≥0，即a≥-1/2。（4）根據(jù)題意可得x=±1。（5）由等式兩邊同時乘以-1可得|2-x|-|x+5|=7-x。因此只有當|x+5|=x+5，|2-x|=x-2時才成立，即x≥2。例3.化簡下列各式：（1）π-3（2）a2(m<0)=-a2（3）2-x(x>2)（4）|3x-1|（6）當x≥0時，原式為-2xy，當x<0時，原式為2xy。（7）根據(jù)|x+1|+|4-x|=|x-(-1)|+|x-4|的性質(zhì)，將x的取值分成三段來討論，當x≤-1時，原式為3-2x；當-1<x<4時，原式為5；當x≥4時，原式為2x-3。例4.把根號外的因式移至根號內(nèi)：（1）2=√2×√1；（2）-5=-√5×√1；（3）m(m≥0)=√m×√m；（4）x(x