2020-2021高三數(shù)學(xué)新高考第三次月考模擬試卷模擬卷（五）（解析版）

2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)第三次月考模擬卷（五）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題?第8題，共40分）、多項(xiàng)選擇

題（第9題?第12題，共20分）、填空題（第13題?第16題，共20分）

和解答題（第17題?第22題，共70分）四部分.本卷滿分150分，考試時(shí)

間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等用0.5毫米黑色墨水的簽字

筆填寫(xiě)在答題卡、試卷和草稿紙的指定位置上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用23鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答

案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇

題時(shí)，用0.5毫米黑色墨水的簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷或草稿

紙上均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

5.如需作圖，須用25鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.）

1.已知集合4={1,2,3,5,7,11},B={x[3<x<15},則4nB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：???4={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},

■■AOB={5,7,11},

??.ACB中元素個(gè)數(shù)為3.

故選B.

2.命題p：“VxeR,/+2x+1>0”的否定是()

2

A.Vxe/?,x+2x+1<0B.3x06R,使得就+2x0+1<0

C.3x0GR,使得以+2x0+1>0D.3x0GR,使得話+2x0+1<0

【答案】B

【解析】解：由全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，可得

命題p：**VxGR,x2+2x+l>0"的否定是

u

3x0eR,使得詔+2x0+1<0",

故選：B.

由全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，以及量詞和不等號(hào)的變化，即可得到所求命題的否定.

本題考查命題的否定，注意運(yùn)用全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，以及量詞和不等號(hào)的變化,

屬于基礎(chǔ)題.

3.在AABC中，AB=a,AC=b>M是AB的中點(diǎn)，N是CM的中點(diǎn)，則麗=()

A.扣+|方B.軟+?C.加+笆D.軻+尹

【答案】。

【解析】

【分析】

本題考查向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

可畫(huà)出圖形，根據(jù)條件及向量加法的平行四邊形法則和向量數(shù)乘的幾何意義即可用五石

表示出戒

【解答】

解：如圖,

■：AB=a,AC=b，M是A8的中點(diǎn)，N是CM的中點(diǎn);

1—.—.11―,

-(AM+AC)=-(-AB+AQ

第2頁(yè)，共19頁(yè)

=扣+/.

故選：D.

4.如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車(chē)，需要測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離,已知山高力B=

l(/cm),CD=3(km),在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為30。，山頂C的仰角為

60°,^AEC=150°,則兩山頂A,C之間的距離為()

A.2y/7(km)B.3V3(/cm)C.4-72(.km)D.3\/5(km)

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了三角形的邊角關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

利用直角三角形的邊角關(guān)系，求得AE和CE的長(zhǎng)，再利用余弦定理求得AC的長(zhǎng).

【解答】

解：AB=1,CD=3,

乙4EB=30。，“ED=60。，/.AEC=150°,

???AE=2AB=2,CE=備=卷=2日

2

在△ACE中,由余弦定理得:

AC2=AE24-CF2-2x/IFxCExcos乙4EC

lV3

=4+12-2x2x2V3x

=28,

???AC=25/7;

即兩山頂人。之間的距離為2b

故選：A.

2

5.己知Q=log27,b=log38,c=0.3°,則mb,c的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】4

【解析】

【分析】

本題主要考查對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的大小比較，屬基礎(chǔ)題.

本題可根據(jù)相應(yīng)的對(duì)數(shù)式與指數(shù)式與整數(shù)1、2進(jìn)行比較即可得出結(jié)果.

【解答】

解：由題意，可知：

a=log27>log24=2,

1=log33<b=log38<log39=2,

c=O.30-2<1,

c<b<a.

故選：A.

6.直線y=x被圓。-l)2+y2=1所截得的弦長(zhǎng)為()

A.立B.1C.V2D.2

2

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查了直線與圓相交的弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

找出圓心坐標(biāo)與半徑r,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d,利用勾股

定理求出弦長(zhǎng)即可.

【解答】

解：由圓的方程得：圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑r=L

?:圓心到直線x-y=0的距離d=左，

???直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2,產(chǎn)一溟=2Jl=V2.

故選C.

7.已知函數(shù)〃為=1咤2(尤2-<^+3(1)在區(qū)間[2,+8)上遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.(—8,4)B.(-4,4)C.(-4,4]D.[-4,+oo)

第4頁(yè)，共19頁(yè)

【答案】c

【解析】

【分析】

本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和一元二次方程根的分布，換元法是解決本類(lèi)問(wèn)題的根

本.

22

由題意知函數(shù)f(x)=log2(x—ax+3a)是由y=log2t和t(x)=x—ax+3a復(fù)合而來(lái),

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論，只要t(x)在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增且士(?>0即可.

【解答】

解：=x2—ax+3a,由題意知：

t(x)在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增且￡(%)>0,

伊2

(t(2)=4—2a+3a>0

解得：—4<a<4

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4,4］.

故選C.

8.已知偶函數(shù)f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，且/(一2)=3,則滿足f(2x-3)<3的x的

取值范圍是()

A.(-81)u(|,+8)B.(1)1)

Q1QI

C.(-00,--)u(--,+oo)D.(-5,-5)

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是將/(2x-3)<3轉(zhuǎn)化為|2x-3|<

2,屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可以將f(2x-3)<3轉(zhuǎn)化為|2x—3|<2,解可得

x的取值范圍，即可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意,f(x)為偶函數(shù),W(2x-3)=/(|2x-3|),/(一2)=/(2)=3,

乂由/'(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

則/'(2%-3)<3=>/(|2x-3|)</(2)=>|2x-3|<2,

解可得］<x<|.

故選:B.

二、多項(xiàng)選擇題：(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有

選錯(cuò)的得0分.)

9.“雙11”購(gòu)物節(jié)中，某電商對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購(gòu)物付款總額滿一

定額度，可以給與優(yōu)惠：

(1)如果購(gòu)物總額不超過(guò)50元，則不給予優(yōu)惠；

(2)如果購(gòu)物總額超過(guò)50元但不超過(guò)100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券；

(3)如果購(gòu)物總額超過(guò)100元但不超過(guò)300元，則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠；

(4)如果購(gòu)物總額超過(guò)300元，其中300元內(nèi)的按第(3)條給予優(yōu)惠，超過(guò)300元的

部分給予8折優(yōu)惠.

某人購(gòu)買(mǎi)了部分商品，則下列說(shuō)法正確的是()

A.如果購(gòu)物總額為78元，則應(yīng)付款為73元

B.如果購(gòu)物總額為228元，則應(yīng)付款為205.2元

C.如果購(gòu)物總額為368元，則應(yīng)付款為294.4元

D.如果購(gòu)物時(shí)一次性全部付款442.8元，則購(gòu)物總額為516元

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合購(gòu)物總額對(duì)應(yīng)哪種情況進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】

解：對(duì)于A項(xiàng)，購(gòu)物總額為78元，屬于情況(2),可以使用一張5元優(yōu)惠券，則應(yīng)付款

為78-5=73元，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于8項(xiàng)，購(gòu)物總額為228元，屬于情況(3),則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠，

第6頁(yè)，共19頁(yè)

則應(yīng)付款為228X0.9=205.2%,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，購(gòu)物總額為368元，屬于情況(4),則其中300元內(nèi)的按第(3)條給予優(yōu)惠，

超過(guò)300元的部分給予8折優(yōu)惠，故應(yīng)付款為300x0.9+68x0.8=324.4元，故C項(xiàng)

錯(cuò)誤；

對(duì)于0項(xiàng)，若購(gòu)物時(shí)次性全部付款442.8元，屬于情況(4),

設(shè)超過(guò)300元的部分為x元，

則300x0.9+0.8x=442.8,解得％=216元,則購(gòu)物總額為300+216=516元,故。

項(xiàng)正確.

故選ABD.

10.已知方程三+尤=1表示的曲線C,則下列判斷正確的是()

4—tt—1

A.當(dāng)1V￡V4時(shí)，曲線C表示橢圓；

B.當(dāng)t>4或￡V1時(shí)，曲線C表示雙曲線；

C.若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，貝

D.若曲線C表示焦點(diǎn)在)，軸上的雙曲線，貝肘>4；

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)各選項(xiàng)要求，求出相應(yīng)條件，可判斷各自正誤，由此可得結(jié)論.

【解答】

解：二-+2=1表示橢圓，則t—1>0,解得l<t<4且￡力1所以A錯(cuò)誤；

4-tt-14,—tHt—12

工+二=1表示雙曲線，貝iJ(4-t)(t-l)<0,解得t>4或t<l,故8正確；

4-tt-1

22c

工+乙=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則4-t>t-l>0,即故C正確;

4-tt-12

三+三=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則解得t>4,故O正確；

故選BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=(asinx+cosx)cosx的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=1則下列結(jié)論

中正確的是()

A.f(x)是最小正周期為兀的奇函數(shù)

B.(-工,0)是/(均圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

C./(%)在卜古卜上單調(diào)遞增

D.先將函數(shù)y=2sin2x圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的也然后把所得函數(shù)圖象

再向左平移卷個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)f(x)的圖象

【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)y=4sin(3x+3)的圖像和性質(zhì)，屬于中檔題.

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)y=Asin^x+@)的圖像和性質(zhì)逐一判斷即可得出答案.

【解答】

解：由題意可得/(無(wú))=asinxcosx+cos2x-工=Uasin2x+Ucos2x,因?yàn)閤=是函數(shù)

2226

/(X)的圖象的?條對(duì)稱(chēng)軸，

所以"0)=/?)，即；與Sing+2s拳所以a=百，

所以/'(x)=ysin2x+|cos2x=sin(2x+￡),

對(duì)于A：由7=秒=4=兀，所以f(x)的最小正周期為兀，但/(x)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)

誤；

對(duì)于B:令2x+^=k7r(/ceZ),得％=當(dāng)一套(卜€(wěn)2),所以函數(shù)/(%)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心

為(與-$0)(k€Z),當(dāng)々=-1時(shí),y-^=-^-^=-g.所以(-弟0)是f⑺圖

象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故8正確；

對(duì)于C:當(dāng)一?WxV?時(shí)，一3式2%+349,故C錯(cuò)誤；

33Z66

對(duì)于D：先將函數(shù)y=2sin2x的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的g,得到函數(shù)y=sin2x

的圖象，再將函數(shù)y=s/2x的圖象向左平移巳個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f(x)的圖象，故。

正確.

第8頁(yè)，共19頁(yè)

故選BD.

12.下列命題氐現(xiàn)的是()

A.若x<0,則x+上的最小值為—4.

X

B.若xeR,則/+3+2的最小值為3.

C.若a,b6R,a?+爐=15—ab,則ab的最大值為5.

D.若a>0,6>0,a+2b=4,則ab的最大值為2.

【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查基本不等式求最值，注意成立的條件，屬于中檔題.

利用基本不等式求最值，一正二定三相等，逐一判定.

【解答】

解：4若x<0,則%+：=-[(-x)+6)](-2J(—x).&=-4.當(dāng)且僅當(dāng)x=—2時(shí)，

等號(hào)成立，故最大值為-4.故錯(cuò)誤；

B.若xGR,則X2+3—；--=X?+2+—F1>2+1=3,當(dāng)X?+2=—r--,無(wú)解，

xz+2x2+2x2+2

故等號(hào)不成立，最小值不為3.故錯(cuò)誤；

C若a,beR,。？+從=15—ab,因?yàn)椤?+爐》2。6,故3ab415,即ab《5,當(dāng)且僅

當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，則ab的最大值為5.故正確；

D若a>0,b〉0,a+2b=4,因?yàn)閍+2b》2近南，^2y/2ab<4，即ab42,當(dāng)且

僅當(dāng)a=2,b=l時(shí)，等號(hào)成立，則ab的最大值為2.故正確.

故選CD

三、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA與底面A8C垂直,S4=1,AB=2,BC=3且AB1BC,

則三棱錐S-ABC的外接球的表面積等于.

【答案】147r

【解析】

【分析】

本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，是中檔題.

以SA,AB,BC為樓構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐S-4BC的外

接球，求出外接球的半徑，由此能求出其表面積.

【解答】

解:???三棱錐S-4BC中，側(cè)棱SA與底面A8C垂直,S4=1,AB=2,BC=3且481BC,

SA、AB.BC兩兩垂直，

.?.以SA,AB,BC為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，

則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐S-力BC的外接球，

???三棱錐S-4BC的外接球的半徑：R=>+22+32=且，

22

二三棱錐S—4BC的外接球的表面積：S=4nR2=4nx(^^)2=147r.

故答案為147r.

14.若拋物線/=2py(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓9+f=1的一個(gè)頂點(diǎn)重合，則該拋物線的

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

【答案】4

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

求出橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出P即可得到結(jié)果.

【解答】

解：拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓?+?=1的一個(gè)頂點(diǎn)(0,2)重合，

拋物線的開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,2),

可得p=4,則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：p=4.

故答案為4.

15.已知等比數(shù)列｛an｝滿足a2as=2。3，且。4，2a7成等差數(shù)列，則由?.斯的

最大值為.

【答案】1024

【解析】

第10頁(yè)，共19頁(yè)

【分析】

本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查二次函數(shù)的最值求法，以及

化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

等比數(shù)列｛aj的公比設(shè)為q,運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，求得公比和通項(xiàng)公式，

再由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求最大

值.

【解答】

解：等比數(shù)列｛aQ的公比設(shè)為g,

由Q2a5=2。3，可得a3a4=2。3，口=2,

由。4,2a7成等差數(shù)列,可得。4+2。7=|，

解得。7=[,=即q=｝

則a.=2-（i）n-4=25-n,

4+3++5n

ax-a2--an=2"（-）

_2》（9-n）,

由：n（9—n）=-|（n-1）2+^,

當(dāng)n=4或5時(shí)，a[?a2?????瑪取得最大值21°=1024.

故答案為1024.

16.既要金山銀山，又要綠水青山，說(shuō)明了既要發(fā)展經(jīng)濟(jì)，又要保護(hù)環(huán)境，兩者兼得,

社會(huì)才能又快又好的發(fā)展.現(xiàn)某風(fēng)景區(qū)在踐行這一理念下，計(jì)劃在如圖所示的以

為直徑的半圓形山林中設(shè)計(jì)一條休閑小道4c（C與A,8不重合），48=400米,

在緊鄰休閑小道AC的兩側(cè)及圓弧而上進(jìn)行綠化，設(shè)NBAC=。，則綠化帶的總長(zhǎng)

度/（。）的最大值約為米.（參考數(shù)據(jù)：V3R1.7，7T?3）

AB

【答案】880

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題.

由題可得綠化帶的總長(zhǎng)度/'(0)=800COS0+4006,6€(0t)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

性即可求得最值.

【解答】

解：如圖，設(shè)圓心為O,連接OC,BC.

因?yàn)辄c(diǎn)C在半圓上，所以4cleB,

所以|AC|=\AB\cos6=400cos9,弧&的長(zhǎng)為200X29=4000,

所以綠化帶的總長(zhǎng)度=800cos0+400d,0G(0,j),

所以r(8)=-800sine+400.

令/(8)=0,得sin?=：,所以。建.

當(dāng)。e(o,》時(shí)，((。)>0,f(9)單調(diào)遞增；

當(dāng)ee(D時(shí),f(0)<o,f(o)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)。=?時(shí)，f(6)取得最大值，

所以=800cos-+400x-=40073+—?680+200=880.

663

故答案為880.

四、解答題：(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.)

17.在①記=(Q+b,c—Q),n=(a—ft,c),且沅1■記，@2a—c=2bcosC?

③sin(B+9=cosB+3這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并給出解答.

第12頁(yè)，共19頁(yè)

在△力BC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.

(1)求角B；

(2)若b=4,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

(注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.)

【解析】【試題解析】

本題考查正弦定理、余弦定理和三角函數(shù)兩角和與差公式，向量垂直的應(yīng)用，基本不等

式求最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)若選擇①根據(jù)題意利用余弦定理計(jì)算cosB==黑=/可得B=?

若選擇②利用正弦定理和兩角和的正弦公式計(jì)算得cosB=p可得B=p

若選擇③，利用兩角和正弦公式及已知條件計(jì)算得到cos(8+9=-點(diǎn)得B+g=與，

B*；

(2)利用余弦定理及基本不等式得a+c<8,進(jìn)而可得44BC周長(zhǎng)的最大值.

【答案】解：(1)選①?.?記=(Q+—Q),n=(a-b,c),mln,

???(Q+b)(a—b)+c(c—a)=0.

化簡(jiǎn)得，a2+c2-b2=acy

由余弦定理得cosB=**=8=工，

2ac2ac2

又因?yàn)?V8<兀，

AB=d

3

選②根據(jù)正弦定理，由2a—c=2bcosC^-2s\uA—sinC=2sinZ?cowC,

又因?yàn)閟in/l=sin(F+C)=sin^cosC+sinCcosB,

所以2sinCcosB=sinC,

又因?yàn)閟inCH0,

所以cosB=I，

又因?yàn)锽e(O,TT),

所以8=g.

選③由sin+/)=cosB+1,

得更sinB4--cosB=cosB+

222

HP-sinB--cosB--?

222

所以cos(8+-g

又因?yàn)锽G(0,71),

所以B+：蕓

因此8=J.

22

(2)由余弦定理力2=a4-c—2accosB9

得16=(Q+c)?—3ac.

又???等之疝，

...acw空之，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，

4

???3ac=(a+c)2—16<

4

解得，a+c<8,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)，等號(hào)成立.

a+/)+c<8+4=12.

??.I24BC周長(zhǎng)的最大值為12.

18.已知｛an｝是等差數(shù)列，｛b｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，%=瓦=1,a3b2=14,

a3—b2=5.

(I)求數(shù)列｛冊(cè)｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

(11)求數(shù)列｛冊(cè)+%｝的前"項(xiàng)和土.

【解析】(I)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為“，｛%｝的公比為q(q>0),由等差數(shù)列和等比數(shù)列的

通項(xiàng)公式，可得公差與公比的方程組，解方程可得所求通項(xiàng)公式；

(U)運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可

得到所求和.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分

組求和，以及方程思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

【答案】解：(I)設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為“，｛%｝的公比為q(q>0),

由a1—b]=1,a3b2=14,ct^-b2=5.

科+2d)q=14

人1(1+2d)-q=5

第14頁(yè)，共19頁(yè)

解得《:就二沁，

n_1

所以Qn=3n—2,bn=2>n￡N*.

(n)Sn=(%+。2+…+Qn)+(瓦+82+…+bn)

n(l+3n-2)l-2n3n2-n0

=------------=------FZn-1.

21-22

19.園林博覽會(huì)于2019年9月28日至11月28日在荊州園博園舉辦，本屆園林博覽會(huì)

以“輝煌荊楚，生態(tài)園博”為主題，展示荊州生態(tài)之美，文化之韻，吸引更多優(yōu)秀

企業(yè)來(lái)荊投資，從而促進(jìn)荊州經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展.在此次博覽會(huì)期間，某公司帶來(lái)了一

種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放荊州市場(chǎng).

已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入80元，設(shè)該公司一

年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備x萬(wàn)臺(tái)且全部售完，售互食的銷(xiāo)售收入G(%)(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量式萬(wàn)臺(tái)

)滿足如下關(guān)系式：GCx)={70120009000Q2(r

Ixx(x+iy

(I)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)臺(tái))的函數(shù)解析式；(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-

成本)

(n)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).

【解析】本題考查分段函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的

計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)利用利潤(rùn)等于收入減去成本，可得分段函數(shù)解析式；

(2)分段求出函數(shù)的最大值，比較可得結(jié)論.

【答案】解：(1)當(dāng)0<xW20時(shí)，IV(x)=xG(x)-(80x+50)=-2x2+100x-50；

當(dāng)x>20時(shí)，IV(x)=x(；(x)-(80x+50)

=-10x--x+1+1950,

(—2x2+100%—50,0<x<20

故函數(shù)解析式為W(x)=_陋+"sax>20；

1x+l

(2)0<x<20時(shí)，

W(x)=-2x2+100%-50

=-2(%-25)2+1200,

W(x)max=W(20)=1150,

x>20時(shí)，W(x)=-10(x+1+—)+1960

<-101960=1360-

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=箸即x=29時(shí)等號(hào)成立，

W(x)max=W(29)=1360,

因?yàn)?360>1150

二當(dāng)年產(chǎn)量為29萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司在該產(chǎn)品中獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1360萬(wàn)元.

20.四棱錐P-4BC。中，側(cè)面P43為正三角形，底面ABC。是正方形，且平面P4B_1平

ffiABCD,E,尸分別為PB,8c中點(diǎn)，AB=2.

(I)求證：平面4EF1平面P8C；

(II)棱AO上是否存在點(diǎn)M,使得與平面PAO所成角為45。？若存在，求AM

的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】本題考查面面垂直的證明，線面角的計(jì)算，屬于中檔題.

(I)山面面垂直的性質(zhì)可得8CJ_平面P45，即可得到8CJ_4E,再由等邊三角形三

線合一得到P614E，即可得到4￡_L平面PBC，從而得證；

(n)取PZ中點(diǎn)H，可證BHJ■平面PAD，則是BM與平面PAD所成的角，

則ZBMH=450再由勾股定理求出■即可：

【答案】解：(I)因?yàn)樗倪呅?8CD為正方形，則4B1BC,

因?yàn)槠矫鍼AB1Y-EABCD,平面/MB。平面ABCD=AB，BCU平面ABCD,

所以BC,平面/

因?yàn)?Eu平面P/8，所以

因?yàn)椤鱁48為正三角形，笈是06的中點(diǎn)，所以0

又BCRPB=B,BCu平面PBC,P5u平面尸BC,所以平面PBC，

第16頁(yè)，共19頁(yè)

因?yàn)?Vu平面AEF，所以平面AEF，平面PBC；

(11)取。/中點(diǎn)〃，連接8H、MH、BM,則8〃1總，

由(I)知BCJ_平面/M6，BHu平面P4B，所以BC上BH，

因?yàn)锳D〃BC，所以4518〃，

又P4c<D=4P/u平面P/4。.4Z)u平面刃。，所以8〃_L平面刃。，

所以NBM"是BM與平面PAD所成的角，即NBMH=45°，

因?yàn)檎切芜呴L(zhǎng)為2,則

在RtABHM中,BM=OBH=瓜

中，43=2，所以/A/=[BM2_AB)=及，

故棱力。上存在點(diǎn)“，當(dāng)4M=正時(shí)，使得3例與平面尸力。所成的角為45°.

21.已知橢圓C：^+，=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(2,l),其左右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,三角

形PF/2的面積為百.

(1)求橢圓?的方程；

(n)已知A,8是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且不與坐標(biāo)原點(diǎn)0共線，若NAP8的角平分

線總垂直于x軸，求證：直線AB與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形一定是等腰三角形.

1cx1=V3

±±1,解得a2=6,從=3,則橢圓方程可求；

+2=

azb

{a2=b2+c2

(n)設(shè)直線PA的方程為y+l=k(x-2),聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得A的橫坐標(biāo),

同理求得8的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得A、8的縱坐標(biāo)的差，代入斜率公式得答案.

本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查/直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，

1cx1=V3

±2.i,解得a2=6,b2=3,

a2+b2=

{a2=b2+c2

故橢圓c的方程為m+^=1,

63

證明(n)：設(shè)直線AP的斜率為z,則直線BP的斜率為-々，

設(shè)4(3力)，8(&/2)，直線PA的方程為y+1=k(x-2)，即、=kx+1-2/c

(y=kx+1—2k

聯(lián)立卜2y2,得(1+21)/+4(攵-2k2)%+8/c2-8k-4=0.

k(—6I—3=1

?n_8fc2-8fc-4un_4k2-4k-2

J2X1=1+2/''I/=l+2k2

設(shè)直線PB的方程為y+1=-fc(x-2),同理求得&=夢(mèng):能?

8k