二階常微分方程

二階常微分方程第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二階常微分方程常用齊次定解問題數(shù)學物理中的對稱性特殊函數(shù)常微分方程常微分方程的級數(shù)解法斯圖姆—劉維爾本征值問題本章小結第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月常用齊次定解問題常用齊次定解問題的要素常用齊次定解問題的分類拉普拉斯算符的形式拉普拉斯算符形式的推導第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月常用齊次定解問題要素第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月常用齊次定解問題的分類直角坐標極坐標球坐標穩(wěn)定方程演化方程√√√?。?/p>

×第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月拉普拉斯算符的形式二維三維直角坐標極柱坐標球坐標第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月極坐標下拉普拉斯算符形式的推導極坐標下的形式直角坐標下的形式坐標變換關系微分變換關系第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學物理中的對稱性對稱性的概念定義：對稱性就是在某種變換下的不變性分類對稱性的描述對稱性原理當定解問題的泛定方程和定解條件都具有某種對稱性時，它的解也具有同樣的對稱性。對稱性的應用第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱性的分類第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱性的描述對稱性名稱對稱條件對稱函數(shù)沿z軸反演對稱沿z軸平移對稱繞z軸轉動對稱繞原點轉動對稱第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱性的應用—柱坐標輸運方程對稱性未知函數(shù)泛定方程無任何對稱性沿z軸平移對稱繞z軸轉動對稱雙重對稱第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊函數(shù)常微分方程球坐標下拉普拉斯方程的分離變量一般情況歐拉方程，球函數(shù)方程，連帶勒讓德方程軸對稱情況勒讓德方程極坐標下熱傳導方程的分離變量一般情況亥姆霍茲方程，貝塞爾方程軸對稱情況第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月球坐標下拉普拉斯方程第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月球坐標下拉普拉斯方程第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月極坐標下熱傳導方程第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月常微分方程的級數(shù)解法常微分方程中點的分類各點鄰域級數(shù)解的形式勒讓德方程的級數(shù)解貝塞爾方程的級數(shù)解第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月常微分方程中點的分類二階變系數(shù)常微分方程的一般形式w”+p(z)w’+q(z)w=0方程中點的分類常點：z0

是p(z)和q(z)的解析點正則奇點：z0

是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析點非正則奇點：其它情況第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月各點鄰域級數(shù)解的形式非正則奇點z0鄰域有一解為常點z0鄰域兩解均為正則奇點z0鄰域有一解為其中s由判定方程確定a0≠0第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月勒讓德方程的級數(shù)解第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月勒讓德方程的級數(shù)解第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月勒讓德方程的級數(shù)解第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月勒讓德方程的級數(shù)解性質：奇偶性：y0為偶函數(shù)，y1為奇函數(shù)；退化性：l

為非負整數(shù)時，級數(shù)解退化為多項式；收斂性：特解的收斂半徑為1；有界性：在x=±1時，非退化級數(shù)解發(fā)散。第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾方程的級數(shù)解ak<0=0第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾方程的級數(shù)解第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾方程的級數(shù)解性質：奇偶性：m為奇偶整數(shù)時，Jm和Nm為奇偶函數(shù)；收斂性：特解的收斂半徑為∞；有界性：在x→0，m≥0時,Jm有界，Nm發(fā)散。第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月斯圖姆—劉維爾本征值問題本征值問題本征值：使帶邊界條件的常微分方程有非零解的參數(shù)值本征函數(shù)：相應的非零解本征值問題：求本征值和本征函數(shù)的問題斯特姆—劉維爾本征值問題斯特姆—劉維爾型方程斯特姆—劉維爾型邊界條件斯特姆—劉維爾本征值問題的性質可數(shù)性：存在可數(shù)無限多個本征值；非負性：所有本征值均為非負數(shù)；正交性：對應不同本征值的本征函數(shù)帶權正交；完備性：滿足邊界條件的光滑函數(shù)可以按本征函數(shù)展開。第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月斯特姆—劉維爾本征值問題斯特姆—劉維爾型方程其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非負；k(x)、k’(x)和q(x)連續(xù)或以端點為一階極點。斯特姆—劉維爾型邊界條件三類齊次邊界條件周期性邊界條件有界性邊界條件第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月斯特姆—劉維爾本征值問題abkqρ

本征值問題0L1010L101-111-x2010bxm2/xx第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月本征函數(shù)集合的正交性和完備性正交性完備性展開系數(shù)第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月本征函數(shù)集合的正交性和完備性例題1問題本征函數(shù)正交性完備性第30頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月本征函數(shù)集合的正交性和完備性例題2