2021年中考數(shù)學解答題壓軸題每日一題49

2021年中考數(shù)學解答題壓軸題每日一題

1.如圖，在平面直角坐標系X。），中，拋物線y=-磊f+率+_|,分別交X軸于A與3點,

交y軸于點C點，頂點為￡>,連接AQ.

（1）如圖1,P是拋物線的對稱軸上一點，當APLA。時，求尸的坐標；

（2）在（1）的條件下，在直線AP上方、對稱軸右側(cè)的拋物線上找一點。，過。作QH,

x軸，交直線AP于H,過。作交對稱軸于E,當I2Q/7PE周長最大時，在拋物線

的對稱軸上找一點，使IQM-AM最大，并求這個最大值及此時M點的坐標.

（3）如圖2,連接B￡>,把ND4B沿x軸平移到/?A',在平移過程中把NO'A'B'

繞點A'旋轉(zhuǎn)，使N。'4'B'的一邊始終過點。點，另一邊交直線08于R,是否存在這

（圖1）（圖2）（備用圖）

【分析】（1）求出點A、B、C、。的坐標，設直線AP的表達式為：y=-&+江將點A的

3

坐標代入上式，即可求解；

（2）設點。（x,-旦^+當+9),則點H(x,建一副吁需徐可求出點

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Q（10,-9）,取點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'（6,0）,連接QA',此時，最

大，即可求解;

（3）分￡>A=RA'、A'R=A'D、A'Q=QR三種情況，求解即可.

【解答】解：（1）y=-避-/+當+旦，令彳=0,則），=2，令》=0,則x=-2或6,

1644-4

故點A、B、C、。的坐標分別為（-2,0）、（6,0）、（0,?）、（2,3）,

4

直線4。表達式中的上值為：3,APLAD,則直線AP表達式中的上值為-烏，

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設直線AP的表達式為：y=-^x+b,將點A的坐標代入上式并解得：b=-

33

則直線AP的表達式為：尸-&-旦，

33

當x=2時，>=-也，故點P(2,-西)；

33

(2)設點Q(x,-&，+當+9)，則點H(x,

164433

X-X

1D1W1_----H----D--_X--2_5--X---1--0，

cos/BAP33

5

EIQ”PE周長=2(PH+QH)=2(-￡/+當+2+&+§+5*7))=-旦/+11了+至，

1644333826

當》=一旦=10時，周長取得最大值，

2a

此時，點“(10,-16)、點Q(10,-9),

取點A關(guān)于對稱軸的對稱點4'(6,0),連接QA',交函數(shù)對稱軸于點此時，\QM-

AM最大，

將點A'、Q的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線A'。的表達式為：y=->

當x=2時,)>=9,故點M(2,9)；

最大值為QA'=V(10-6)2+92=，^^;

(3)存在，理由：

AD=BD=5,：.ZDAB=ZDBA=a,

由(1)知：tana=—,則sina=&>

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：.ZR'AD=NRDA'=NDAB=NDBA=a,

A'D^2DRcosa^^-DR=^-A'R,即：旦，

55A'R5

ZRA'B=ZDRA'-a=180°-2a-a=180°-3a,AADA'=180°-3a,

：.ZRA'B=ZADA'=3a,而/RBA'=ZDAA'=a,

AAAAZDs叢BRA',

.AD_AAy_A7D_8

,,NBBRA'RT

其中：AD=5,A4Z=AB-A'8=8-A'B,BR=BD-DR=5-DR,

將上述數(shù)據(jù)代入比例中并解得：A'8=至，8R=2空，

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ZADA'=/￡>A'B-ZDAA'=NRA'B+a-a=//M'B,

ZDAA'=ZDBA'=a

：.AAA'D^Z\BRA'(AAS),

：