高等數(shù)學(xué)下冊第十章習(xí)題答案詳解

高等數(shù)學(xué)下冊第十章習(xí)題答案詳解1.根據(jù)二重積分性質(zhì)，比較與的大小，其中(1)表示以、、為頂點(diǎn)的三角形；(2)表示矩形區(qū)域.多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的性質(zhì)解：（1）區(qū)域D如圖10-1所示，由于區(qū)域D夾在直線x+y=1與x+y=2之間，顯然有圖10-1從而故有所以（2）區(qū)域D如圖10-2所示.顯然，當(dāng)時(shí)，有.圖10-2從而ln(x+y)>1故有所以2.根據(jù)二重積分性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的性質(zhì)(1)，；(2)，；(3),.解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有,因而.從而故即而（σ為區(qū)域D的面積），由σ=4得.(2)因?yàn)椋瑥亩始炊裕?）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以故即而所以3.設(shè)為正常數(shù)，根據(jù)二重積分的幾何意義，確定下列積分的值：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的性質(zhì)(1)，；(2)，.解：（1）在幾何上表示以D為底，以z軸為軸，以（0，0，a）為頂點(diǎn)的圓錐的體積，所以（2）在幾何上表示以原點(diǎn)（0，0，0）為圓心，以a為半徑的上半球的體積，故4.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求,.（提示：利用積分中值定理）多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的性質(zhì)解：因?yàn)閒(x，y)為連續(xù)函數(shù)，由二重積分的中值定理得，使得又由于D是以（x0，y0）為圓心，r為半徑的圓盤，所以當(dāng)時(shí)，于是：5.畫出積分區(qū)域，把化為累次積分：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的性質(zhì)(1)；(2)；(3).解：（1）區(qū)域D如圖10-3所示，D亦可表示為.所以(2)區(qū)域D如圖10-4所示，直線y=x-2與拋物線x=y2的交點(diǎn)為（1，-1），（4，2），區(qū)域D可表示為.圖10-3圖10-4所以（3）區(qū)域D如圖10-5所示，直線y=2x與曲線的交點(diǎn)(1，2)，與x=2的交點(diǎn)為(2，4),曲線與x=2的交點(diǎn)為（2，1），區(qū)域D可表示為圖10-5所以.6.畫出積分區(qū)域，改變累次積分的積分次序：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的性質(zhì)(1)； (2)；(3)；(4)；(5).解：（1）相應(yīng)二重保健的積分區(qū)域?yàn)镈：如圖10-6所示.圖10-6D亦可表示為：所以(2)相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D：如圖10-7所示.圖10-7D亦可表示為：所以(3)相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-8所示.圖10-8D亦可看成D1與D2的和，其中D1：D2：所以.(4)相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-9所示.圖10-9D亦可看成由D1與D2兩部分之和，其中D1：D2：所以(5)相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D由D1與D2兩部分組成，其中D1：D2：如圖10-10所示.圖10-10D亦可表示為：所以7.設(shè)連續(xù)，且，其中是由直線及曲線所圍成的區(qū)域，求.8.計(jì)算下列二重積分：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的性質(zhì)(1)，；(2)，由拋物線,直線與所圍；(3)，是以，，為頂點(diǎn)的三角形；(4)，.解：（1）(2)積分區(qū)域D如圖10-12所示.圖10-12D可表示為：所示(3)積分區(qū)域D如圖10-13所示.圖10-13D可表示為：所以9.計(jì)算下列二次積分：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 累次積分法(1)； (2).解：（1）因?yàn)榍蟛怀鰜?，故?yīng)改變積分次序。積分區(qū)域D：0≤y≤1,y≤x≤，如圖10-14所示。圖10-14D也可表示為：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以(2)因?yàn)榍蟛怀鰜?，故?yīng)改變積分次序。積分區(qū)域D分為兩部分，其中如圖10-15所示：圖10-15積分區(qū)域D亦可表示為：于是：10.在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 換元法(1),;(2),為圓所圍成的區(qū)域；(3),是由，及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(4)，是由曲線所包圍的閉區(qū)域.解：(1)積分區(qū)域D如圖10-16所示：圖10-16D亦可采用極坐標(biāo)表示為：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以(2)積分區(qū)域D可用極坐標(biāo)表示為：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：(3)積分區(qū)域D如圖10-17所示.圖10-17D可用極坐標(biāo)表示為：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：(4)積分區(qū)域D如圖10-18所示，圖10-18D可用極坐標(biāo)表示為：所以：11.將下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 換元法(1); (2);(3); (4).解：（1）積分區(qū)域D如圖10-19所示.圖10-19D亦可用極坐標(biāo)表示為：所以：(2)積分區(qū)域D如圖10-20所示.圖10-20D可用極坐標(biāo)表示為：于是：(3)積分區(qū)域D如圖10-21所示.圖10-21D也可用極坐標(biāo)表示為：.于是：(4)積分區(qū)域D如圖10-22所示.圖10-22D可用極坐標(biāo)表示為：于是:*12.作適當(dāng)坐標(biāo)變換，計(jì)算下列二重積分：多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 1-3累次積分發(fā) 4-6換元法(1),其中是由在第一象限所圍平面區(qū)域；(2)，；(3)，令；(4),;(5),;(6),.解：(1)積分區(qū)域D如圖10-23所示：圖10-23令xy=u,,則于是：(2)積分區(qū)域D如圖10-24所示。圖10-24令x+y=u,x-y=v,則且-1≤u≤1,-1≤v≤1.于是：（3）積分區(qū)域Dxy:0≤x≤1,1-x≤y≤2-x令x=v,x+y=u,則y=u-v積分區(qū)域Dxy變?yōu)镈uv:0≤v≤1,1≤u≤2.且于是(4)令x=arcosθ,y=brsinθ則積分區(qū)域D變?yōu)镈rθ：0≤θ≤2π,0≤r≤1,于是：(5)令x=rcosθ，y=rsinθ.即作極坐標(biāo)變換，則D變?yōu)椋?≤r≤3,0≤θ≤2π.于是：（6）積分區(qū)域D如圖10-25所示：D可分為D1,D2∪D3,D4四個(gè)部分.它們可分為用極坐標(biāo)表示為。圖10-25D1:0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ,D2∪D3:0≤θ≤π,2sinθ≤r≤2,D4:π≤θ≤2π,0≤r≤2于是：習(xí)題10-2*1.試討論下列無界區(qū)域上二重積分的收斂性：多元函數(shù)積分學(xué) 反常二重積分 反常二重積分?jǐn)可⑿耘袆e當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)解：（1）當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故當(dāng)m>1時(shí)，原積分收斂，當(dāng)m≤1時(shí)發(fā)散。（2）由于被積函數(shù)是正的，并且關(guān)于x軸和y軸都對稱，故由于,故積分當(dāng)p>1時(shí)收斂，p<1時(shí)發(fā)散，p=1時(shí)顯然也發(fā)散，因此.同理有：.由此可知僅當(dāng)p>1且q>1時(shí)收斂，其他情形均發(fā)散。(3)由0<m<|φ(x,y)|≤M,可知積分與積分同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散。由于被積函數(shù)是正的，故由于，當(dāng)0≤y≤1時(shí)，有(若p≥0),(若p<0),故(若p≥0),若p<0，則有相反的不等式。由于,故積分當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散，而時(shí)，由知積分也發(fā)散。由此可知：積分，從而積分當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。*2.計(jì)算積分多元函數(shù)積分學(xué) 反常二重積分 反常二重積分的計(jì)算解：由于而收斂，故收斂，從而，采用極坐標(biāo)有：*3.試討論下列無界函數(shù)的二重積分的收斂性：多元函數(shù)積分學(xué) 反常二重積分 反常二重積分?jǐn)可⑿耘袆e法 (1);(2)解：(1)故當(dāng)m<1時(shí)，原積分收斂，當(dāng)m≥1時(shí)，原積分發(fā)散。（2）由于x2+xy+y2=(當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí))故(當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí))再注意到廣義重積分收斂必絕對收斂，即知積分與同斂散。由于(當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí))，采用極坐標(biāo)即得而為常義積分，其值為有限數(shù)，而由此可知：原積分當(dāng)p<1時(shí)收斂，當(dāng)p≥1時(shí)發(fā)散。習(xí)題10-31.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是.(1)由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域；(2)由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域；(3)由曲面及所圍成的閉區(qū)域；(4)由曲面，，所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.多元函數(shù)積分學(xué) 三重積分 三重積分的概念解：(1)積分區(qū)域Ω如圖10-26所示，圖10-26Ω可表示為：故(2)積分區(qū)域Ω如圖10-27所示。圖10-27Ω可表示為：故(3)由消去z得即，所以Ω在xOy面的投影區(qū)域?yàn)閤2+y2≤1，如圖10-28所示。圖10-28Ω可表示為：-1≤x≤1,,x2+2y2≤z≤2-x2故(4)積分區(qū)域如圖10-29所示。Ω可表示為：圖10-29故2.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分：多元函數(shù)積分學(xué) 三重積分 三重積分的計(jì)算(1),其中是由曲面與平面，和所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中為平面所圍的四面體；(3)，是兩個(gè)球：和的公共部分；(4)，其中是由所圍成；(5)，其中是由所圍成；(6)，其中是由所圍成.解：(1)積分區(qū)域Ω如圖10-30所示。圖10-30Ω可表示為：(2)積分區(qū)域Ω如圖10-31所示，Ω可表示為：圖10-31故(3)積分區(qū)域Ω如圖10-32所示。圖10-32由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得兩球的交線為：,且平面把積分區(qū)域Ω分為兩部分，且積分區(qū)域Ω在z軸上的投影區(qū)間為[0,R],記過上任意一點(diǎn)z的平行于xOy面的平面與Ω相交的平面區(qū)域?yàn)镈1(z),過上任意一點(diǎn)z的平行于xOy面的平面與Ω的相交的平面區(qū)域?yàn)镈2(z)，則(4)積分區(qū)域Ω如圖10-34所示。圖10-34Ω可表示為：故(5)積分區(qū)域Ω如圖10-35所示。圖10-35Ω在y軸上的投影區(qū)間為[0,2]，故(6)積分區(qū)域Ω如圖10-36所示。圖10-36Ω可表示為：故3.如果三重積分的被積函數(shù)是三個(gè)函數(shù)的乘積，即，積分區(qū)域?yàn)?，證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積，即.多元函數(shù)積分學(xué) 三重積分 三重積分的計(jì)算證：4.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：多元函數(shù)積分學(xué) 三重積分 三重積分的計(jì)算(1)，其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域.圖10-37解：(1)由及消去得,因而區(qū)域Ω在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?如圖10-37所示，在柱面坐標(biāo)系下：Ω可表示為：圖10-37故(2)積分區(qū)域如圖10-38所示，在柱面坐標(biāo)系下，Ω可表示為圖10-38圖10-38故5.利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：多元函數(shù)積分學(xué) 三重積分 三重積分的計(jì)算(1)，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中由不等式所確定.解：（1）(2)積分區(qū)域Ω如圖10-49所示，在球面坐標(biāo)系下，Ω可表示為圖10-39故圖10-396.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分：多元函數(shù)積分學(xué) 三重積分 三重積分的計(jì)算(1)，其中為柱面及平面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；(2)，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；(3)，其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域；(4)，其中由不等式所確定.解：（1）積分區(qū)閉Ω如圖10-40所示.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算，Ω在柱面坐標(biāo)系下表示為：圖10-40,0≤r≤1，0≤z≤1,故本題也可采用直角坐標(biāo)計(jì)算，在直角坐標(biāo)系下，Ω可表示為：故(2)積分區(qū)域Ω如圖10-41所示。用球面坐標(biāo)計(jì)算，在球面坐標(biāo)系下Ω可表示為：圖10-41故(3)積分區(qū)域Ω如圖10-42所示。利用柱面坐標(biāo)計(jì)算，在柱面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：圖10-42故(4)積分區(qū)域如圖10-43所示。利用球面坐標(biāo)計(jì)算，在球面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：圖10-43故習(xí)題10-41.球心在原點(diǎn)、半徑為的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 物體的質(zhì)量解：利用球面坐標(biāo)計(jì)算：Ω：則2.求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 空間曲面的面積解：如圖10-44所示：圖10-44上半球面的方程為，由得由對稱性知3.求錐面被柱面所割下部分的曲面面積.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 空間曲面的面積解：由z2=x2+y2,z2=2x兩式消去z得x2+y2=2x，則所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為：x2+y2≤2x,而故所求曲面的面積為.4.求底圓半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面及所圍立體的表面積.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 空間曲面的面積解：由對稱性知，所圍立體的表面積等于第一卦限中位于圓柱面x2+y2=R2內(nèi)的部分面積的16倍，如圖10-45所示。圖10-45這部分曲面的方程為，于是所求面積為.5.設(shè)薄片所占的閉區(qū)域如下，求均勻薄片的重心.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 平面薄片的重心(1)由，所圍成；(2)是半橢圓形閉區(qū)域：，；(3)是介于兩個(gè)圓之間的閉區(qū)域.解：(1)閉區(qū)域D如圖10-46所示。圖10-46閉區(qū)域D的面積A為所求重心為.(2)因?yàn)殚]區(qū)域D對稱于y軸，所以=0,又閉區(qū)域D的面積。.所以：所求重心為.(3)閉區(qū)域D如圖10-47所示：圖10-47由于閉區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，所以,又故所求重心為6.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域由拋物線及直線所圍成，它在點(diǎn)處的面密度，求該薄片的重心.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 平面薄片的重心解：閉區(qū)域D如圖10-48所示：圖10-48薄片的質(zhì)量為從而所求重心為.7.設(shè)有一等腰直角三角形薄片，腰長為，各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方，求這薄片的重心.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 平面薄片的重心解：建立直角坐標(biāo)系如圖10-49所示。圖10-49由已知ρ(x,y)=x2+y2,且從而即所求重心為.8.設(shè)均勻薄片(面密度為常數(shù)1)所占閉區(qū)域如下，求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1)，求；(2)由拋物線與直線所圍成，求和；(3)為矩形閉區(qū)域：，求和解：（1）令x=arcosθ,y=brsinθ,則在此變換下D：變化為：r≤1,即0≤r≤1,0≤θ≤2π,且,所以(2)閉區(qū)域D如圖10-50所示圖10-50(3)9.已知均勻矩形板(面密度為常量)的長和寬分別為和，計(jì)算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：取形心為原點(diǎn)，取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)系如圖10-51所示.圖10-5110.求直線與坐標(biāo)圍成的三角區(qū)域?qū)S及坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(面密度為常數(shù)).多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：所圍三角區(qū)域D如圖10-52所示：圖10-5211.求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片(面密度為常數(shù))對于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圖10-53解：習(xí)題10-5計(jì)算下列對弧長的曲線積分：多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 對弧長的曲線積分(1)，其中為圓周；(2)，其中為連接及兩點(diǎn)的直線段；(3)，其中為由直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界；(4),其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界；(5)，其中Γ為曲線上相應(yīng)于從0變到2的這段??；解：(1).(2)L的方程為y=1-x（0≤x≤1）.(3)L由曲線L1：y=x2(0≤x≤1),及L2：y=x(0≤x≤1)組成（如圖10-54所示）。圖10-54故（4）如圖10-55所示，L=L1+L2+L3圖10-55其中L1：y=0(0≤x≤a)，從而L2:x=acost,y=asint,0≤t≤故L3:y=x(0≤x≤a).故所以(5)習(xí)題10-61.計(jì)算曲面積分，其中為拋物面在面上方的部分，分別如下：多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 對面積的曲面積分(1)； (2)；(3).解：拋物面z=2-(x2+y2)與xOy面的交線是xOy面上的圓x2+y2=2，因而曲面在xOy面上的投影區(qū)域Dxy:x2+y2≤2,且ds=故(1)(2)(3)2.計(jì)算，其中是：多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 對面積的曲面積分 (1)錐面z=及平面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面；(2)錐面被平面和所截得的部分.解：（1），其中:故.因此(2)所截得錐面為故.3.計(jì)算下列對面積的曲面積分：多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 對面積的曲面積分(1)，其中為平面在第卦限中的部分；(2)，其中為平面在第卦限中的部分；(3)，其中為球面上的部分；(4)，其中為錐面被柱面所截得的有限部分；(5),其中為上半球面.解：（1）(如圖10-56所示)圖10-56故(2):z=6-2x-2y(如圖10-57所示)。圖10-57故(3)且其在xOy面上的投影為Dxy:x2+y2≤a2-h2且故.(4)故(5)Dxy:x2+y2≤R2故4.求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的面密度大小為.多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 物體的質(zhì)量解：5.求面密度為的均勻半球殼對于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量多元函數(shù)積分學(xué) 重積分的應(yīng)用 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：習(xí)題十填空題：（1）二次積分的值等于多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 累次積分法 （2）設(shè)則二重積分的值是多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 換元法（3）設(shè)則多元函數(shù)積分學(xué) 三重積分 三重積分的計(jì)算(4)已知曲線（5）設(shè)選擇題：（1）設(shè)在矩形區(qū)域上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則二重積分的值為（B） 多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的性質(zhì) （2）如圖所示，正方形被其對角線劃分為四個(gè)區(qū)域(A) 多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分 二重積分的性質(zhì)（3）設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，則有（）. 多元函數(shù)積分學(xué) 三重積分 三重積分的計(jì)算(4)設(shè)連續(xù)函數(shù)，則等于（C）多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 換元法 (5)設(shè)連續(xù)函數(shù)，則等于（B） 多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的概念與性質(zhì) 二重積分的定義設(shè)區(qū)域計(jì)算二重積分多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 換元法解：函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則故.計(jì)算二次積分。多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 累次積分解：交換積分次序有.設(shè)區(qū)域計(jì)算二重積分多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 換元法解：在極坐標(biāo)下積分區(qū)域?yàn)椋?已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且其中，計(jì)算二重積分 多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算 累次積分解：于是，7.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，計(jì)算二重積分 多元函數(shù)積分學(xué) 二重積分的計(jì)算