7.2 離散型隨機變量及其分布列-【題型分類歸納】2022-2023學年高二數(shù)學同步講與練(人教A版2019選擇性必修第三冊)（精練）（解析版）

7.2離散型隨機變量及其分布列【題型1隨機變量與離散型隨機變量】1、（2023·全國·高二專題練習）袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（）．A．至少取到1個白球B．取到白球的個數(shù)C．至多取到1個白球D．取到的球的個數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)隨機變量的定義，選項B是隨機變量，其可能取值為0,1,2,其他三個選項均不能作為隨機變量.故選：B2、（2022·高二課時練習）將一枚質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，下列選項可作為此次試驗的隨機變量的是（）A．第一次出現(xiàn)的點數(shù)B．第二次出現(xiàn)的點數(shù)C．兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和D．兩次出現(xiàn)相同點的種數(shù)【答案】C【解析】由隨機變量的定義知，將一枚質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和可作為此次試驗的隨機變量．故選：C．3、（2023·全國·高二專題練習）（多選）下列變量是隨機變量的是（）A．在某次數(shù)學期中考試中，一個考場30名考生中做對選擇題第12題的人數(shù)B．一臺機器在一段時間內(nèi)出現(xiàn)故障的次數(shù)C．某體育館共有6個出口，散場后從某一出口退場的人數(shù)D．方程的實根個數(shù)【答案】ABC【解析】隨機變量的定義為：作一次實驗，其結(jié)果有多種可能；選項ABC都符合隨機變量的定義，故ABC都正確；方程的實根個數(shù)是2，是確定的，不是隨機變量，故D錯誤.故選：ABC.4、（2022·全國·高三專題練習）下面是離散型隨機變量的是（）A．電燈炮的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標的環(huán)數(shù)C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個在軸上隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置【答案】B【解析】對于A，電燈炮的使用壽命是變量，但無法將其取值一一列舉出來，故A不符題意；對于B，小明射擊1次，擊中目標的環(huán)數(shù)是變量，且其取值為，故X為離散型隨機變量，故B符合題意；對于C，測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機變量，故C不符題意；對于D，一個在軸上隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置是變量，但無法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機變量，故D不符題意.故選：B.5、（2022·高二課時練習）（多選）下列變量中，不是離散型隨機變量的是（）A．到年月日止，我國被確診的患新型冠狀病毒肺炎的人數(shù)B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C．某人在車站等出租車的時間D．某人投籃次，可能投中的次數(shù)【答案】ABC【解析】根據(jù)離散型隨機變量的定義，即可以按照一定次序一一列出，可能取值為有限個或無限個，選項A不是變量，B、C中的變量為連續(xù)型隨機變量，而選項D中的變量是離散型隨機變量，故選：ABC.【題型2離散型隨機變量的分布列】1、（2023·全國·高二專題練習）某機構(gòu)對于某地區(qū)的10000戶家庭的年可支配收入的調(diào)查中，獲得如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：60%的家庭將年可支配收入用來購買銀行結(jié)構(gòu)性存款，20%的家庭將年可支配收入存入銀行，其余家庭將年可支配收入用于風險投資.已知銀行結(jié)構(gòu)性存款獲得的年收益率為5%的概率為95%，獲得的年收益率為-2%的概率為5%，存入銀行的年收益率為2%，風險投資的平均年收益率為3%.把頻率當作概率，假設該地區(qū)的每戶家庭的年可支配收入均為10萬元.（1）求這些家庭將年可支配收入不存入銀行的概率；（2）每戶家庭獲得的年收益為X萬元，求X的分布列.【答案】（1）80%；（2）分布列見解析【解析】（1）由已知得，這些家庭將年可支配收入不存入銀行的概率為.（2）由已知得，X的可能取值為，，，，，，，，所以X的分布列為X0.20.30.5P0.030.20.20.572、（2022秋·浙江寧波·高二寧波市北侖中學?？计谥校┘?、乙等6個班級參加學校組織的廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級之間的演出班級（不含甲乙）的個數(shù)X的分布列.【答案】（1）；（2）分布列見解析【解析】（1）由題意得，甲、乙兩班級的出場序號均為偶數(shù)的概率，故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率.（2）易知X的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，.故X的分布列為X01234P3、（2022·高二課時練習）設S是不等式的解集，整數(shù)m，.（1）記“有序數(shù)組滿足”為事件A，試列舉A包含的基本事件；（2）設，求X的分布列.【答案】（1）A包含的基本事件有，，，，；（2）分布列見解析.【解析】（1）由得，即.由于m，，m，且，所以A包含的基本事件有，，，，.（2）m的所有可能取值為，，0，1，2，3，所以的所有可能取值為0，1，4，9，且，，，.故X的分布列為X0149P4、（2022秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第三十一中學校考階段練習）2022年冬奧會期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”備受人們的歡迎，某大型商場舉行抽獎活動，活動獎品為冰墩墩玩偶和現(xiàn)金.活動規(guī)則：凡是前一天進入商場購物且一次性購物滿300元的顧客，第二天上午8點前就可以從若干個抽獎箱（每個箱子裝有8張卡片，3張印有“獎”字，5張印有“謝謝參與”，其他完全相同）中選一個箱子并一次性抽出3張卡片，抽到印有“獎”字的卡片才能中獎，抽到1張印有“獎”字的卡片為三等獎，獎勵現(xiàn)金10元，抽到2張印有“獎”字的卡片為二等獎，獎勵1個冰墩墩玩偶，抽到3張印有“獎”字的卡片為一等獎，獎勵2個冰墩墩玩偶.根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，進入商場購物的顧客中一次性購物滿300元的約占.（1）求每一個參與抽獎的顧客中獎的概率；（2）設每次參與抽獎活動所得的冰墩墩玩偶個數(shù)為X，求X的分布列.【答案】（1）；；（2）分布列見解析.【解析】（1）由題意，每一個參與抽獎的顧客中獎的概率.（2）由題設，可能值為，則，，，所以的分布列如下：0125、（2022春·廣東深圳·高二深圳市高級中學校考期中）某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為的四批疫苗，供全市所轄的三個區(qū)市民注射，每個區(qū)均能從中任選一個批號的疫苗接種．（1）求三個區(qū)市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率；（2）記三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為，求的分布列．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）“三個區(qū)市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同”為事件A，則.（2）隨機變量的所有可能取值為：，，，，，所以的分布列為：【題型3分布列的性質(zhì)及其應用】1、（2023·全國·高二專題練習）已知離散型隨機變量的分布列如表：0123則實數(shù)等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題可知，解得.故選：A.2、（2022春·江蘇常州·高二常州市第一中學校聯(lián)考期中）下表是離散型隨機變量X的概率分布，則常數(shù)的值是（）X3456PA．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得.故選：C.3、（2023·全國·高二專題練習）隨機變量X的分布列如下表，則等于（）X01PacA．B．C．D．【答案】C【解析】由分布列可知，故，故選：C4、（2022春·山東濟寧·高二期末）已知隨機變量X的概率分布為：，其中是常數(shù)，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，即，解得：，所以，．故選：A．5、（2023·全國·高二專題練習）（多選）設隨機變量的分布列為，則（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】由題意，得，解得，故A正確；，故B正確；易知，故C錯誤；，故D錯誤；故選：AB．【題型4兩點分布】1、（2022·高二課時練習）下列選項中的隨機變量不服從兩點分布的是（）A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)B．某射擊手射擊一次，擊中目標的次數(shù)C．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球，3個白球的袋中任取1個球，設D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)【答案】A【解析】對于選項A，拋擲一枚骰子，所得點數(shù)的取值范圍為{1，2，3，4，5，6}，所以A中的隨機變量不服從兩點分布；對于選項B，射擊手射擊一次，有擊中或者不擊中目標兩種可能的結(jié)果，B中的隨機變量服從兩點分布；對于選項C，袋中只有紅球和白球，取出1個球，可能取到紅球或者白球，C中的隨機變量服從兩點分布；對于選項D，醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)可能成功，也可能失敗，D中的隨機變量服從兩點分布.故選A.2、（2023·全國·高二專題練習）已知服從兩點分布，且，則______．【答案】0.7【解析】因為服從兩點分布，所以．故答案為：0.73、（2021·全國·高二專題練習）已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么_________．【答案】【解析】由題意得，當時，即，所以4、（2022春·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習）設隨機變量X服從兩點分布，若，則______．【答案】【解析】由于隨機變量X服從兩點分布，故①，又由于②，則①②得.5、（2022·高二課時練習）一個袋中有除顏色外其余完全相同的3個白球