課時(shí)（四十一）空間點(diǎn)直線平面的位置關(guān)系作業(yè)

課時(shí)作業(yè)(四十一)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系一、單項(xiàng)選擇題1．若l1、l2為異面直線，直線l3∥l1，則l3與l2的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．異面或相交2．[2023·山東郯城一中月考]若直線a，b是異面直線，且a∥α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A．b?αB．b∥αC．b與α相交D．以上都有可能3．[2023·河南開(kāi)封模擬]在正方體ABCD-A1B1C1D1的所有面對(duì)角線中，所在直線與直線A1B互為異面直線且所成角為60°的面對(duì)角線的條數(shù)為()A．2B．4C．6D．84．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA與O′A′的方向相同，則OB與O′B′()A．一定平行且方向相同B．一定平行且方向相反C．一定不平行D．不一定平行5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D，BC的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面D．無(wú)法確定6．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B，C，D分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，A，B，C，D四點(diǎn)共面的是()7.[2023·河南扶溝二中期末]如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，則異面直線A1C，AB所成角的大小是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)8．[2023·江西南昌期末]在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果直線EF與GH相交于點(diǎn)M，那么()A．點(diǎn)M一定在直線AC上B．點(diǎn)M一定在直線BD上C．點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能在直線BD上D.點(diǎn)M既不在直線AC上，也不在直線BD上9．(能力題)設(shè)a，b是異面直線，那么()A．必然存在唯一的一個(gè)平面，同時(shí)平行于a，bB．必然存在唯一的一個(gè)平面，同時(shí)垂直于a，bC．過(guò)直線a存在唯一的一個(gè)平面平行于直線bD．過(guò)直線a存在唯一的一個(gè)平面垂直于直線b10.(能力題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為線段BD上任意一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，則一定有()A．PC1與AA1異面B．PC1與AA1相交C．PC1與平面AB1D1平行D．PC1與平面AB1D1相交二、多項(xiàng)選擇題11.如圖，是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中：以下四個(gè)命題中，正確的是()A．BM與ED平行B．CN與BM成60°角C．CN與BE是異面直線D．DM與BN是異面直線12.(能力題)[2023·山東濰坊一中模擬]如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，SD＝AB，則下列選項(xiàng)中兩異面直線所成夾角大于45°的是()A．BC與SDB．AB與SCC．SB與ADD．AC與SB三、填空題13．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．則四邊形EFGH是________．14．(能力題)[2023·河南商丘一中學(xué)期末]已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為正方形且AB＝2，AA1＝4，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為_(kāi)_______．四、解答題15．[2023·廣東韶關(guān)期末]如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)．(1)求直線B1E與直線C1D1所成角的正切值；(2)求三棱錐D-B1EF的體積．優(yōu)生選做題16．[2023·山東聊城模擬]已知某圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，直線l是底面所在平面內(nèi)的一條直線，則該直線l與母線所成的角的余弦值的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))17．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)．求證：(1)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)；(2)直線BC和直線D1F是異面直線．課時(shí)作業(yè)（四十一）空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系1．解析：∵l1、l2為異面直線，∴直線l1與l2所成角為銳角或直角，∵l3∥l1，∴直線l3與l2所成角為銳角或直角，由此可得：l3與l2不平行，即直線l3與l2的位置關(guān)系為相交或異面．答案：D2．解析：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD視為平面α，直線A1B1為直線a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AA1，DD1的中點(diǎn)，如圖，顯然有a∥α，當(dāng)直線b為直線AD時(shí)，直線a，b是異面直線，此時(shí)b?α；因EF∥AD，AD?平面α，EF?平面α，則EF∥α，當(dāng)直線b為直線EF時(shí)，直線a，b是異面直線，此時(shí)，b∥α；當(dāng)直線b為直線CC1時(shí)，直線a，b是異面直線，此時(shí)，b與α相交，所以直線b與平面α可能平行，可能相交，也可能在平面內(nèi)．故選D.答案：D3．解析：如圖，易知△A1BC1為等邊三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以異面直線AC與A1B的夾角為60°，符合題設(shè)．同理，面對(duì)角線B1C，B1D1，AD1也滿足題意，所以滿足條件的面對(duì)角線共4條．故選B.答案：B4．解析：如圖，若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA與O′A′的方向相同，OB與O′B′不一定平行．故選D.答案：D5．解析：如圖所示：連接D1C，由題意得D1C∩C1D＝E，因?yàn)镈1C∥A1B，所以D1，C，A1，B共面，所以直線D1C，A1B，EF共面，因?yàn)镋F∩D1C＝E，所以直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是相交，故選A.答案：A6．解析：由正方體性質(zhì)，選項(xiàng)A，B，C中，A，B，C，D四點(diǎn)顯然不共面．對(duì)于D選項(xiàng)，如圖取E，F(xiàn)為正方體所在棱的中點(diǎn)，依次連接ADCEBF，易知ADCEBF為平面正六邊形，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面．故選D.答案：D7．解析：如圖所示，連接B1C，∵A1B1∥AB，∴∠B1A1C即為異面直線A1C，AB所成角，∵AA1＝AC＝BC＝1，∴A1C＝eq\r(2)，B1C＝eq\r(2)，又AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝eq\r(2)，在△B1A1C中，∵A1B1＝A1C＝B1C＝eq\r(2)，∴△B1A1C是正三角形，∴∠B1A1C＝eq\f(π,3).故選C.答案：C8．解析：如圖，空間四邊形ABCD，因?yàn)镋F?平面ABC，GH?平面ACD，所以點(diǎn)M∈平面ABC，且M∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以點(diǎn)M∈直線AC.因?yàn)锳C與BD為異面直線，所以M∈/直線BD.答案：A9．解析：A選項(xiàng)，存在平面，同時(shí)平行于a，b，但不唯一，如圖，a，b是異面直線，存在平面α，β同時(shí)平行于a，b，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，假設(shè)存在唯一的一個(gè)平面，同時(shí)垂直于a，b，則可推出a∥b，顯然這與a，b是異面直線矛盾，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，首先證明這樣的平面存在，如圖，a，b為異面直線，過(guò)直線b作一個(gè)平面β，交直線a于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作直線c平行于b，直線a，c確定平面α，所以平面α與直線b平行，故這樣的平面存在，接下來(lái)證明唯一性，假設(shè)過(guò)直線a存在另一平面γ，平行于直線b，則有α∩γ＝a，由線面平行的性質(zhì)可知，過(guò)直線b的平面χ交γ于直線d，則b∥d∥c，且a與d相交，則a，d確定平面γ，由于c∥d，所以a，c確定的平面與a，d確定的平面為同一平面，即α與γ重合，證畢．C正確．D選項(xiàng)，假設(shè)過(guò)直線a存在唯一的一個(gè)平面垂直于b，則可推出a⊥b，由已知可知a，b是異面直線，但不一定垂直，故這樣的平面可能不存在，所以D不一定正確．故選C.答案：C10．解析：連接AC、A1C1，因?yàn)锳A1∥CC1且AA1＝CC1，所以，四邊形AA1C1C為平行四邊形，當(dāng)P為AC、BD的交點(diǎn)時(shí)，PC1與AA1相交，當(dāng)P不為AC、BD的交點(diǎn)時(shí)，PC1與AA1異面，AB選項(xiàng)都不一定成立；連接BC1、C1D，因?yàn)锳B∥C1D1且AB＝C1D1，故四邊形ABC1D1為平行四邊形，∴BC1∥AD1，∵BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1，同理可證C1D∥平面AB1D1，因?yàn)锽C1∩C1D＝C1，BC1、C1D?平面BC1D，∴平面BC1D∥平面AB1D1，∵PC1?平面BC1D，∴PC1∥平面AB1D1，C選項(xiàng)一定滿足，D選項(xiàng)一定不滿足．故選C.答案：C11．解析：正方體的直觀圖如圖所示：很顯然，BM與ED不平行，A錯(cuò)誤；連接AN，AC，易知△ACN是等邊三角形，CN與BM的夾角即為∠ANC＝60°，B正確；很顯然，CN∥BE，C錯(cuò)誤；DM與BN是異面直線，D正確．故選BD.答案：BD12．解析：對(duì)于A，因?yàn)镾D⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，所以SD⊥BC，則BC與SD所成角的大小為90°，A項(xiàng)符合．對(duì)于B，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AB∥CD，則AB與SC所成的角為∠SCD＝45°，B項(xiàng)不符合．對(duì)于C，因?yàn)锳D∥BC，所以SB與AD所成的角為∠SBC，由題知tan∠SBC＝eq\f(SC,BC)＝eq\r(2)>1，所以∠SBC>45°，C項(xiàng)符合．對(duì)于D，因?yàn)镾D⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以SD⊥AC.因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD.又因?yàn)镾D∩BD＝D，所以AC⊥平面SBD.因?yàn)镾B?平面SBD，所以AC⊥SB，則AC與SB所成角的大小為90°，D項(xiàng)符合．故選ACD.答案：ACD13．解析：如圖，根據(jù)中位線性質(zhì)可知：EH∥FG且EH＝FG＝eq\f(1,2)BD，所以四邊形EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形14．解析：取A1B1中點(diǎn)F，連接AE、EF、AF，則EF∥B1C1，又BC∥B1C1，則BC∥EF，則∠AEF為異面直線AE與BC所成的角或其補(bǔ)角，又△AEF中，EF⊥AF，EF＝2，AF＝eq\r(17)，則AE＝eq\r(21)，則cos∠AEF＝eq\f(2,\r(21))＝eq\f(2\r(21),21)則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為eq\f(2\r(21),21).答案：eq\f(2\r(21),21)15．解析：（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，有AB∥C1D1，所以∠B1EB即為直線B1E與直線C1D1所成角，在Rt△B1EB中，易知BE＝1，BB1＝2，所以tan∠B1EB＝eq\f(BB1,BE)＝2，所以直線B1E與直線C1D1所成角的正切值為2.（2）在正方形ABB1A1中，有S△B1EF＝SABB1A1－S△AEF－SA1B1F又DA⊥平面ABB1A1.所以VD-B1EF＝eq\f(1,3)×S△B1即三棱錐D-B1EF的體積為1.16．解析：設(shè)底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為R，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積等于底面的3倍，所以eq\f(1,2)·2πr·R＝3πr2，即R＝3r，因?yàn)橹本€與直線所成角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以當(dāng)直線l與底面圓相切時(shí)，直線l與母線所成角最大為eq\f(π,2)，則該直線l與母線所成的角的余弦值的最小值為coseq\f(π,2)＝0；當(dāng)直線l過(guò)底面圓的圓心時(shí)，由線面角的定義可知，此時(shí)直線l與母線所成角最小，則該直線l與母線所成的角的余弦值的最大值為eq\f(OC,AC)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,3)，即該直線l與母線所成的角的余弦值的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).故選A.答案：A17．證明：（1）分別延長(zhǎng)D1F，DA，交于點(diǎn)P，∵P∈DA，DA?平