【數(shù)學(xué)】242-平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角課件

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

2.4平面向量的數(shù)量積

第二章平面向量問題提出1.向量a與b的數(shù)量積的含義是什么？a·b=|a||b|cosθ.其中θ為向量a與b的夾角2.向量的數(shù)量積具有哪些運(yùn)算性質(zhì)？

（1）a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)；（2）a2＝︱a︱2；（3）a·b＝b·a；（4）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；（5）(a＋b)·c＝a·c＋b·c；（6）︱a·b︱≤︱a︱︱b︱.3.平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法，向量的表示形式不同，對(duì)其運(yùn)算的表示方式也會(huì)改變.向量的坐標(biāo)表示，對(duì)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來了很大的方便.若已知向量a與b的坐標(biāo)，則其數(shù)量積是唯一確定的，因此，如何用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積就成為我們需要研究的課題.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角探究（一）：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

思考1：設(shè)i、j是分別與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，則向量a與b用i、j分別如何表示？a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.思考2：對(duì)于上述向量i、j，則i2，j2，i·j分別等于什么？i2=1，j2=1，i·j=0.思考3：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，a·b等于什么？思考4：若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，這就是平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.你能用文字描述這一結(jié)論嗎？a·b＝x1x2＋y1y2

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.思考5：如何利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示證明(a＋b)·c＝a·c＋b·c？

探究（二）：向量的模和夾角的坐標(biāo)表示

思考1：設(shè)向量a＝(x，y)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，︱a︱等于什么？思考2：如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1),(x2，y2)，那么向量a的坐標(biāo)如何表示？︱a︱等于什么？

︱a︱a＝(x2－x1，y2－y1)；︱a︱＝

思考3：設(shè)向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，若a⊥b，則x1，y1，x2，y2之間的關(guān)系如何？反之成立嗎？

思考4：設(shè)a、b是兩個(gè)非零向量，其夾角為θ，若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，那么cosθ如何用坐標(biāo)表示？

a⊥bx1x2＋y1y2＝0.

例1已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求:(1)

a·b；

(2)(a＋2b)·(a－b)；

(3)|a|2－4a·b.理論遷移(1)2；（2）17；（3）－3.

例2已知點(diǎn)A（1，2）,B（2，3）,C(－2，5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明.△ABC是直角三角形

例3已知向量a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，求向量a與b的夾角θ（精確到1°）.

cosθ≈－0.03，θ≈92°.

例4已知向量a＝(λ，－2)，b＝(－3，5)，若向量a與b的夾角為鈍角，求λ的取值范圍.

例5已知b＝(1，1)，a·b＝3，|a－b|＝2，求|a|.小結(jié)作業(yè)2.若非零向量a

與b的夾角為銳角（鈍角），則a·b＞0（＜0），反之不成立.

1.a∥b

a⊥b

二者有著本質(zhì)區(qū)別.

3.向量的坐標(biāo)運(yùn)算溝通了向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系，解析幾何中與角度、距離、平行、垂直有關(guān)的問題，可以考慮用向量方法來解決.

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前言

高考狀元是一個(gè)特殊的群體，在許多人的眼中，他們就如浩瀚宇宙里璀璨奪目的星星那樣遙不可及。但實(shí)際上他們和我們每一個(gè)同學(xué)都一樣平凡而普通，但他們有是不平凡不普通的，他們的不平凡之處就是在學(xué)習(xí)方面有一些獨(dú)到的個(gè)性，又有著一些共性，而這些對(duì)在校的同學(xué)尤其是將參加高考的同學(xué)都有一定的借鑒意義。青春風(fēng)采青春風(fēng)采北京市文科狀元陽光女孩--何旋高考總分：692分(含20分加分)

語文131分?jǐn)?shù)學(xué)145分英語141分文綜255分畢業(yè)學(xué)校：北京二中

報(bào)考高校：北京大學(xué)光華管理學(xué)院來自北京二中，高考成績672分，還有20分加分。“何旋給人最深的印象就是她的笑聲，遠(yuǎn)遠(yuǎn)的就能聽見她的笑聲?！卑嘀魅螀蔷┟氛f，何旋是個(gè)陽光女孩?！八菍W(xué)校的攝影記者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成績應(yīng)該是692?！眳抢蠋熣f，何旋考出好成績的秘訣是心態(tài)好。“她很自信，也很有愛心?？荚嚱Y(jié)束后，她還問我怎么給邊遠(yuǎn)地區(qū)的學(xué)校捐書”。班主任：我覺得何旋今天取得這樣的成績，我覺得，很重要的是，何旋是土生土長的北京二中的學(xué)生，二中的教育理念是綜合培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)和能力。我覺得何旋，她取得今天這么好的成績，一個(gè)來源于她的扎實(shí)的學(xué)習(xí)上的基礎(chǔ)，還有一個(gè)非常重要的，我覺得特別想提的，何旋是一個(gè)特別充滿自信，充滿陽光的這樣一個(gè)女孩子。在我印象當(dāng)中，何旋是一個(gè)最愛笑的，而且她的笑特別感染人的。所以我覺得她很陽光，而且充滿自信，這是她突出的這樣一個(gè)特點(diǎn)。所以我覺得，這是她今天取得好成績當(dāng)中，心理素質(zhì)非常好，是非常重要的。高考總分:711分

畢業(yè)學(xué)校:北京八中

語文139分?jǐn)?shù)學(xué)140分英語141分理綜291分報(bào)考高校：北京大學(xué)光華管理學(xué)院北京市理科狀元楊蕙心班主任孫燁：楊蕙心是一個(gè)目標(biāo)高遠(yuǎn)的學(xué)生，而且具有很好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。學(xué)習(xí)效率高是楊蕙心的一大特點(diǎn)，一般同學(xué)兩三個(gè)小時(shí)才能完成的作業(yè)，她一個(gè)小時(shí)就能完成。楊蕙心分析問題的能力很強(qiáng)，這一點(diǎn)在平常的考試中可以體現(xiàn)。每當(dāng)楊蕙心在某科考試中出現(xiàn)了問題，她能很快找到問題的原因，并馬上拿出解決辦法。孫老師說，楊蕙心學(xué)習(xí)效率很高，認(rèn)真執(zhí)行老師的復(fù)習(xí)要求，往往一個(gè)小時(shí)能完成別人兩三個(gè)小時(shí)的作業(yè)量，而且計(jì)劃性強(qiáng)，善于自我調(diào)節(jié)。此外，學(xué)校還有一群與她實(shí)力相當(dāng)?shù)耐瑢W(xué)，他們經(jīng)常在一起切磋、交流，形成一種良性的競爭氛圍。談起自己的高考心得，楊蕙心說出了“聽話”兩個(gè)字。她認(rèn)為在高三沖刺階段一定要跟隨老師的腳步?！袄蠋熃榻B的都是多年積累的學(xué)習(xí)方法，肯定是最有益的?！备呷o張的學(xué)習(xí)中，她常做的事情就是告誡自己要堅(jiān)持，不能因?yàn)橐淮慰荚嚦煽兙头穸ㄗ约?。高三的幾次模擬考試中，她的成績一直穩(wěn)定在年級(jí)前5名左右。上海2006高考理科狀元--武亦文武亦文格致中學(xué)理科班學(xué)生班級(jí)職務(wù)：學(xué)習(xí)委員高考志愿：復(fù)旦經(jīng)濟(jì)高考成績：語文127分?jǐn)?shù)學(xué)142分英語144分物理145分綜合27分總分585分

“一分也不能少”

“我堅(jiān)持做好每天的預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，每天放學(xué)回家看半小時(shí)報(bào)紙，晚上10：30休息，感覺很輕松地度過了三年高中學(xué)習(xí)。”當(dāng)?shù)弥约旱母呖汲煽兒?，格致中學(xué)的武亦文遺憾地說道，“平時(shí)模擬考試時(shí)，自己總有一門滿分，這次高考卻沒有出現(xiàn)，有些遺憾。”

堅(jiān)持做好每個(gè)學(xué)習(xí)步驟

武亦文的高考高分來自于她日常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，堅(jiān)持認(rèn)真做好每天的預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)?！案咧腥?，從來沒有熬夜，上課跟著老師走，保證課堂效率?！蔽湟辔慕榻B，“班主任王老師對(duì)我的成長起了很大引導(dǎo)作用，王老師辦事很認(rèn)真，凡事都會(huì)投入自己所有精力，看重做事的過程而不重結(jié)果。每當(dāng)學(xué)生沒有取得好結(jié)果，王老師也會(huì)淡然一笑，鼓勵(lì)學(xué)生注重學(xué)習(xí)的過程。”

上海高考文科狀元--- 常方舟曹楊二中高三(14)班學(xué)生班級(jí)職務(wù)：學(xué)習(xí)委員高考志愿：北京大學(xué)中文系高考成績：語文121分?jǐn)?shù)學(xué)146分 英語146分歷史134分 綜合28分總分575分 (另有附加分10分)“我對(duì)競賽題一樣發(fā)怵”

總結(jié)自己的成功經(jīng)驗(yàn)，常方舟認(rèn)為學(xué)習(xí)的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，這個(gè)生活習(xí)慣雷打不動(dòng)。早晨總是6:15起床，以保證八小時(shí)左右的睡眠。平時(shí)功課再多再忙，我也不會(huì)‘開夜車’。身體健康，體力充沛才能保證有效學(xué)習(xí)?！备呷A段，有的同學(xué)每天學(xué)習(xí)到凌晨兩三點(diǎn)，這種習(xí)慣在常方舟看來反而會(huì)影響次日的學(xué)習(xí)狀態(tài)。每天課后，常方舟也不會(huì)花太多時(shí)間做功課，常常是做完老師布置的作業(yè)就算完。