新教材數(shù)學(xué)蘇教版課件1321平面的基本性質(zhì)

基本圖形位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.教材中是如何定義平面的?2.平面的表示方法有哪些?3.點(diǎn)、線、面之間有哪些關(guān)系?如何用符號表示?4.三個基本事實及推論的內(nèi)容是什么?各有什么作用?1.平面(1)平面的概念平靜的湖面給我們以平面的形象.和點(diǎn)、直線一樣,平面也是從現(xiàn)實世界中抽象出來的幾何概念.(2)平面的畫法平面通常用平行四邊形來表示,當(dāng)平面水平放置的時候,一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖.(3)平面的表示方法平面通常用希臘字母α,β,γ等表示,也可以用平行四邊形的兩個相對頂點(diǎn)的字母表示,如平面α、平面AC等.【思考】平面是否有大小呢?提示:①平面和點(diǎn)、直線一樣,是只描述而不加定義的原始概念,不能進(jìn)行度量.②平面無厚薄、無大小,是無限延展的.2.與平面有關(guān)的三個基本事實(1)基本事實1:過不在一條直線上的_______,有且只有一個平面.如圖:三個點(diǎn)【思考】基本事實1有什么意義及作用呢?提示:意義:是在空間確定一個平面位置的方法與途徑,而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件,這個轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法.作用:①確定平面;②證明點(diǎn)、線共面.(2)基本事實2:如果一條直線上的_______在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).兩個點(diǎn)空間中點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系,可以借助集合中的符號來表示.例如,在長方體ABCD-A1B1C1D1中:位置關(guān)系符號表示點(diǎn)P在直線AB上P∈AB點(diǎn)C不在直線AB上C?AB點(diǎn)M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)A1?平面AC直線AB與直線BC交于點(diǎn)BaAB∩BC=B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC【思考】(1)如何從集合的角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系呢?提示:①直線可以看成無數(shù)個點(diǎn)組成的集合,故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系,用“∈”或“?”表示.②平面也可以看成點(diǎn)集,故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系,用“∈”或“?”表示.③直線與平面都是點(diǎn)集,它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系,故用“?”或“?”表示.這樣,基本事實2就可以用符號表示為

?AB?α.(2)基本事實2有什么意義及作用呢?提示:意義:說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的“直”來刻畫平面的“平”,通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展”.作用:既是判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù),又是檢驗平面的方法.(3)基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個_______,那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.這樣,基本事實3就可以用符號表示為

?α∩β=l且P∈l.公共點(diǎn)【思考】基本事實3有什么意義及作用呢?提示:意義:揭示了兩個平面相交的主要特征,提供了確定兩個平面交線的方法.作用:①判斷兩個平面是否相交;②確定兩個平面的交線;③證明若干點(diǎn)共線問題.3.平面性質(zhì)的三個基本事實的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.【基礎(chǔ)小測】

1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)一個平面的面積是16cm2. ()(2)直線l與平面α有且只有兩個公共點(diǎn). ()(3)四條線段首尾相連一定構(gòu)成一個平面四邊形. ()(4)8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚. ()(5)空間不同三點(diǎn)確定一個平面. ()提示:(1)×.平面是沒有大小的.(2)×.一條直線和一個平面公共點(diǎn)的個數(shù)可能為0個,1個或無數(shù)個,不可能只有2個公共點(diǎn).(3)×.也可能是四條邊不在同一個平面內(nèi)的空間四邊形.(4)×.平面是沒有大小、厚度之分的.(5)×.只有不共線的三點(diǎn)可以確定一個平面.2.若一直線a在平面α內(nèi),則正確的圖形是 ()【解析】選A.選項B,C,D中直線a在平面α外,選項A中直線a在平面α內(nèi).3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)如圖所示,下列符號表示錯誤的是 ()A.l∈α ?l C.l?α D.P∈α【解析】選A.觀察圖知:P?l,P∈α,l?α,則l∈α是錯誤的.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一圖形、文字、符號語言的相互轉(zhuǎn)化(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.如圖所示,用符號語言表示以下圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系:①點(diǎn)A,B在直線a上________;

②直線a在平面α內(nèi)________;

③點(diǎn)D在直線b上,點(diǎn)C在平面α內(nèi)________.

2.將下面用符號語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述,并用圖形語言予以表示.α∩β=l,A∈l,AB?α,AC?β.3.根據(jù)下列條件畫出圖形:平面α∩平面β=直線AB,直線a?α,直線b?β,a∥AB,b∥AB.【解析】1.根據(jù)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知:①A∈a,B∈a,②a?α,③D∈b,C∈α.答案:①A∈a,B∈a②a?α③D∈b,C∈α2.文字語言敘述為:點(diǎn)A在平面α與平面β的交線l上,直線AB,AC分別在平面α,β內(nèi),圖形語言表示如圖所示.3.圖形如圖所示.【解題策略】(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號語言表示.(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時,要注意實線和虛線的區(qū)別.【補(bǔ)償訓(xùn)練】用符號語言表示下列語句,并畫出圖形:(1)三個平面α,β,γ相交于一點(diǎn)P,且平面α與平面β相交于PA,平面α與平面γ相交于PB,平面β與平面γ相交于PC;(2)平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.【解析】(1)符號語言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,圖形表示:如圖①.(2)符號語言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,圖形表示:如圖②.類型二點(diǎn)、線共面問題(直觀想象、邏輯推理)【典例】如圖,已知:a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求證:PQ?α.四步內(nèi)容理解題意條件:a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a.結(jié)論:PQ?α.思路探求證明直線在一個平面內(nèi),需要找到直線上的兩個點(diǎn)在平面內(nèi).書寫表達(dá)因為PQ∥a,所以PQ與a確定一個平面β.所以直線a?β,點(diǎn)P∈β.因為P∈b,b?α,所以P∈α.又因為a?α,所以α與β重合.所以PQ?α.注意書寫的規(guī)范性:在立體幾何中的證明問題,需要特別注意符號語言的規(guī)范性.題后反思證明題的過程一定要有理有據(jù),層層遞進(jìn),講究邏輯性,還要注意書寫的規(guī)范性.【解題策略】證明點(diǎn)、線共面問題的常用方法(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個平面內(nèi),即用“納入法”;(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個平面α,其余點(diǎn)、線確定另一個平面β,再證平面α與β重合,即用“同一法”;(3)假設(shè)不共面,結(jié)合題設(shè)推出矛盾,即用“反證法”.【跟蹤訓(xùn)練】證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).【證明】方法一:(納入法)因為l1∩l2=A,所以l1和l2確定一個平面α.因為l2∩l3=B,所以B∈l2.又因為l2?α,所以B∈α.同理可證C∈α.又因為B∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).方法二:(同一法)因為l1∩l2=A,所以l1,l2確定一個平面α.因為l2∩l3=B,所以l2,l3確定一個平面β.因為A∈l2,l2?α,所以A∈α.因為A∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).【拓展延伸】平面在生活中的應(yīng)用平面在生活中有著廣泛的應(yīng)用,比如桌子放不穩(wěn),想檢測是桌子的問題還是地面的問題,我們可以用兩根細(xì)繩沿桌子四條腿的對角拉直,如果這兩根細(xì)繩相交,說明桌子四條腿的底端在同一個平面內(nèi),說明地面不平,反之說明桌子有問題.【拓展訓(xùn)練】1.下列各圖均是正六棱柱,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),這四個點(diǎn)不共面的圖形是 ()【解析】選D.在選項A,B,C中,由棱柱、正六邊形、中位線的性質(zhì),知均有PS∥QR,即在此三個圖形中P,Q,R,S共面.2.如圖所示,今有一正方體木料ABCD-A1B1C1D1,其中M,N分別是AB,CB的中點(diǎn),要過D1,M,N三點(diǎn)將木料鋸開,請你幫助木工師傅想辦法,怎樣畫線才能順利完成?

【解析】作法如下:(1)連接MN并延長交DC的延長線于F,連接D1F交CC1于Q,連接QN;(2)延長NM交DA的延長線于E,連接D1E交AA1于P,連接MP;(3)依次在正方體各個面上畫線D1P,PM,MN,NQ,QD1,即為木工師傅所要畫的線.類型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、面共線問題(直觀想象、邏輯推理)角度1線共點(diǎn)與點(diǎn)共線問題

【典例】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,AA1的中點(diǎn).求證:CE,D1F,DA三線交于一點(diǎn).【思路導(dǎo)引】證明三線共點(diǎn),可以先證明兩條直線相交,而交點(diǎn)在第三條直線上.【證明】連接EF,D1C,A1B,因為E為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn),所以EF=

A1B,EF∥

A1B,又因為A1B=D1C,A1B∥D1C,所以EF=

D1C,EF∥

D1C,所以E,F,D1,C四點(diǎn)共面,可設(shè)D1F∩CE=P.又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD,所以點(diǎn)P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn).又因為平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以據(jù)基本事實3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三線交于一點(diǎn).【變式探究】本例的條件“E,F分別為AB,AA1的中點(diǎn),”改為“E,F分別為AB,AA1上的點(diǎn),且D1F∩CE=M,”求證:點(diǎn)D,A,M三點(diǎn)共線.證明:因為D1F∩CE=M,且D1F?平面A1D1DA,所以M∈平面A1D1DA,同理M∈平面BCDA,從而M在兩個平面的交線上,因為平面A1D1DA∩平面BCDA=AD,所以M∈AD成立.所以點(diǎn)D,A,M三點(diǎn)共線.角度2面共線問題

【典例】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是CC1和AA1的中點(diǎn),畫出平面BED1F與平面ABCD的交線并說明理由.【思路導(dǎo)引】找兩個平面的交線,需要找到同時在兩個平面內(nèi)的點(diǎn).【解析】如圖,在平面AA1D1D內(nèi),延長D1F,因為D1F與DA不平行,因此D1F與DA必相交于一點(diǎn),設(shè)D1F與DA交于點(diǎn)P,則P∈FD1,P∈AD.又因為D1F?平面BED1F,DA?平面ABCD,所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD.所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD),即P為平面BED1F與平面ABCD的公共點(diǎn).又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點(diǎn),所以連接PB,PB即為平面ABCD與平面BED1F的交線.【解題策略】

1.點(diǎn)共線與線共點(diǎn)的證明方法(1)點(diǎn)共線:證明多點(diǎn)共線通常利用基本事實3,即兩相交平面交線的惟一性,通過證明點(diǎn)分別在兩個平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上,也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其他點(diǎn)也在其上.(2)三線共點(diǎn):證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線,然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上,此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn),再證點(diǎn)重合,從而得到三線共點(diǎn).2.確定兩平面的交線,關(guān)鍵是確定這兩個平面的兩個公共點(diǎn).基本事實3是解決此類問題的主要依據(jù).【題組訓(xùn)練】1.已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.【證明】方法一:因為AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事實3可知:點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.方法二:因為AP∩AR=A,所以直線AP與直線AR確定平面APR.又因為AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因為B∈面APR,C∈面APR,所以BC?面APR.又因為Q∈面APR,Q∈α,所以Q∈PR.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.2.如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.求證:AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).【證明】因為梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰.因為AB,CD必定相交于一點(diǎn).設(shè)AB∩CD=M.又因為AB?α,CD?β,所以M∈α,M∈β.所以M∈α∩β.又因為α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).3.若α∩β=l,A,B∈α,C∈β,試畫出平面ABC與平面α,β的交線.

【解析】因為若α∩β=l,A,B∈α,所以AB是平面ABC與α的交線,延長BA交l于D,則D∈平面ABC,因為C∈β,所以CD是平面ABC與β的交線,則對應(yīng)的圖示如圖.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),若EF與HG交于點(diǎn)M,則 ()一定在直線AC上一定在直線BD上可能在AC上,也可能在BD上不在AC上,也不在BD上【解析】選A.由題意得EF?平面ABC,HG?平面ACD,又EF∩HG=M,故M∈平面ABC,且M∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以M一定在直線AC上.1.已知直線m?平面α,P?m,Q∈m,則 ()?α,Q∈α B.P∈α,Q?α?α,Q?α D.Q∈α【解析】選D.因為Q∈m,m?α,所以Q∈α.因為P?m,所以有可能P∈