固體理論講義六

固體理論講義六第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月1、基本性質(zhì)超導(dǎo)電性：低溫下直流電阻消失的現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性*目前發(fā)現(xiàn)一半以上的金屬和成百上千種合金是超導(dǎo)體。但它們的轉(zhuǎn)變溫度Tc一般很低，直到20世紀(jì)80年代中期未超過30K。*1986年，J.D.Bednorz和K.A.Müller發(fā)現(xiàn)高溫超導(dǎo)體以來，人們發(fā)現(xiàn)一系列新的超導(dǎo)體。液氮的溫度為~77K。第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月超導(dǎo)體的基本屬性可由下列3個(gè)特征表示1.超導(dǎo)態(tài)是一種新的凝聚態(tài)

T<Tc時(shí)，比熱容不再與T成線性關(guān)系，變?yōu)橹笖?shù)式的溫度關(guān)系。

T<Tc時(shí)，超導(dǎo)態(tài)的自由能比正常態(tài)低，因?yàn)楸仨毤哟艌鯤c才能破壞超導(dǎo)性，使金屬恢復(fù)電阻，回到正常態(tài)。Hc稱為臨界磁場。超導(dǎo)態(tài)第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2.存在能隙

根據(jù)量子力學(xué)，單電子可以穿透勢壘，其隧穿電流應(yīng)與外加電壓成正比

對(duì)于超導(dǎo)體，T<Tc時(shí)，V必須大于/e才有隧道電流。超導(dǎo)體正常金屬氧化物絕緣體V超導(dǎo)體說明超導(dǎo)相中激發(fā)出一個(gè)準(zhǔn)粒子至少要能量，即存在能隙。第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月3.邁斯納效應(yīng)

在超導(dǎo)態(tài)弱磁場不能透入宏觀樣品內(nèi)部，超導(dǎo)體對(duì)于弱磁場是完全逆磁體。第一類超導(dǎo)體*如果在超導(dǎo)態(tài)弱磁場可以透入宏觀樣品內(nèi)部。第二類超導(dǎo)體Bardeen、Cooper和Schrieffer于1957成功解釋了第一類超導(dǎo)體的超導(dǎo)性。BCS理論認(rèn)為，電子間通過交換虛聲子產(chǎn)生超導(dǎo)基態(tài)，費(fèi)米面附近相反動(dòng)量和自旋的電子對(duì)通過吸引互作用形成束縛電子對(duì)狀態(tài)。稱為Cooper對(duì)組態(tài)超導(dǎo)體第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2、BCS約化哈密頓量*電子交換虛聲子的有效互作用在費(fèi)米面附近能殼內(nèi)，，有效勢為吸引勢

在能殼外，，有效勢為排斥互作用。是德拜頻率

態(tài)密度：第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月由于聲學(xué)模聲子的最大密度在附近，那么可以將中厚度隨變化的吸引區(qū)近似用費(fèi)米面附近厚度為的固定能殼區(qū)代替。*此外，金屬中電子還存在直接庫侖作用，可以用屏蔽庫侖勢表示兩電子間凈的相互作用勢Bardeen等人認(rèn)為在能殼外排斥相互作用可以略去。

可設(shè)為常數(shù)-V，V為正量這一假設(shè)為V與取向無關(guān)，相當(dāng)于取各向同性的s波散射近似。第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月兩電子在散射后總波矢守恒設(shè)令代表系統(tǒng)中總波矢為K的電子對(duì)間相互作用。不同的K，具有吸引作用的電子對(duì)數(shù)目不一樣，由陰影區(qū)繞K軸轉(zhuǎn)成的體積決定第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月只取K=0電子對(duì)項(xiàng)的電子間的相互作用代表準(zhǔn)動(dòng)量相反的電子對(duì)的吸引互作用。由于泡利不相容原理將限制自旋平行電子在位置空間靠攏，因此，’=項(xiàng)的貢獻(xiàn)比’=-項(xiàng)小，也可略去。總的哈密頓量經(jīng)整理后得這就是BCS理論用于描述超導(dǎo)基態(tài)的哈密頓量其基本假定是，在費(fèi)密面附近準(zhǔn)動(dòng)量和自旋都相反的電子之間的吸引互作用是產(chǎn)生超導(dǎo)凝聚的主要原因第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月則BCS的哈密頓量簡化為BCS約化哈密頓量其中代表從費(fèi)米面算起的自由電子能量。約化哈密頓選用的理由是在超導(dǎo)問題中，粒子數(shù)不守恒相當(dāng)于用熱力學(xué)勢代替自由能討論粒子數(shù)可變系統(tǒng)第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月3、Cooper對(duì)費(fèi)密球外一對(duì)動(dòng)量和自旋相反的電子之間只要存在凈的吸引互作用，不管它多弱，都能形成束縛電子對(duì)，即Cooper對(duì)。兩個(gè)束縛電子對(duì)的能量為E<0說明兩個(gè)電子形成了束縛態(tài)。

電子對(duì)形成束縛態(tài)的能量比費(fèi)米面上一對(duì)自由電子的能量低。表明存在吸引互作用時(shí)，費(fèi)米球不再穩(wěn)定，電子將由于形成Cooper對(duì)獲得能量。

超導(dǎo)基態(tài)應(yīng)由Cooper對(duì)組成。

為Cooper對(duì)的結(jié)合能，拆散Cooper對(duì)需要能量|E|,當(dāng)V0時(shí)，E不能展開為V的冪級(jí)數(shù)，說明Cooper問題不能用微擾論求解超導(dǎo)問題不能用微擾論求解第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

Cooper對(duì)的尺寸利用測不準(zhǔn)關(guān)系：顯然，Cooper對(duì)的尺寸大約是晶格常數(shù)的一萬倍。因此，Cooper對(duì)內(nèi)存在許多電子對(duì)，它們的運(yùn)動(dòng)是相關(guān)聯(lián)的。

描述電子運(yùn)動(dòng)相互關(guān)聯(lián)的空間尺寸，稱為相干長度與Cooper對(duì)的尺寸相當(dāng)相干長度0對(duì)超導(dǎo)體的電磁性能有重要影響第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月4、BCS超導(dǎo)理論J.Bardeen,L.N.Cooper,J.R.Schrieffer,Phys.Rev.,103,1175(1957).

由于Cooper證明了吸引互作用使費(fèi)米球改組，形成k與-k電子的束縛態(tài)。

Bardeen,Cooper,Schrieffer設(shè)想超導(dǎo)基態(tài)是電子按照Cooper對(duì)分布的狀態(tài)他們認(rèn)為，由于費(fèi)米球改組，在k空間中任一對(duì)狀態(tài)k與-k電子的占據(jù)情況均應(yīng)當(dāng)由變分極值條件決定。其中BCS超導(dǎo)基態(tài)的變分試探函數(shù)vk占據(jù)幾率，uk未占據(jù)幾率他們得出了超導(dǎo)態(tài)的本征能量及波函數(shù)，解釋了低溫超導(dǎo)現(xiàn)象。第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月這里介紹簡單的自洽場近似法求BCS約化哈密頓的本征函數(shù)和本征值（其實(shí)質(zhì)與BCS變分法相同）便于推廣到T>0和空間非均勻等情況這里介紹簡單的自洽場近似法求BCS約化哈密頓的本征函數(shù)和本征值（其實(shí)質(zhì)與BCS變分法相同）*根據(jù)Cooper對(duì)組成超導(dǎo)基態(tài)的想法，假定下列對(duì)算符的超導(dǎo)基態(tài)平均值存在：將對(duì)算符寫成將對(duì)算符寫成為小量第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月取一級(jí)近似自洽場近似（SCFA）的哈密頓量由于必須求出超導(dǎo)基態(tài)后才能最后求得，所以稱自洽場近似。*定義為復(fù)量，為簡單起見，僅考慮為實(shí)量：由于相當(dāng)于“對(duì)算子”的外勢場，所以又稱為對(duì)勢?！皩?duì)算子”利用玻戈留玻夫正則變換可將以上哈密頓對(duì)角化第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月變換后：其中基態(tài)能量：其中：代表超導(dǎo)的元激發(fā)能量玻戈留玻夫正則變換（算符滿足反對(duì)易關(guān)系）說明從費(fèi)米面激發(fā)一個(gè)準(zhǔn)粒子至少需要能量，它代表元激發(fā)的能隙。第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月1.能隙的計(jì)算T=0K時(shí)的，可通過元激發(fā)算子對(duì)基態(tài)的自洽平均來決定，由于此時(shí)無準(zhǔn)粒子激發(fā)：能隙方程最后求得第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2.凝聚能E（0）基態(tài)能正常態(tài)費(fèi)米分布能量凝聚能說明凝聚能量為負(fù)，超導(dǎo)基態(tài)能量低于正常態(tài)能量，因此，必然發(fā)生超導(dǎo)相變第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月3.BSC基態(tài)超導(dǎo)基態(tài)應(yīng)當(dāng)是準(zhǔn)粒子消滅算符k和-k的的真空態(tài)。不難驗(yàn)證，態(tài)滿足基態(tài)條件式因?yàn)榉磳?duì)易關(guān)系因此類似的第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月由于超導(dǎo)基態(tài)由于對(duì)于正常態(tài)=0，上式變?yōu)檎Ｏ嗟馁M(fèi)米球分布態(tài)：*再將超導(dǎo)基態(tài)歸一化<0|0>=1，得到歸一化的超導(dǎo)基態(tài)BCS超導(dǎo)基態(tài)假定的證明第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月若對(duì)電子的占據(jù)數(shù)算符求基態(tài)平均：代表被占據(jù)概率與有限溫度的費(fèi)米分布類似費(fèi)米面的“模糊化”是由于形成了Cooper對(duì)Cooper對(duì)的零溫分布顯然，Cooper對(duì)的凝聚主要發(fā)生在費(fèi)米能EF附近第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月4.超導(dǎo)體的元激發(fā)從BCS超導(dǎo)體的對(duì)角化哈密頓量可知，對(duì)于單準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)其元激發(fā)能量為：在費(fèi)米面上，這時(shí)是單個(gè)準(zhǔn)粒子激發(fā)所需的最小能量由于準(zhǔn)粒子算符：代表電子與空穴的混合當(dāng)元激發(fā)使系統(tǒng)粒子數(shù)從NN+1時(shí)，超導(dǎo)體產(chǎn)生“電子”型元激發(fā)。當(dāng)元激發(fā)使系統(tǒng)粒子數(shù)從NN-1時(shí)，超導(dǎo)體產(chǎn)生“空穴”型元激發(fā)。第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)驗(yàn)上可以通過超導(dǎo)體（S）與正常金屬（N）的隧道效應(yīng)，注入電子或空穴，形成“電子”型或“空穴”型元激發(fā)。EE第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月電子-空穴對(duì)激發(fā)激發(fā)一個(gè)粒子到費(fèi)米面以上，保持系統(tǒng)總粒子數(shù)不變。相當(dāng)產(chǎn)生兩個(gè)準(zhǔn)粒子激發(fā)，一個(gè)是“空穴”型的，一個(gè)是“電子”型的。稱為電子-空穴對(duì)型激發(fā)它相當(dāng)于拆開一個(gè)Cooper對(duì)對(duì)型激發(fā)：元激發(fā)能量：最小激發(fā)能量為2第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月4.超電流不載流超導(dǎo)態(tài)，每個(gè)Cooper對(duì)為（k,-k),其總動(dòng)量為：由于外場作用相應(yīng)的Cooper對(duì)變?yōu)椋╧+k,-k+k),其總動(dòng)量為：質(zhì)心速度為，稱為載流超導(dǎo)態(tài)。*Cooper對(duì)運(yùn)動(dòng)的電流密度為：第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月由于互作用只使（k+k,-k+k)的Cooper對(duì)散射為（k’+k,-k’+k)的Cooper對(duì)，總動(dòng)量不變。即使外場撤去，超導(dǎo)體中的組態(tài)保持不變，因此，超導(dǎo)電流js將不衰減，說明Cooper對(duì)所載電流是無阻電流。超導(dǎo)電流js存在一個(gè)上限：費(fèi)米球位移k將引起動(dòng)能增加：當(dāng)超導(dǎo)電流js上限：約為10-7Acm-2量級(jí)第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月5、有限溫度情況當(dāng)T>0時(shí)，能隙方程準(zhǔn)粒子應(yīng)當(dāng)滿足費(fèi)米分布其中第27頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2